清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)講函數(shù)極限學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)講函數(shù)極限清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)講函數(shù)極限第一頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-192第二講 函數(shù)極限一、函數(shù)極限二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的運(yùn)算法則四、兩個重要極限五、無窮小量與無窮大量第1頁/共29頁第二頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-193極限的重要性（1） 極限是一種思想方法（2）極限是一種概念（3） 極限是一種計算方法 從認(rèn)識有限到把握無限 從了解離散到理解連續(xù) 微積分中許多概念是用極限定義的許多物理、幾何量需要用極限來求第2頁/共29頁第三頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-194函數(shù)極限問題是研究當(dāng)自變量

2、一、函數(shù)的極限x趨向于0 x)x(f的變化趨勢或趨向于無窮大時，函數(shù)（ 兩種基本變化趨勢）0 x 趨向于一點(diǎn)xO(一)自變量的變化 x x，0 xx ， 0 xx 0 xx 趨向于無窮， x， x x第3頁/共29頁第四頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-195,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的的極極限限函函數(shù)數(shù)時時趨趨于于是是當(dāng)當(dāng)，則則稱稱的的常常數(shù)數(shù)定定“無無限限趨趨于于”一一個個確確應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值時時，其其對對“無無限限趨趨于于”如如果果當(dāng)當(dāng)有有定定義義的的某某空空心心鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)000A)x(flimxx 0記作記作定義1：（二）函數(shù)極限的

3、定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)的極限)xx(A)x(f0或或第4頁/共29頁第五頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-196注意考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數(shù)在一點(diǎn)的極限時，不考慮函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。例1?11lim21 xxx11lim11lim121 xxxxx21 第5頁/共29頁第六頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-197例2 0,10,1sin)(xxxxxf0lim0 )x(fx第6頁/共29頁第七頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-198定義2：（左、右極限）記記作作處處的的左左極極限限在在是是則則稱稱

4、無無限限趨趨于于確確定定值值時時當(dāng)當(dāng)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)1 記記作作處處的的右右極極限限在在是是則則稱稱無無限限趨趨于于確確定定值值時時當(dāng)當(dāng)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)2 A)x( fxx 0limA)x( fxx 0lim第7頁/共29頁第八頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-199一點(diǎn)極限與單側(cè)極限有什麼關(guān)系？例的的情情況況，研研究究設(shè)設(shè)01arctan xxy觀察圖形21arctanlim0 xx不不存存在在！xx1arctanlim021arcta

5、nlim0 xxxxxx1arctanlim1arctanlim00 問題：第8頁/共29頁第九頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-19102. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限，有有極極限限時時常常數(shù)數(shù)，則則稱稱當(dāng)當(dāng)無無限限趨趨于于某某一一無無限限變變大大時時，若若有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)A)x(f,x)x(fx),a()x(f A)x(flimx 記作記作定義3：類似的可定義A)x(flimx A)x(flimx 或第9頁/共29頁第十頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1911-20-101020-1.5-1-0.50.511.5例如xxf1arctan)( 0)(

6、lim xfx0)(lim xfx0)(lim xfx第10頁/共29頁第十一頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1912.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趨趨向向于于時時或或稱稱當(dāng)當(dāng)有有極極限限時時則則稱稱當(dāng)當(dāng)都都有有動動點(diǎn)點(diǎn)的的使使得得所所有有滿滿足足不不等等式式如如果果有有定定義義的的某某空空心心鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或記作記作定義4：3. 函數(shù)極限的精確定義定義定義 第11頁/共29頁第十二頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1913二、函數(shù)極限的性

7、質(zhì)性質(zhì)2:（有界性）.)(,)(lim00有有界界時時當(dāng)當(dāng)則則存存在在設(shè)設(shè)xfxxxfxx.)(,0, 000MxfxxM 就就有有時時使使當(dāng)當(dāng)和和即即存存在在 函數(shù)極限如果存在，則函數(shù)一定有界.性質(zhì)1:（唯一性）函數(shù)極限如果存在，則一定是唯一的.xy1 .)(,)(lim有有界界時時當(dāng)當(dāng)則則存存在在設(shè)設(shè)xfxxfx .)(, 00MxfNxNM 就就有有時時使使當(dāng)當(dāng)和和即即存存在在第12頁/共29頁第十三頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1914性質(zhì)3:（保號性）存存在在設(shè)設(shè)Axfxx )(lim0.0)(,0,0,0)1(0 xfxxA就就有有時時使使當(dāng)當(dāng)則則如如果果 . 0

