離散數(shù)學(xué)-幾種典型的代數(shù)系統(tǒng)

1、1 15.1 5.1 半群和獨(dú)異點(diǎn)半群和獨(dú)異點(diǎn)一、半群半群 定義定義5-1 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合， 是是S上的一個(gè)上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果二元運(yùn)算，如果 是可是可 結(jié)結(jié) 合合 的的 , 則則 稱稱 代代 數(shù)數(shù) 系系 統(tǒng)統(tǒng) 是半群。是半群。;s 例例1 1 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) N + 和和 N 、I+和和I 、R + 和和 R 都是半群，都是半群， 但但 和和 不是半群不是半群 . ; I/;0R例例2 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)和和都半群，都半群， 2 2 例例3 3 設(shè)設(shè)S=|是集合是集合A上的關(guān)系，對(duì)于關(guān)系的復(fù)上的關(guān)系，對(duì)于關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算合運(yùn)算 可構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)可構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng) ，是半群是半

2、群.。 對(duì)任意對(duì)任意 aS ，定義，定義 a1=a (n=1,2,) aaann1)()(,mnnmnmnmaaaaa并且對(duì)于任意正整數(shù)并且對(duì)于任意正整數(shù) m 和和 n ，有，有 若若F=f | f : A A，則對(duì)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)，則對(duì)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算算 ，代數(shù)系統(tǒng)，代數(shù)系統(tǒng)也是半群。也是半群。 3 3在獨(dú)異點(diǎn)在獨(dú)異點(diǎn)中，對(duì)任意中，對(duì)任意a S,有有 a0=e ( )式中的兩個(gè)等式在獨(dú)異點(diǎn)中亦成立。式中的兩個(gè)等式在獨(dú)異點(diǎn)中亦成立。), 2 , 1 , 0(1naaann 二、獨(dú)異點(diǎn)二、獨(dú)異點(diǎn) 定義定義5-25-2 若半群若半群 中運(yùn)算中運(yùn)算* *有單位有單位元，則稱元，則稱 為獨(dú)異點(diǎn)。為獨(dú)異點(diǎn)

3、。; s; s 例例4 4 ，, ，和和、和和； 和和。例例3中的中的 和和4 4 例例6 6 對(duì)于半群對(duì)于半群 ， N的子集的子集NnnN|22,|4,|343NnnNNnnN 都是都是的子半群。的子半群。 例例7 7 對(duì)于半群對(duì)于半群 的任一元素的任一元素 a S ， 令集合令集合 , ,32aaaT 是是的子半群。的子半群。三、三、 子半群和子獨(dú)異點(diǎn)子半群和子獨(dú)異點(diǎn) 定義定義5-3 設(shè)設(shè)是一個(gè)半群是一個(gè)半群 ，若，若 是是的子代數(shù)，則稱的子代數(shù)，則稱是是的子半群。的子半群。5 5 定義定義5-45-4 設(shè)設(shè)是一獨(dú)異點(diǎn)，若是一獨(dú)異點(diǎn)，若是是的子代數(shù)，且單位元的子代數(shù)，且單位元 e T，則稱

4、，則稱是是的子獨(dú)異點(diǎn)。的子獨(dú)異點(diǎn)。 例例8 8 對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)對(duì)于獨(dú)異點(diǎn) , 子集子集N2，N3，N4， 它們均不能構(gòu)成它們均不能構(gòu)成的子獨(dú)異點(diǎn)，的子獨(dú)異點(diǎn)， 令令 ,|4,|3,|2432ZnnZZnnZZnnZ則則，都是都是 的子獨(dú)異點(diǎn)。的子獨(dú)異點(diǎn)。6 6Y YY YY YY YY YN N練習(xí)練習(xí)5-1 1判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”或或“N”， （1）在實(shí)數(shù)集）在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算上定義二元運(yùn)算 為：對(duì)于任意的為：對(duì)于任意的 a,b R a* *b=a+b+ab (a) 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)； （ ） (b) 是一個(gè)半

5、群；是一個(gè)半群； （ ） （c） 是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。 （ ）(2) 在實(shí)數(shù)集在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算為，對(duì)任意上定義二元運(yùn)算為，對(duì)任意 a, b R ，a b=|a|b(其中其中表示通常數(shù)的乘法運(yùn)算表示通常數(shù)的乘法運(yùn)算) （a） 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)； （ ） (b) 是一個(gè)半群；是一個(gè)半群； （ ） (c) 是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。 （ ）7 75.2 5.2 群的定義群的定義一、群的定義一、群的定義 定義定義5-55-5 設(shè)設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果運(yùn)算是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果運(yùn)算* *是可結(jié)合的，存在單位元是可結(jié)合的，存在單位元e，且，且G中任何元素中任何元素a都有逆都有

6、逆元元 a-1，則稱，則稱是一個(gè)群。是一個(gè)群。 （1 1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的a,b,c Ga,b,c G，有，有a a* *(b(b* *c)= (ac)= (a* *b)b)* *c c； (2)(2)存在一元素存在一元素 e Ge G，使得對(duì)于任意的，使得對(duì)于任意的 aGaG， 有有e e* *a=aa=a* *e=ae=a； (3)(3)對(duì)任意對(duì)任意 a Ga G，相應(yīng)存在一元素，相應(yīng)存在一元素 a a-1-1GG，使得，使得 a a-1-1* *a=aa=a* *a a-1-1=e=e 例例1 1 N 和和R I +、R+和和R- 不是群。不是群。都是群。都是群。8 8 例例2 2

7、 設(shè)有設(shè)有Z Z4 4= =0,1,2,30,1,2,3，模，模4 4的加法運(yùn)算的加法運(yùn)算 定義為定義為 。構(gòu)成代數(shù)。構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng) Z; 。4)(44baresba 4 40 1 2 30 1 2 30 01 12 23 30 1 2 30 1 2 31 2 3 01 2 3 02 3 0 12 3 0 13 0 1 23 0 1 29 9對(duì)于任意的對(duì)于任意的a,b,cNa,b,cN4 4，令，令a+b=4ma+b=4m1 1+res+res4 4(a+b), (a+b), b+c=4mb+c=4m2 2+res+res4 4(b+c)(b+c)于是于是(a 4b) 4c= res4(a+

