郭新柱理論力學(第五章)

1、第五章第五章 點的運動點的運動第六章第六章 剛體的運動剛體的運動緒緒 論論一 運動學 研究物體機械運動的幾何性質，包括研究物體機械運動的幾何性質，包括運動規(guī)律、軌跡、速度、加速度。運動規(guī)律、軌跡、速度、加速度。不考慮力和不考慮力和質量，點和幾何體。質量，點和幾何體。(一一).運動學任務運動學任務 1.點和剛體運動的描述(運動方程); 2.點的運動特征量(軌跡, 速度和加速度); 3.剛體運動特征量(角速度和角加速度)。 動點動點 選擇參考坐標系選擇參考坐標系 運動方程運動方程 軌跡方程軌跡方程 速度方程速度方程 加速度方程加速度方程 對時間對時間 t 求導求導 對時間對時間 t 求導求導 消去

2、時間消去時間 t (二二). 明確兩個基本概念明確兩個基本概念 1.物體在空間的位置必須說明它是對哪個物體而言的； 2.運動學中涉及的時間概念主要是瞬時和時間間隔。矢量分析與微積分。矢量分析與微積分。二 理論基礎三 內容線索 剛體簡單運動點的運動運動學基礎剛體上兩點運動關系用復合運動研究剛體平面運動 參考系運動量關系動點相對兩個點的復合運動 四四. 要求要求 1.能能選用合適的方法選用合適的方法描述描述點的運動點的運動和和剛體的基本剛體的基本 運動運動。能熟練的計算。能熟練的計算速度和加速度速度和加速度,角速度和角角速度和角 加速度加速度; 2.能正確的分析剛體的平面運動能正確的分析剛體的平面

3、運動,能熟練地能熟練地確定速確定速 度瞬值，計算剛體角速度度瞬值，計算剛體角速度,熟練的熟練的選用不同的方選用不同的方 法求平面圖形上各點的速度和角速度法求平面圖形上各點的速度和角速度; 3.正確地選擇動點和動系，應用合成運動的方法正確地選擇動點和動系，應用合成運動的方法 求點的速度和加速度。求點的速度和加速度。 建立機械運動的描述方法 建立運動量之間的關系為后續(xù)課打基礎及直接運用于工程實際。運動學研究的對象：運動學研究的對象：運動學學習目的：運動學學習目的：五研究方法 幾何法:矢量方法，形象直觀，瞬時分析解析法: 微積分，便于計算機，過程分析六難點，難點，重點（1）點的合成運動；（）點的合成

4、運動；（2）剛體的平面運動）剛體的平面運動一、兩類物理量一、兩類物理量直角坐標系直角坐標系x、y、z正向單位矢用正向單位矢用 表示表示 kji, 二、矢量的表示二、矢量的表示的單位矢的單位矢 ， , 矢量矢量 寫成寫成 AAAA0A0AAA 如如: 等BEaF,v標量標量 用數(shù)字和單位就可表示的量用數(shù)字和單位就可表示的量矢量矢量 有大小又有方向的量有大小又有方向的量書寫書寫 字母上加箭頭字母上加箭頭 印刷印刷 用黑體字用黑體字單位矢量單位矢量 模（或數(shù)值）為模（或數(shù)值）為1 1的矢量的矢量n,自然坐標中切向和法向單位矢用自然坐標中切向和法向單位矢用 表示表示 矢量及其運算矢量及其運算 矢量相減

5、矢量相減四、矢量的分解 平行四邊形法平行四邊形法:ABABCABABD平面矢量的分解平面矢量的分解三、矢量的合成三、矢量的合成 作圖法作圖法 正交分解正交分解空間矢量的分解空間矢量的分解 的大小A的方向AxyAAtan的大小 A22yxAAAjAiAjAiAAyxsincoszxyzAopA kA iA jA k 222zyxAAAAAxyoyAxAxzoyAzAxAyApp五、矢量的運算五、矢量的運算1. 1. 兩矢量的和與差兩矢量的和與差kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(2. 2. 兩矢量點乘兩矢量點乘( (標積）標積） 性質：性質： 已知已知: ， kAjAiAAzyxkBj

6、BiBBzyx 結果為一標量結果為一標量。 是 與 的夾角ABA BAB 0BAABBA)(3BA)(2cosABBA定義定義:A)(1B單位矢量的點乘單位矢量的點乘 1kkjjii0ikkjji標積的坐標分量式標積的坐標分量式 zzyyxxBABABABA3、兩矢量叉乘（矢積）、兩矢量叉乘（矢積） sinABC 的大小 C結果為一矢量。令該矢量結果為一矢量。令該矢量為為 ， CCBA 的方向垂直的方向垂直 與與 構成的平面，構成的平面，指向由右手螺旋法則確定指向由右手螺旋法則確定CABABC 性質：性質： 單位矢量的叉乘單位矢量的叉乘ABBA)(3BA)(2ABC 0kkjjiikijjii