8、,0)(,0,0)2(0 Axfxx則則有有有有時時使使當(dāng)當(dāng)如如果果 性質(zhì)4存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是)(lim0 xfxx.)(lim)(lim00都都存存在在且且相相等等與與xfxfxxxx 第13頁/共29頁第十四頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1915（一）四則運(yùn)算定理)0, 0)()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()(lim)1(,)(lim,)(lim BxgBAxgxfBAxgxfBAxgxfAcxfcBxgAxfxxxxxx則則有有設(shè)設(shè)注：x表示x的任一種趨向.三、極限的運(yùn)算法則第14頁/共29頁第十五頁，編輯于星期二：二

9、點(diǎn) 四十四分。2022-6-1916.)(lim,)(,.)(lim,)(lim000000AtgfxtgttAxfxtgttxxtt 則則時時當(dāng)當(dāng)且且設(shè)設(shè)（二）復(fù)合函數(shù)的極限定理注意不不能能少少！”時時“條條件件00)(,:xtgtt 例如：tttgxxxf1sin)(,0, 00, 1)( 0)(lim, 1)(lim00 tgxftx,0時時t0)()( nntgftg：各各項項均均為為零零1)()( nntgftg：各各項項均均不不為為零零不存在！不存在！所以所以)(lim0tgfx第15頁/共29頁第十六頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1917AxgAxhxfxhxg

10、xfxNxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(),(0000則則且且有有（三）夾逼定理:（四）初等函數(shù)的極限)()(lim)()(000 xfxfxfxxfxx 的的定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)，則則屬屬于于是是初初等等函函數(shù)數(shù)，且且若若第16頁/共29頁第十七頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1918證證明明利利用用夾夾逼逼定定理理和和極極限限ennn )11(limexxx )11(lim四、兩個重要極限1.1sinlim0 xxx2.第17頁/共29頁第十八頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1919利用夾逼定理考慮不等式的面積的面積扇形的面積AOC

11、AOBAOB )2, 0(tan2121sin21 xxxx即證明亦即)1()2, 0(tansin xxxx第18頁/共29頁第十九頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1920)2, 0(,)0,2( xx時當(dāng)) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx將（1）式與（2）式結(jié)合起來，得到有xxxcos1sin1 得）式去除（用時注意到當(dāng),3sin, 0sin,0 xxx 第19頁/共29頁第二十頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1921)20(1sincos xxxx時因為當(dāng)20 x0sin, 0coscos xxxx)20(1si

12、ncos xxxx即由夾逼定理得到令, 0 x1sinlim0 xxx第20頁/共29頁第二十一頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1922定義1： 在某個變化過程中,極限為零 的函數(shù),稱為在此變化過程中的 無窮小量（無窮小）。五、無窮小量與無窮大量（一）定義例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxexx 注意：無窮小量是極限 為零的函數(shù)！無窮小量不是絕對值很小的數(shù)！第21頁/共29頁第二十二頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1923定義2： 在某個

13、變化過程中,絕對值無限 變大的函數(shù),稱為在此變化過程中的 無窮大量（無窮大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作無無窮窮大大時時為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時時使使當(dāng)當(dāng) )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作正正無無窮窮大大時時為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時時使使當(dāng)當(dāng) 第22頁/共29頁第二十三頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1924oxy1 o21xy 例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx第23頁/共29頁第二十四頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-192

14、5（二）無窮小與無窮大的性質(zhì)性質(zhì)1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是無無窮窮小小和和為為常常數(shù)數(shù)過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮小小和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：性質(zhì)1只可以推廣到有限個函數(shù))21(lim222nnnnn 例212)1(1lim2 nnnn0 第24頁/共29頁第二十五頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1926性質(zhì)3：.)()(,)(,)(,是是無無窮窮小小此此變變化化過過程程中中則則在在是是有有界界函函數(shù)數(shù)是是無無窮窮小小化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的

15、某某一一個個變變xgxfxgxf性質(zhì)2：.)()()0()(,)()(,都都是是無無窮窮大大和和常常數(shù)數(shù)過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮大大和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfcxcfxgxf 第25頁/共29頁第二十六頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-1927例例?sinlim xxx是是有有界界函函數(shù)數(shù)11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx第26頁/共29頁第二十七頁，編輯于星期二：二點(diǎn) 四十四分。2022-6-19281.（無窮小與無窮大）.)(1,)(,是是無無窮窮小小則則在在這這個個變變化化過過程程中中是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個個變變xfx