8、b) 4c=res4(res4(a+b)+c) = res4(4m1+res4(a+b)+c)=res4(a+b)+c) a 4(b 4c) = a 4res4(b+c) = res4(a+res4(b+c)= res4(a+(4m2+res4(b+c) = res4(a+(b+c)= res4（(a+b)+c）0是單位元，是單位元，0的逆元是的逆元是0，1和和3互為逆元，互為逆元，2的逆的逆元是元是2。 是一個(gè)群。是一個(gè)群。 因此（因此（a a 4 4b b） 4 4c= a c= a 4 4(b (b 4 4c)c)，即，即 4 4滿足結(jié)合律。滿足結(jié)合律。1010二、循環(huán)群二、循環(huán)群 1

9、1群中元素的冪群中元素的冪 對(duì)于任意對(duì)于任意aG，a0=e, ( n = 0, 1 , 2, )aaann1（a-1)0=e, (n=0,1,2,) （*）1111)()(aaann引進(jìn)記號(hào)引進(jìn)記號(hào) ( n個(gè)個(gè)a-1 )1111)( aaaaann因此（因此（ ）式可表示為）式可表示為),(*,)(2101101naaaeannmnnmnmnmaaaaa)(;*對(duì)于任意整數(shù)對(duì)于任意整數(shù) 和和n n，下面二式仍然成立。，下面二式仍然成立。m11)()(nnnaaa1111例如例如 32525aaaa因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(*1121525aaaaaaaaaaa3111111)()()()()()(

10、)()()(aaaaeaaaaaaaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaa又例如又例如632)( aa因?yàn)橐驗(yàn)?1112121231232)()()()()()()()(aaaaaaaaaaa661111111111111321111111)()()()()()()()()()(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaeaaaaaaaa因因此此所所以以根根據(jù)據(jù)結(jié)結(jié)合合律律12122 2循環(huán)群循環(huán)群 定義定義5-65-6 在群在群中，如果存在一元素中，如果存在一元素g G，使，使得每一元素得每一元素 a G 都能表示成都能表示成 g i ( i I)的形式，則稱群的形式，則稱群 為循環(huán)群，稱為

11、循環(huán)群，稱 g 為該循環(huán)群的生成元，并稱群為該循環(huán)群的生成元，并稱群 由由 g 生成。生成。按照群中逆元的表示方法按照群中逆元的表示方法nnn1)1 (1111111例例3 3 群群是循環(huán)群，是循環(huán)群，1是生成元，是生成元，10=0，對(duì)任意正，對(duì)任意正整數(shù)整數(shù)n，n=1+1+1，按照群中元素的冪的表示方法，按照群中元素的冪的表示方法n=1n.)()()(,111nn對(duì)任意負(fù)整數(shù)對(duì)任意負(fù)整數(shù) ,1313 例例4 4 例例2 2中的群中的群Z 是循環(huán)群，是循環(huán)群， 因?yàn)橐驗(yàn)? 10 0=0=0，1 11 1=1=1，1 12 2=1=14 41=res1=res4 4(2)=2, (2)=2, 1

12、 13 3=1=12 24 41=21=24 41=res1=res4 4(3)=3(3)=3 所以所以1 1是其生成元。是其生成元。 又又3 30 0=0=0，3 31 1=3=3，3 32 2=3=34 43=res3=res4 4(6)=2,(6)=2, 3 33 3=3=32 24 43=23=24 43=res3=res4 4(5)=1(5)=1 所以所以3 3也是其生成元。也是其生成元。1414 例例5 5 設(shè)設(shè)G= a,b,c,e ，* * 是是G上的二元運(yùn)算，上的二元運(yùn)算， * *e a b ce a b ce ea ab bc ca e c ba e c bb c e ab

13、c e ac b a ec b a ee a b ce a b c a* *a=b * * b=c * * c=e * * e=e , a * * b=b * * a=c, b * * c=c * * b=a， a * * c=c * * a=b是一阿貝爾群，但它不是循環(huán)群，一般稱這是一阿貝爾群，但它不是循環(huán)群，一般稱這個(gè)群為個(gè)群為Klein四元群。四元群。1515三、群的階和元素的周期三、群的階和元素的周期 定義定義5-75-7 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，如果是一個(gè)群，如果G G是有限集，則是有限集，則稱稱G 是有限群，是有限群，G G中元素的個(gè)數(shù)稱為群中元素的個(gè)數(shù)稱為群G 的階；的階；若若G G是

14、無(wú)限集，則稱是無(wú)限集，則稱G 是無(wú)限群。是無(wú)限群。 定義定義5-85-8 設(shè)設(shè)G; 是一個(gè)群，是一個(gè)群，a Ga G，若存在，若存在正整數(shù)正整數(shù) r r ，使得，使得 a ar r =e=e，則稱元素，則稱元素 a a 具有有限周期。具有有限周期。使使a ar r=e=e成立的最小的正整數(shù)成立的最小的正整數(shù) r r 稱為稱為 a a 的周期。如果的周期。如果對(duì)于任何正整數(shù)對(duì)于任何正整數(shù)r r，均有，均有 a ar r e e，則稱，則稱 a a 的周期為的周期為無(wú)限。無(wú)限。1616例例6 6 在群在群 中，單位元中，單位元1的周期為的周期為1。 （- -1）2=（- -1）4=（- -1）6=

15、 =1=1， ;0R 例例7 7 在例在例2 2所給出的群所給出的群Z 中，（參見(jiàn)例中，（參見(jiàn)例4 4） 1 14 4 = 1= 13 34 41=31=34 41 = res1 = res4 4(4)=0 ,(4)=0 , 2 21 1 = 2 = 2 ，2 22 2=2=24 42 = res2 = res4 4(4)= 0, (4)= 0, 3 34 4 = 3= 33 34 43 = 13 = 14 43 = res3 = res4 4(4) = 0 , (4) = 0 , 1717定理定理5-15-1 設(shè)設(shè)是一由元素是一由元素 g 生成的循環(huán)群，則生成的循環(huán)群，則 （1）若）若 g