7、jkkjjkiikBA)(10Ckij矢量叉乘可以寫成行列式矢量叉乘可以寫成行列式 zyxzyxBBBAAAkjiBA六、矢量的微商和積分（略）kBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()()()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyx矢積的坐標分量式矢積的坐標分量式( (一一).).參考體參考體: : 要確定某物體在空間的位置,必須選取另一不變形的物體作為參考體參考體. . 如:書和黑板擦放在講臺上,書在運動,選黑板擦為“參考體”.( (二二).).參考坐標系參考坐標系: : 如將坐標系固連于參考體上,就構成參考坐標系.若某一物體相對參考坐標系是靜體,則對于此坐標系來說

8、,物體靜止;反之運動。( (三三).).靜坐標系靜坐標系: :一般固連于地球上的坐標系為參考坐標參考坐標系系, , 通常稱為靜坐標系。說明一點：古典力學認為時間和空間的度量對于所有參考系都是一樣的，且將時間視為連續(xù)的自變量。一一 基本概念基本概念第第五五章章 點的運動點的運動5.1 5.1 點的運動和剛體的基本運動點的運動和剛體的基本運動( (四四).). 瞬時瞬時：對應于某一事件對應于某一事件發(fā)生發(fā)生或或終止終止的時間。如上課開始時。( (五五). ). 時間間隔時間間隔: : 兩個瞬時之間的時間數(shù)。如得開始與結束之間的時間數(shù)50分鐘。( (六六). ). 軌跡軌跡: : 點在空間運動所經(jīng)過

9、的路線。直線運動, 曲線運動。點的運動主要分析以下四個點的運動主要分析以下四個方面：方面： 運動方程運動方程, 軌跡軌跡，速度速度，加速度。，加速度。 點運動時，在空間所占的位置隨時間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點的點運動時，在空間所占的位置隨時間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點的運動軌跡。點的運動可按軌跡形狀分為直線運動和曲線運動。當軌跡為圓運動軌跡。點的運動可按軌跡形狀分為直線運動和曲線運動。當軌跡為圓時稱為圓周運動。時稱為圓周運動。 表示點的位置隨時間變化的規(guī)律的數(shù)學方程稱為點的運動方程。決定表示點的位置隨時間變化的規(guī)律的數(shù)學方程稱為點的運動方程。決定點的運動點的運動, 就是確定動點在參考系中

10、的每一瞬時的位置。本章研究的內容為就是確定動點在參考系中的每一瞬時的位置。本章研究的內容為點的運動方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關系。點的運動方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關系。基本方法基本方法: 1.: 1.自然法自然法; 2. ; 2. 直角坐標法直角坐標法; 3. ; 3. 矢徑法矢徑法。一一 自然法自然法 設點的運動的軌跡曲線是已知的。要確定動點的位置: 1.軌跡方程 ; 2.每一瞬時在軌跡曲線上的位置。 （1 1）沿點的軌跡曲線建立一條曲線坐標軸； （2）選定一點O為弧的起點，O到動點M的弧長OM=S； （3）規(guī)定起點O的一邊弧長為正。二二 點的運動方程點的運動方

11、程 S是代數(shù)量，稱為動點 M 的弧坐標或自然坐標。這樣，動點沿已知軌跡的運動可用一時間 t 的連續(xù)函數(shù)來表示： S = f ( t ) 即為軌道運動方程。二二 直角坐標法直角坐標法 點在空間的任一瞬時的位置由 x , y , z 來確定。 SM(+)(-) 三三 矢徑法矢徑法 選O為原點r=OM當動點運動時，則矢徑的大小及方向均隨時間而變。 r = r ( t )r = r ( t ) 矢徑的運動方程 運動時，矢徑端點所抽繪的曲線動點軌跡 x z yOMyx z r平面：動點M始終在平面 oxy 內運動。則, 運動方程 x = f1( t ) , y = f2 ( t ) 軌跡方程F (x,y

12、) = 0MxyOrz 直角坐標運動方程（一般含時間 t ) （在方程中消去時間 t） 動點的軌跡方程（不含時間 t )()()(321tfztfytfx空間：)(trr 設有一點設有一點M沿曲線沿曲線AB運動，在運動，在任一瞬時任一瞬時t，該點之位置可由如下矢該點之位置可由如下矢徑確定徑確定顯然，當動點顯然，當動點M沿沿 AB 運動時運動時，r是一變矢量。是一變矢量。1. 位移位移 從瞬時從瞬時 t 到到 t +t ，動點位置由動點位置由M改變到改變到M，其矢徑分，其矢徑分別為別為r和和r。在時間間隔。在時間間隔t內內，r 之變化量為之變化量為rMMrrrr)()(ttt它表示在它表示在t時

