newCh1-4無窮小量與無窮大量

1、1.1集合集合1.2函數(shù)函數(shù)1.4無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量1.3函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.5函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、無窮小量一、無窮小量二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較三、無窮大量三、無窮大量四、數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系四、數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系 1.4 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量一、無窮小量一、無窮小量1 定義定義1 在某一極限過程中在某一極限過程中, 以以0為極限的變量為極限的變量(數(shù)列數(shù)列)稱為該極限過程的稱為該極限過程的無窮小量無窮小量,簡稱簡稱無窮小無窮小.無窮小量的等價定無窮小量的等價定義義0( )f xxx為時的無窮小量為時的無窮小量nan 為時的無

2、窮小量為時的無窮小量lim0nna0lim( )0 xxf x00,0,0( )xxf x ，有有( )f xx 為時的無窮小量為時的無窮小量lim( )0 xf x 0,0,( )XxXf x 有有0,0,.nNnNa 有有1. 無窮小是無窮小是變量變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; 相對于某變化過程而言相對于某變化過程而言! 2.零是可以作為無窮小量的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小量的唯一的數(shù).注意注意11.2nnnnqqn 當時， ， ,()均是無窮小量當時， ， ,()均是無窮小量例如例如,20,sin,1cos.xx xxx 當當時時, ,均均是是無無窮窮小小量量0.xx當當時

3、時, ,是是無無窮窮小小量量1 sin.xxxx 當時， ，是的無窮小量當時， ，是的無窮小量2. 無窮小量的性質(zhì)無窮小量的性質(zhì)定理定理1 1 在在同同一極限過程中一極限過程中, ,（1 1）有限個無窮小的代數(shù)和仍然是無窮小）有限個無窮小的代數(shù)和仍然是無窮小. . （2 2）有限個無窮小的乘積仍然是無窮?。┯邢迋€無窮小的乘積仍然是無窮小. . （3 3）無窮小與有界量（函數(shù)）的乘積是無窮?。o窮小與有界量（函數(shù)）的乘積是無窮小. .注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個

4、個但但nn推論推論1 1 在同一極限過程中在同一極限過程中, ,有極限的變量與無窮有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小小的乘積是無窮小. .推論推論2 2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .定理定理1(3)無窮小無窮小與與有界量有界量(函數(shù)函數(shù))的乘積是無窮小量的乘積是無窮小量.證證內(nèi)內(nèi)有有界界，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒恒有有時時使使得得當當則則.0,0,0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxx,0時時的的無無窮窮小小是是當當

5、又又設(shè)設(shè)xx 3.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趨趨近近零

6、零的的速速度度要要快快得得多多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較0(4)lim,.xx 如果不則稱 與 無法比較如果不則稱 與 無法比較1.1.等價無窮小的性質(zhì)等價無窮小的性質(zhì)證證(1)定理定理300000 ( ) ( )(),(1)lim( ) ( )lim( ) ( );( )( )(2)( )0,( )0,limlim.( )( )xxxxxxxxxxxxx h xAx h xAh xh xxxAAxx設(shè)設(shè)若若若若2.2.常用等價無窮小常用等價無窮小,0時時當

7、當 x2sin, arcsin,tan, arctan,11cos,2111 ()nxxxxxxxxxxxxnNn 1sinxxx與 無法比較.與 無法比較.,0時時當當 x例例1 1.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解

8、解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 xxxxxarctan1sin1lim0 例例3 3練習(xí)練習(xí) 求求1320(1)1lim.cos1xxx xxxxxarctan1sin1lim20 3001122sinlimlimxxxxxx三、無窮大量三、無窮大量觀察：觀察：1 ,x 1 ,x 1( )1f xx 1( )1f xx 1,x 1( )1f xx 越來越大越來越大,x 2( )f xx 越來越大越來越大11, 2,3, 4,( 1),;nn 1(1)nn 越來越小越來越小越來越大越來越大0

9、,xx當時當時( )f x越來越大越來越大描述描述:000,0,0,(li).m( )xxMxxf xMf x 有有0,0,( ),(lim( )xMXxXf xfxxMf x 有有- - - - -稱稱當當時時為為無無窮窮大大量量. .類似地有類似地有M-X定義定義 ,類似地可定義：正無窮大，負無窮大類似地可定義：正無窮大，負無窮大00lim( )(lim( )xxxxf xf x 或或請同學(xué)自行思考寫出精確數(shù)學(xué)定義請同學(xué)自行思考寫出精確數(shù)學(xué)定義! !lim.nna 00lim( )(0,0,)0,.xxf xf xMxxM 有有00lim( )(0,0,)0,.xxf xf xMxxM 有

10、有()()lim( )(lim( )xxf xf x 或或000,0,0,(li).m( )xxMxxf xMf x 有有0,0,lim.nnnnMNnNaMana （無無論論多多么么大大）使使時時 恒恒有有則則稱稱數(shù)數(shù)列列當當時時為為，記記作作義義無無窮窮大大量量定定lim0,0,.nnnaMNnNaM 有有 同理可定義同理可定義lim0,0,.nnnaMNnNaM 有有12lim( 1)limlim()nnnnnnn (隱藏)注意注意1.無窮大量是變量無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大量是一種特殊的無界變量無窮大量是一種特殊的無界變量,但是但是無界變量未必是

11、無窮大無界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxx1( 1)2nn 1( 1)0,2,0,4,2nn 例如例如.無窮大實質(zhì)上是函數(shù)極限不存在的無窮大實質(zhì)上是函數(shù)極限不存在的一種情況一種情況xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( nnxn取取,22)( nxyn.)(,Mxynn 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( nnxn取取,可以任意小可以任意小充分大時充分大時當當nxn nnxyn2sin2)(但

12、但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，(隱藏).11lim1 xx證明證明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy定理定理5 5 在同一自變量變化過程中在同一自變量變化過程中, ,無窮大的倒數(shù)無窮大的倒數(shù)為無窮小為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時時使得

13、當使得當.)(1 xf即即.)(1,0為無窮小為無窮小時時當當xfxx 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時時使得當使得當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時時當當xfxx , 0)( xf由于由于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系得由無窮小

14、與無窮大的關(guān)系得例例5 5.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx例例6 6.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法

15、: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.極限求法極限求法小結(jié)小結(jié):a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用無窮小與無窮大的關(guān)系求極限利用無窮小與無窮大的關(guān)系求極限;f.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限;g.夾逼性夾逼性;h.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則;i.兩個重要極限兩個重要極限關(guān)于復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)的說明關(guān)于復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)的說明四、數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系