16、的周期為的周期為 n ，則，則是一個(gè)階為是一個(gè)階為 n 的有的有限循環(huán)群；限循環(huán)群； （2）若）若 g 的周期為無(wú)限，則的周期為無(wú)限，則是一個(gè)無(wú)限階的是一個(gè)無(wú)限階的循環(huán)群。循環(huán)群。例如例如 循環(huán)群循環(huán)群I+的生成元的生成元1 1和和11，其周期均為無(wú)，其周期均為無(wú)限，群限，群I+是一個(gè)無(wú)限階的循環(huán)群。是一個(gè)無(wú)限階的循環(huán)群。 循環(huán)群循環(huán)群Z 的生成元是的生成元是1 1和和3 3。 1 14 4=1=13 3 4 41=3 1=3 4 41=res1=res4 4(4)=0(4)=0 3 34 4=3=33 3 4 43=1 3=1 4 43=res3=res4 4(4)=0(4)=0 1 1和和

17、3 3的周期均為的周期均為4 4，循環(huán)群，循環(huán)群Z 的階也為的階也為4 4。1818練習(xí)練習(xí)5-25-21設(shè)有集合設(shè)有集合A= 是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，判斷是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，判斷下述各論斷是否正確，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入下述各論斷是否正確，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”或或“N” （1）令）令FA 是一個(gè)群是一個(gè)群. ,dcba ;,:|AFAAff則 ( )（2 2）令）令E EA A = =.是一個(gè)群則是雙射 ;,:|AEAAff ( )（3）EA定義同上，定義同上，是交換群。是交換群。 ( ) (4 (4） E EA A定義同上，定義同上，E 是循環(huán)群。是循環(huán)群。 ( )N NN NN NY Y1919

18、5 53 3 群的性質(zhì)群的性質(zhì)一、關(guān)于相約性一、關(guān)于相約性 定理定理5-2 設(shè)設(shè)是一個(gè)群，則對(duì)任意的是一個(gè)群，則對(duì)任意的a,b G， （1）存在唯一的元素）存在唯一的元素xG，使，使a* *x=b； （2）存在唯一的元素）存在唯一的元素yG，使，使y* *a=b。 證明證明（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)閍,b G ,所以所以 。令。令Gba1bax1 假設(shè)假設(shè) 也使得也使得 成立，則成立，則 bxaGx 因此因此 是滿足是滿足 的唯一的元素。的唯一的元素。bax1bxa xxe)(1xaaba 1 則則 ， 因此因此 ， 是方程是方程 的解的解bbebaabaa)()(11ba1bxaxaa)(12020

19、定理定理5-35-3 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，則對(duì)任意是一個(gè)群，則對(duì)任意的的a,b,cGa,b,cG （1 1）若）若a a* *b=ab=a* *c, c, 則則 b=cb=c； （2 2）若）若b b* *a=ca=c* *a a，則，則 b=cb=c。 證證 明明 （1 1）令）令a a* *b=ab=a* *c=dc=d，根據(jù)定理，根據(jù)定理5-25-2，方程方程a a* *x = d x = d 在在G G中只有唯一的解，故得中只有唯一的解，故得b=cb=c。2121二、元素運(yùn)算后求逆元等于元素分別求逆元后顛二、元素運(yùn)算后求逆元等于元素分別求逆元后顛倒次序相運(yùn)算倒次序相運(yùn)算 定理定理5-45

20、-4 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，則對(duì)任意是一個(gè)群，則對(duì)任意a,b G a,b G ，有有111abba)( 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)?a b) * * (a b) = e1)()(11abba又又)()()()()(111111abbababaeaaabba，因因此此根據(jù)定理根據(jù)定理5-35-3，有，有111abba)(對(duì)對(duì) 任意任意 有有11111121)(aaaaaannn,21Gaaan2222三、關(guān)于元素的周期三、關(guān)于元素的周期 定理定理5-55-5 群群G 中的元素中的元素 a a 若具有有限周期若具有有限周期 r r，則，則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) k k 是是 r r 的整數(shù)倍時(shí)的整數(shù)倍時(shí) ，a ak

21、 k = e = e 。定理定理5-65-6 群中任一元素與它的逆元具有相同的周期。群中任一元素與它的逆元具有相同的周期。 定理定理5-75-7 在有限群在有限群G 中，每個(gè)元素均具有有限周中，每個(gè)元素均具有有限周期，且周期不超過(guò)群期，且周期不超過(guò)群G 的階。的階。 證明證明 設(shè)設(shè)G 是有限群，是有限群，#G = n#G = n，對(duì)任意，對(duì)任意a a G G，構(gòu)造序列構(gòu)造序列a,aa,a2 2,a,a3 3,a,an n,a,an+1n+1, , 因?yàn)橐驗(yàn)?G=n，所以序列中必存在所以序列中必存在ai=aj. )(11nji于是于是 因此因此 a a 的周期至多為的周期至多為 , ,而而 。G

22、ijij得)0(nijeaaaaaijijii2323定理定理5-7的結(jié)論對(duì)于無(wú)限群不成立。的結(jié)論對(duì)于無(wú)限群不成立。例如群例如群 . 例例1 1 對(duì)于對(duì)于5.25.2節(jié)例節(jié)例2 2中的群中的群Z ， 單位元單位元0的周期是的周期是1；1和和3的周期均為的周期均為4；2的周期為的周期為2，群群的階的階4. 例例2 2 設(shè)設(shè) 是一個(gè)群，且對(duì)于任意的是一個(gè)群，且對(duì)于任意的a,b G，有（有（a * * b)2=a2 * * b2 , 則則 是阿貝爾群，是阿貝爾群， 由已知（由已知（a b)=a2 b2(a * * b) * *(a * * b)=(a * * a) * *(b * * b)a a*

23、*(b(b* *a)a)* *b = ab = a* *(a(a* *b)b)* *b b利用定理利用定理5-3的相約性得的相約性得 b* *a = a* *b 2424 練習(xí)練習(xí) 5-35-31填空填空 設(shè)設(shè)Z6 = ， 6 是模是模6的加法，定義為：的加法，定義為： a 6b = res6(a+b)，是一個(gè)群。是一個(gè)群。 （1）群）群 的單位元是的單位元是 。 （2）1的逆元是的逆元是 ；2的逆元是的逆元是 ；3的逆元是的逆元是 。 （3）1的周期是的周期是 ，1與與 的周期相同。的周期相同。 （4）2的周期是的周期是 ，2與與 的周期相同。的周期相同。5 , 4 , 3 , 2 , 1

24、, 0 N Y2判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y” 或或“N” 設(shè)設(shè) 是群，是群，a,b G , a的周期為的周期為5, b的周期為的周期為3。則。則 1）a3=e, a5=e, a8=e, a10=e, a14=e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2）b2=e, b3=e, b5=e, b6=e, b9=e, b15=e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N Y N0 05 54 43 36 65 53 34 4N Y NY Y Y2525 半群，獨(dú)異點(diǎn)和群這三個(gè)概念之間的區(qū)別：半群半群，獨(dú)異點(diǎn)和群這三個(gè)概念之間的區(qū)別

25、：半群N+，獨(dú)異點(diǎn)獨(dú)異點(diǎn)Z+，群，群I+。 若若是是的子群，則的子群，則也是群也是群. 5 54 4 子群及其判別子群及其判別一、子群的定義一、子群的定義定義定義5-95-9 設(shè)設(shè)是一個(gè)群，若是一個(gè)群，若是是的子代數(shù)，單位元的子代數(shù)，單位元e H，且對(duì)于任意的，且對(duì)于任意的a H，有有a-1 H，則稱，則稱是是的子群。的子群。 e ea a G G1aH H2626 I+既是半群、獨(dú)異點(diǎn)，也是一個(gè)群，既是半群、獨(dú)異點(diǎn)，也是一個(gè)群，對(duì)于對(duì)于 I I 的三個(gè)子集：的三個(gè)子集： E E1 1= =IiiEZzzENnn|,|,22232E+只能看作是只能看作是I +的子半群，的子半群， E+只能看作

26、是只能看作是I +的子獨(dú)異點(diǎn)，的子獨(dú)異點(diǎn)， 只有只有 E+才是才是I+的子群。的子群。 對(duì)于任意的整數(shù)對(duì)于任意的整數(shù)m，若令，若令I(lǐng)m= .則則均可構(gòu)成均可構(gòu)成的子群。的子群。 Iiim|2727 例例1 1 KleinKlein的四元群的四元群a,b,c,e; 有如下子群：有如下子群： e， 子集子集 不能構(gòu)成不能構(gòu)成G 的子群，的子群， bae,子集子集 或或 也不能構(gòu)成也不能構(gòu)成G 的子群，的子群， acba, e a b ce a b ce ea ab bc ca e c ba e c bb c e ab c e ac b a ec b a ee a b ce a b c， ae,，

27、be, ce,。和和2828二、子群的判別二、子群的判別 要判斷要判斷H H對(duì)于運(yùn)算能否構(gòu)成對(duì)于運(yùn)算能否構(gòu)成G 的子群，需要弄的子群，需要弄清以下三個(gè)問(wèn)題。清以下三個(gè)問(wèn)題。 1 1 封閉性封閉性：對(duì)于任意：對(duì)于任意a,b Ha,b H，是否有，是否有a b Ha b H； 2 2 單位元單位元：是否有：是否有e He H； 3 3 可逆性可逆性；對(duì)于任意；對(duì)于任意a Ha H，是否有，是否有a a-1-1 H H； 定理定理5-85-8 設(shè)設(shè)G 是群，是群，H H是是G G的非空子集，若的非空子集，若 (1)(1)對(duì)于任意的對(duì)于任意的a,bHa,bH，有，有a a* *bHbH； (2)(2)

28、對(duì)任意的對(duì)任意的aHaH，有，有 HH， 則則H; 是是G 的子群。的子群。1a2929 定理定理5-95-9 設(shè)設(shè) 是一個(gè)群，是一個(gè)群，H H是是G G的一個(gè)非空子的一個(gè)非空子集，若對(duì)于任意集，若對(duì)于任意 ，有，有 ，則，則 是是 的子群。的子群。;GHba ;H;GHba1 證明證明 設(shè)設(shè)aH，則由定理，則由定理5-9的條件的條件由由e,aH,則則Heaa1Haae11 又設(shè)又設(shè)a,bHa,bH，由上證得，由上證得b b-1-1HH，因此，因此 , ,即即a a* *bH , bH , 于是根據(jù)定理于是根據(jù)定理5-85-8，H 是是 G 的子群。的子群。Hba11)(3030 解解 顯然顯

29、然H是是G的非空子集。的非空子集。例例2 2 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，是一個(gè)群，a a是是 G G中任一元素，令中任一元素，令 即即H H是是a a的所有整數(shù)次冪的集合，問(wèn)的所有整數(shù)次冪的集合，問(wèn)H H對(duì)于運(yùn)算對(duì)于運(yùn)算能否構(gòu)成能否構(gòu)成G 的子群？的子群？ ,320123aaaaaaaIiaHi （1）對(duì)任意）對(duì)任意ai,aj H，有，有ai aj=ai+j 因?yàn)橐驗(yàn)閕+j I，所以所以ai+j H；i（2）對(duì)任意對(duì)任意 ai H , 有有a ai=ai a =a0=e,即即a 是是 ai 的逆元，的逆元，ii 又由又由H的定義的定義a H 于是根據(jù)定理于是根據(jù)定理5-8，是是的子群。的子群。 顯然顯

30、然是由元素是由元素a生成的一個(gè)循環(huán)群生成的一個(gè)循環(huán)群.i3131例例3 3 設(shè)設(shè)是一個(gè)群，定義是一個(gè)群，定義G的子集的子集H為為 H= 試問(wèn)試問(wèn)H對(duì)于運(yùn)算能否構(gòu)成對(duì)于運(yùn)算能否構(gòu)成的子群。的子群。axxaGxa,對(duì)對(duì)于于任任意意解：解： 對(duì)任意對(duì)任意 x G，有，有x e = e x = x , 所以所以e H， 故故H是是G的非空子集。的非空子集。 任取任取a , b H,則對(duì)任意則對(duì)任意x G必有必有a x = x a,b x = x b ，于是根據(jù)群的性質(zhì)，于是根據(jù)群的性質(zhì))()(xbaxba1111)(bxa11 )(xba)(1bxa)()()(111baxbaxbxa 因此因此a b

31、 Ha b H，根據(jù)定理，根據(jù)定理5-9, H5-9, 是是G 的子群。的子群。 13232 定理定理5-105-10的證明：的證明： 設(shè)設(shè)a Ha H，由定理，由定理5-75-7，a a具有有限周期，設(shè)為具有有限周期，設(shè)為r r， 定理定理5-105-10 設(shè)設(shè)G 是一有限群，若是一有限群，若H 是是G 的子代數(shù)，則的子代數(shù)，則H 是是G 的子群。的子群。 定理定理5-115-11 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，若是一個(gè)群，若H 是是G 的的有限子代數(shù)，則有限子代數(shù)，則H 是是G 的子群。的子群。 其中其中ar 1 =ar * * a 1 =e * * a 1 =a，因此，因此a1H，故，故是是的子群。

32、的子群。 又因?yàn)檫\(yùn)算又因?yàn)檫\(yùn)算 在在 H H 上封閉，所以元素上封閉，所以元素 a,aa,a2 2,a,a3 3，a ar -1r -1,a,ar r(=e)(=e)均在均在 H H 中，中， 3333 例例4 4 對(duì)于群對(duì)于群Z ，找出它的所有子群。，找出它的所有子群。 單位元單位元e=0e=0，1 1和和5 5互為逆元，互為逆元，2 2和和4 4互為逆元，互為逆元，3 3以以3 3自身為逆元。自身為逆元。Z 有如下子群：有如下子群： ,;60,;,630,;,6420.;66Z解解 按照運(yùn)算按照運(yùn)算 6 6的定義，的定義，a a 6 6b=resb=res6 6(a+b),(a+b),作出

33、作出 群群Z 的運(yùn)算表如下：的運(yùn)算表如下：65 5 5 50 01 12 23 34 40 0 0 01 12 23 34 45 51 1 1 12 23 34 45 50 02 2 2 23 34 45 50 01 13 3 3 34 45 50 01 12 24 4 4 45 50 01 12 23 30 01 12 23 34 45 53434三、子群的等價(jià)定義三、子群的等價(jià)定義 如前所述，若如前所述，若是群是群的子群，則的子群，則自身也必是群。自身也必是群。 反之，設(shè)反之，設(shè)G 是一個(gè)群，是一個(gè)群，H H 是是 G G的非空子集，若的非空子集，若H 也是群，則也是群，則H 必是必是G

34、的子群。的子群。 證明如下：證明如下： * *在在H H上是封閉的，所以上是封閉的，所以H 是是G 的子代數(shù)。的子代數(shù)。 又設(shè)又設(shè) 是群是群H 的單位元，的單位元，e e為群為群G 的單位元。的單位元。 e 則有則有 = , e = ，于是，于是 = e ,由群的相約性，得由群的相約性，得 e = ，因此，因此 e H。eeeeeeeee 又對(duì)任又對(duì)任 a H， 表示表示a在在中的逆元，中的逆元，a 表表示示a在在中的逆元，中的逆元，a1 根據(jù)定義根據(jù)定義5-9，是群是群的子群。的子群。a于是有于是有a = e =a a 。由相約性，得。由相約性，得 =a，因此，因此a H。1a13535 定

35、義定義5-95-9 設(shè)設(shè)G 是一個(gè)群，是一個(gè)群，H H是是G G的非空子集，的非空子集，若若H 也是群，則稱也是群，則稱H 是是G 的子群。的子群。練習(xí)練習(xí)5-41 1判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”Y”或或“N”N”。 對(duì)于群對(duì)于群Z 有如下子群。有如下子群。)()()()()()(;3 , 2 , 1 , 0,;3 , 1 , 0,;3 , 0,;2 , 0,;1 , 0,;0444444YNYNNY36363737 5.55.5格格一偏序集一偏序集1 1。偏序集。偏序集 定義定義5-105-10 集合集合L L和定義在和定義在 L L

36、 上的偏序關(guān)系上的偏序關(guān)系 “ “” ” 一起稱為偏序集，用一起稱為偏序集，用L 表示。表示。 若若 是集合是集合A上的偏序關(guān)系，則上的偏序關(guān)系，則 的逆關(guān)系的逆關(guān)系也必是上的偏序關(guān)系，證明如下：也必是上的偏序關(guān)系，證明如下： R，I，2 和和N|都是偏都是偏序集。序集。3838對(duì)任意的對(duì)任意的 a a ，因?yàn)椋驗(yàn)?自反，所以有自反，所以有 （a,aa,a） , ,于是（于是（a,aa,a） ，因此，因此 也是自反的。也是自反的。對(duì)任意對(duì)任意 a ,b A a ,b A ，若（，若（a,ba,b） 且（且（b,ab,a） ， 則有（則有（b,ab,a） 且（且（a,ba,b） ，必有，必有a

37、 = ba = b， 因此因此 是反對(duì)稱的。是反對(duì)稱的。對(duì)任意對(duì)任意a,b,c A,a,b,c A,若（若（a,ba,b） ,(b,c,(b,c） ， 則有（則有（c,bc,b） 且（且（b,ab,a） ，必有，必有 （c,ac,a） ，于是（，于是（a,ca,c） ，因此，因此 是可傳遞的。是可傳遞的。 由上證得由上證得 也是偏序關(guān)系。也是偏序關(guān)系。 3939根據(jù)逆關(guān)系的定義根據(jù)逆關(guān)系的定義 = = )6 , 6(),3 , 6(),3 , 3(),2 , 6(),2 , 2)(1 , 6(),1 , 3(),1 , 2(),1 , 1 (p 由定義由定義 = = ) 6 , 6(),6 ,

38、 3 (),3 , 3 (),6 , 2(),2 , 2)(6 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1 (),1 , 1 ( 例例1 1 設(shè)設(shè) A= A= ，定義，定義 A A 上的整除關(guān)系上的整除關(guān)系 ： 當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)當(dāng)?shù)﹥H當(dāng) a a 整除整除 b b 時(shí)，有時(shí)，有 。ba6 , 3 ,2, 1 的次序圖如下的次序圖如下 的次序圖如下的次序圖如下p6 61 13 36 62 22 23 31 14040若若L 是一個(gè)偏序集，則對(duì)于任意元素是一個(gè)偏序集，則對(duì)于任意元素 1 1, , 2, 2, 3 3 L L，有以下六個(gè)關(guān)系式成立：，有以下六個(gè)關(guān)系式成立： 1 1 (5- ) 若若 1 2 ，

39、 2 1，則則 1= 2 (5- ) 若若 1 2 ， 2 3，則則 1 3 (5- )312注意注意 在偏序集在偏序集L 中，對(duì)任意元素中，對(duì)任意元素 1 1， 2 2 L L，若若 1 1 2 2，則必有，則必有 2 12 1， 若若 2 12 1，則必有則必有 1 1 2 2，因此，因此， 1 21 2等價(jià)于等價(jià)于 2 12 1 。 1 1 （5-1） 若若 1 2 ， 2 1，則則 1= 2 （5-2） 若若 1 2 ， 2 3，則則 1 3 (5-3)4141如果元素如果元素a a是是 1 1和和 2 2的下界。且對(duì)于任意的下界。且對(duì)于任意 L L，若，若也是也是 1 1和和 2 2

40、的下界，便有的下界，便有 a ,a ,則稱則稱a a是是 1 1和和 2 2的的最大下界最大下界，簡(jiǎn)記作，簡(jiǎn)記作a=glb(a=glb(1 1 , , 2 2).).aa a 2 2最大下界和最小上界最大下界和最小上界定義定義5-115-11 設(shè)設(shè) 1 1和和 2 2是偏序集是偏序集L 中的兩個(gè)元素中的兩個(gè)元素, ,元素元素a La L，如果滿足，如果滿足a a 1 1,a,a 2 2 , ,則稱則稱a a是是 1 1和和 2 2的的下界下界。 定義定義5-125-12 設(shè)設(shè) 1 1和和 2 2是偏序集是偏序集L 中的兩個(gè)元素，中的兩個(gè)元素，元素元素b L ,b L ,如果滿足如果滿足 1 1

41、 b b， 2 2 b b，則稱，則稱 b b是是 1 1和和 2 2的的上界上界。 如果元素如果元素 b b是是 1 1和和 2 2的上界，且對(duì)于任意的上界，且對(duì)于任意 L L，若，若 也是也是 1 1和和 2 2的上界，便有的上界，便有b b，則稱，則稱 b b 是是1 1和和2 2的的最小上界最小上界，簡(jiǎn)記作，簡(jiǎn)記作b=lub(b=lub(1 1, , 2 2) )bbb4242lub(2,3)=lub(2,3)=？，？，glb(12,18)=?glb(12,18)=?，lub(18,27)=?lub(18,27)=?有有2 6，3 6；2 12，3 12；2 18，3 18。 由于由于

42、6 12，6 18，6 6，因此，因此，lub（2，3）=6。 6 12，6 18；2 12，2 18；3 12，3 18；1 12,1 18； 因因1 1 6 6，2 2 6 6，3 3 6 6，所以，所以glb(12,18)glb(12,18)6 6。 例例2 2 設(shè)設(shè)A= “A= “整除整除”關(guān)系是關(guān)系是A A上上的偏序關(guān)系，其次序圖如下，因此，它們構(gòu)成一個(gè)的偏序關(guān)系，其次序圖如下，因此，它們構(gòu)成一個(gè)偏序集偏序集A 。27,18,12, 9 , 6 , 3 , 2 , 11 11818121227272 23 36 69 94343 試問(wèn)試問(wèn) glb(18,12)=?, lub(2,3)

43、=? 218，2 12；3 18，3 12，1 18，1 12。 但但glb(18,12)glb(18,12)不存在。不存在。 類似地，類似地，1212，1818和和3636均是均是2 2和和3 3的上界，的上界，但但 lublub（2 2，3 3）不存在。）不存在。 例例3 3設(shè)設(shè)A=A=，整除關(guān)系是，整除關(guān)系是A A上上的偏序關(guān)系，其次序圖如下的偏序關(guān)系，其次序圖如下 36,12,18, 3 , 2 , 13618122314444 定理定理5-125-12 設(shè)和是偏序集設(shè)和是偏序集L的的兩個(gè)元素，如果和有兩個(gè)元素，如果和有g(shù)lb,glb,則則glbglb是唯一的，是唯一的，如果和如果和

44、有有l(wèi)ublub，則，則lublub是唯一的。是唯一的。121212 證明證明設(shè)和都是和的設(shè)和都是和的glbglb， 1a2a21由定義由定義5-115-11，則，則 , , , ,于是有于是有= = 。1a2a1a2a1a2a 類似地可以證明類似地可以證明, , 和若存在和若存在lublub，則，則lublub也一定是唯一的。也一定是唯一的。1245453 3 最小元素和最大元素最小元素和最大元素 定義定義5-135-13 設(shè)設(shè)是一偏序集。是一偏序集。 (1) 如果存在元素如果存在元素a L，使得對(duì)于所有的元素，使得對(duì)于所有的元素 L，有有a ，則稱，則稱a是是的最小元素。的最小元素。 (2

45、) 如果存在元素如果存在元素b L，使得對(duì)于所有的元素，使得對(duì)于所有的元素 L，有有 b，則稱，則稱b是是的最大元素。的最大元素。 定理定理5-135-13 如果偏序集如果偏序集L有最小元素，則最有最小元素，則最小元素是唯一的。如果小元素是唯一的。如果L有最大元素，則最大元有最大元素，則最大元素也是唯一的。素也是唯一的。 證明證明 設(shè)設(shè) 和和 都是都是L的最小元素，則有的最小元素，則有 ，且，且 ，得，得 。 1a2a1a2a2a2a1a1a4646 若若L是一個(gè)格，則意味著是一個(gè)格，則意味著L也是一個(gè)形也是一個(gè)形為為L(zhǎng) 的代數(shù)系統(tǒng)，其中的代數(shù)系統(tǒng)，其中 和和 是是L L上的兩個(gè)二上的兩個(gè)二元

46、運(yùn)算，對(duì)于任意元運(yùn)算，對(duì)于任意 ， ， 表示在偏序表示在偏序“”意義下，意義下， 和和 的最小上界，的最小上界， 表示表示 和和 的最大的最大下界。下界。221121L2112 二、二、 格格 1 1格的定義格的定義 定義定義5-145-14 設(shè)設(shè)L是一個(gè)偏序集，如果是一個(gè)偏序集，如果L L中中任意兩個(gè)元素都存在著最大下界和最小上界，則稱任意兩個(gè)元素都存在著最大下界和最小上界，則稱L是格。是格。12121 =glb=glb（ ， ），）， =lub=lub（ ， ）。）。1224747例例4 4 試判斷下列次序圖給出的偏序集哪些是格？試判斷下列次序圖給出的偏序集哪些是格？解解 （a a）不是格

47、，）不是格， (b)(b)不是格，不是格， (c)(c)是一個(gè)格，是一個(gè)格， （d d）是一個(gè)格）是一個(gè)格 efdcab(a)(a)edbca(b)(b)fhgdebca(c)(c)51210153630(d)(d)4848)55(2132313)45(221121)45(221121,55,llllllllllllllllllllllllll則則若若）（則則若若2132313。關(guān)系式代表了格的定義這十個(gè)、)()()()(55155515在格在格L L；中有如下四個(gè)關(guān)系式成立中有如下四個(gè)關(guān)系式成立: :4949 2 2格的性質(zhì)格的性質(zhì) 定理定理5-145-14 在格在格L中，對(duì)于任意中，對(duì)于任

48、意以下三式中若任意一式成立，那么其它兩式也成立以下三式中若任意一式成立，那么其它兩式也成立. .L21,)()();()();()(12221121321llllllll證明證明 = = 設(shè)設(shè) ， 121lll,452212llll又由自反性）有由（.55212lll ）于是由（221221,)45(llllll故故由由反反對(duì)對(duì)稱稱性性有有由由另另一一方方面面，5050,221lll = = 設(shè)設(shè) 12,121)45(lllll即即由由 = = 設(shè)設(shè) ,12ll ,11ll 由自反性,2111llll因此因此,55211lll）由（定定理理結(jié)結(jié)論論得得證證。故故由由反反對(duì)對(duì)稱稱性性.121ll

49、l,45121lll）由（5151 定義定義5-155-15 設(shè)設(shè)L是格，是格，P P是包是包含格的元素和符號(hào)含格的元素和符號(hào)= =、， ，的命的命題，將題，將P P中的中的、，和和分別替換成分別替換成、 、 和和所得的命題所得的命題P PD D稱為稱為P P的對(duì)偶。的對(duì)偶。 例如例如 的對(duì)偶是的對(duì)偶是 33213321 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 ： 對(duì)于格對(duì)于格L上的任上的任一真命題一真命題P P，其對(duì)偶，其對(duì)偶 P PD D 亦為格亦為格L上的真上的真命題。命題。 525212211221)()(llllblllla定理定理5-155-15（交換律）（交換律） 設(shè)設(shè)L是格，則對(duì)任意的是格，則對(duì)任意

50、的有有: : Lll21,5353定理定理5-165-16 （結(jié)合律）（結(jié)合律） 設(shè)設(shè)L是格，則對(duì)任意的是格，則對(duì)任意的 ，有Llll321,321321;321321)()()()()()(llllllblllllla,)45(332232,32,1llllllllala且由,3,2lala由傳遞性,2121llalala）有有和和（又又由由55.,)(55321321balllalalla即即，）和和（和和由由. baab 。于是由反對(duì)稱性得。于是由反對(duì)稱性得類似的方法可以證明類似的方法可以證明,)(, )(321321lllblllaa令令）（證明證明5454定理定理5-175-17 （

51、吸收律）（吸收律）設(shè)設(shè)L；是格，則對(duì)任意是格，則對(duì)任意 ，有，有 Lll21 ,12111211)()(;)()(llllblllla證明證明 (b) (b) 由（由（5-45-4） )1 ()(1211llll另一方面，由（另一方面，由（5-15-1）2111145lllll)(,由于是，由（于是，由（5-5） （2）)(2111llll 由（由（1)1)、(2(2）和反對(duì)稱性）和反對(duì)稱性.)(1211llll得5555 定理定理5-185-18 （等冪律）（等冪律） 設(shè)設(shè)L L；是格，則對(duì)任意是格，則對(duì)任意 ，有，有 Ll .)(;)(lllblllal 證明證明 （a a）由定理）由定理

52、5-17 ,5-17 ,lll)(lll5656 定理定理5-195-19 （格的保序性）（格的保序性） 設(shè)設(shè)L L；是格，則對(duì)于任意是格，則對(duì)于任意 ，有，有Lllll4321,43214321, 42,3131213121,32,llllllllllllllllllllll則則）若若（則則）若若（21 證明證明 （1 1）331131llllll 又已知又已知 2312335lllll)(.于是，由 31212131llllllll即），（55由由, ,和和432342) 1 (llllll有有，所以由，所以由因?yàn)橐驗(yàn)?321llll由由傳傳遞遞性性，有有因?yàn)橐驗(yàn)?所以由所以由(1)有有3

53、1ll 2321llll5757 例例4 4 設(shè)設(shè) L = L = ，L L上的整除關(guān)系上的整除關(guān)系 與與L L構(gòu)成一個(gè)格，記作構(gòu)成一個(gè)格，記作L， 126431,3( 6 4 ) = 3 1= 33( 6 4 ) = 3 1= 3 (36)(34) = 6 12 = 6(36)(34) = 6 12 = 6于是于是 3(64)(36)(34)3(64)(36)(34)6(34) = 612 = 66(34) = 612 = 6 (63)(64)= 31= 3(63)(64)= 31= 3 于是于是 6(34)(63)(64)6(34)(63)(64)1264315858 定理定理5-205-

54、20 設(shè)設(shè)L是格，則對(duì)任意是格，則對(duì)任意 , ,有有Llll321,)()()()()()()()(31213213121321lllllllbllllllla 證明證明 （a a）由）由(5-4)(5-4)有有332232llll, 于是，根據(jù)定理于是，根據(jù)定理5-195-19有有21321lllll)(31321)(lllll又由（又由（5-45-4）有）有 )()()(3121321lllllll5959 3 3格的另一種定義方式格的另一種定義方式 定理定理5-215-21 設(shè)設(shè)L 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中中和和都是二元運(yùn)算，滿足交換律，結(jié)合律和吸收律，都是二元運(yùn)算，滿足交

55、換律，結(jié)合律和吸收律，則在則在L L上必存在一偏序關(guān)系，使得上必存在一偏序關(guān)系，使得L 是一個(gè)格。是一個(gè)格。 可以證明關(guān)系可以證明關(guān)系是是L L上的自反，反對(duì)稱和可傳遞的上的自反，反對(duì)稱和可傳遞的關(guān)系，因此關(guān)系，因此是是L L上的偏序關(guān)系。上的偏序關(guān)系。 在在L上定義二元關(guān)系：對(duì)任意上定義二元關(guān)系：對(duì)任意 當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 。L,2112112 進(jìn)一步還可以證明，對(duì)任意進(jìn)一步還可以證明，對(duì)任意 ， 是在是在偏序關(guān)系偏序關(guān)系意義下意義下 1 1和和 2 2的最小上界，的最小上界， 1 2 1 2 是是 1 1和和 2 2的最大下界。的最大下界。 故故L 是一個(gè)格。是一個(gè)格。 L21

56、 ,21 6060 格既可以看作是一個(gè)偏序集格既可以看作是一個(gè)偏序集L ，也可以看作是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)也可以看作是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)L 。 定義定義5-165-16 設(shè)設(shè)L 是一個(gè)代數(shù)系是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，統(tǒng)， 和和 是是 L L 上的兩個(gè)二元運(yùn)算，如果這上的兩個(gè)二元運(yùn)算，如果這兩個(gè)運(yùn)算滿足交換律，結(jié)合律和吸收律，則兩個(gè)運(yùn)算滿足交換律，結(jié)合律和吸收律，則稱稱L 是格。是格。 6161 例例5 5 在全集合在全集合 U U 的冪集的冪集 2 2U U = = 上的上的 包含關(guān)系包含關(guān)系“ ”“ ”是是 2 2U U 上的一偏序關(guān)系。上的一偏序關(guān)系。 USS| 因?yàn)閷?duì)任意因?yàn)閷?duì)任意Si 2U，總有，總有Si S

57、i，所以，所以 是自反的。是自反的。對(duì)任意對(duì)任意S Si i , , S Sj j 2 2U U , , 若若S Si i S Sj j ，且，且S Sj j S Si i ，則必有則必有S Si i = S= Sj j ，所以，所以 是反對(duì)稱的。是反對(duì)稱的。 對(duì)任意對(duì)任意S Si , i , S Sj j ，S Sk k 2 2U U，若，若S Si i S Sj j ，S Sj j S Sk k ，則必有則必有S Si i S Sk k，所以，所以 是可傳遞的。是可傳遞的。 因此因此2 是一偏序集。是一偏序集。6262因此因此S Si iSSj j是是S Si i和和S Sj j的上界。的

58、上界。 對(duì)于任意對(duì)于任意S Si , i , S Sj j 2 2U U，有，有S Si i S Si iSSj j，S Sj, j, S Si iSSj j， 類似地可以證明，對(duì)任意類似地可以證明，對(duì)任意 ，glb(sglb(si i,s,sj j)=s)=si issj j 因此因此2 是一個(gè)格是一個(gè)格 另一方面，集合的并運(yùn)算和交運(yùn)算和另一方面，集合的并運(yùn)算和交運(yùn)算和2 2U U構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)2 ，因?yàn)檫\(yùn)算，因?yàn)檫\(yùn)算和和都滿足交換律，結(jié)合律都滿足交換律，結(jié)合律 和吸收律，因此和吸收律，因此2是一個(gè)格。是一個(gè)格。 Ujiss2, 則必有則必有S Si iSSj j S S。因此。因

59、此S Si iSSj j是是S Si i和和S Sj j的最小的最小上界。即上界。即lub(Slub(Si i，S Sj j)= S)= Si iSSj j。 若有若有S 2S 2U U，使得，使得 S Si i S S ，S Sj j S S， 6363 例例6 設(shè)設(shè)U=a,b,cU=a,b,c 則則2 2U U=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c三三 子格子格 定義定義5-175-17 設(shè)設(shè)L,是格，如果是格，如果T, 是是L, 的子代數(shù)，則稱的子代數(shù)，則稱T, 是是L, 的子的子格。格。 格格2 對(duì)應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng)形式的格是對(duì)應(yīng)

60、的代數(shù)系統(tǒng)形式的格是2.子格也是一個(gè)格。子格也是一個(gè)格。6464令令 S S1 1=b,a,bb,c,a,b,c=b,a,bb,c,a,b,cS S2 2=,a, c,a, c=,a, c,a, cS S3 3=,a,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c=,a,c,a,b,a,c,b,c,a,b,cS是是2的子格。的子格。S也是也是2的子格。的子格。 S S3 3不能與這兩個(gè)運(yùn)算構(gòu)成不能與這兩個(gè)運(yùn)算構(gòu)成2的子格。的子格。a,b,ca,cb,ca,bacb65652 6 1 112 12 練習(xí)練習(xí)5-55-51 1 設(shè)設(shè) L = 1L = 1，2 2，3 3，4 4，6 6，1212，在，在L