13、間內動點矢徑之改變，稱為動點在時間內動點矢徑之改變，稱為動點在t時間內的時間內的位移。BMOr0ABM0Mrrr一、矢量法一、矢量法5.1.1 5.1.1 點的運動描述方法點的運動描述方法2. 點的運動方程( ) trr選取參考系上某確定點O為坐標原點，自點O向動點M作矢量r，稱為點M相對原點O的位置矢量，簡稱矢徑。當動點 M運動時，矢徑r隨時間而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即MrO3. 點的速度動點的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導數(shù)。動點的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動點運動軌跡的切線，并與此點運動的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r0limttt ddrrv運動

14、軌跡t : Mt + t : M 當當 t 0 MM = MM)()(trttrrMMtrv*平均速度速度對于時間的變化率加速度a* = d tvMMvaavvv 動點的速度等于動點的矢徑對于時間的一階導數(shù).動點的瞬時速度 單位單位 : m/s , cm/s , km/h .dtdrtrvvttlimlim00*t : v t + t :v4. 加速度（1 1）、平均加速度）、平均加速度220ddlimddtttt vvra點的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點的加速度等于它的速度對時間的一階導數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導數(shù)。 有時為了方便

15、，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導數(shù)，加“.”表示該量對時間的二階導數(shù)。 avr（2 2）、瞬時加速度）、瞬時加速度 如在空間任意取一點O，把動點M在連續(xù)不同瞬時的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到點O，連接各矢量的端點M1，M2，M3，就構成了矢量v端點的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動點的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應點M的切線相平行。 速度矢端曲線速度矢端曲線OM1M2M3vv1v2a加速度的方向確定加速度的方向確定這組方程叫做用直角坐標表示的點的運動方程。123( )( )( )xf tyf tzf txyzrijk如以矢徑r的起點為直角坐標系的原點，則矢徑r

16、可表示為：MrOkijyyxxzz1.1.運動方程運動方程二、直角坐標法二、直角坐標法xyzxyzvvvvrijkijk 速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的一階導數(shù)。2.點的速度若已知速度的投影，則速度的大小為222zyxv其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos( , )xyzvvvv iv jv k,xyzxxyyzzaaaavxavyavzaijk 加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的二階導數(shù)。3.點的加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為222222zyxaaaazyx 其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos(

17、, )xyzaaaa ia ja k解：取M點的直線軌跡為 x 軸，曲柄的轉動中心O為坐標圓點。M點的坐標為：例1 下圖為偏心驅動油泵中的曲柄導桿機構。設曲柄 OA 長為r ，自水平位置開始以勻角速度w 轉動，即j =wt，滑槽K-K與導桿B-B制成一體。曲柄端點A通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲柄帶動導桿B-B作上下直線運動。試求導桿的運動方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 將j =wt帶入上式，得M點的運動方程：sinxrtw將上式對時間求一階導數(shù)和二階導數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄連桿機構是由曲柄、

18、連桿及滑塊組成的機構。當曲柄OA繞O軸轉動時，由于連桿AB帶動，滑塊沿直線作往復運動。設曲柄OA長為r，以角速度w 繞O軸轉動，即jwt，連桿AB長為l。試求滑塊B的運動方程、速度和加速度。解：取滑塊B的直線軌跡為x軸，曲柄的轉動中心O為坐標原點。在經(jīng)過 t 秒后，此時B點的坐標為：ABOClxwxj整理可得B的運動方程：lrtltrxww22sin1cosCBOCOBx22sincosjjrlr由此可得滑塊B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 將右邊最后一項展開：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111

19、sin1sinsin28tttwww tltrxww22sin1cos例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動的速度。解: 取坐標系x如圖所示，由幾何關系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對t求一階導數(shù)，得 M 點的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx)(tfs 這就是自然坐標形式的點的運動方程。1 弧坐標 設動點M的軌跡為如圖所示的曲線，則動點M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點O為參考點，并設點O的某一側為正向，動點M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動點M在軌

20、跡上的弧坐標。當動點M運動時，s隨著時間變化，它是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即 三、自然法三、自然法 利用點的運動軌跡建立弧坐標，用來描述和分利用點的運動軌跡建立弧坐標，用來描述和分析點的運動的方法叫析點的運動的方法叫自然法自然法。 弧坐標具有以下要素：弧坐標具有以下要素：2、有、有正、負方向正、負方向(一般以點的運動方向作一般以點的運動方向作為正向為正向)；1、有、有坐標原點坐標原點(一般在軌跡上任選一參考一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點點作為坐標原點)；3、有、有相應的坐標系相應的坐標系(自然軸系自然軸系)。 在圖中點在圖中點M趨近于趨近于M，即即 趨近于零的過程中，包括直線趨近于零的過程中

21、，包括直線 MT 和和MT1的平面，將繞的平面，將繞MT轉動而趨近于某轉動而趨近于某一極限位置；在這極限位置的平面稱一極限位置；在這極限位置的平面稱為曲線在點為曲線在點M的的密切面或曲率平面。TMTMsT1 密切面密切面”指向“方向沿切線1limlim00srsrss= 單位矢量單位矢量 0MMrsMrrovs 空間曲線上的任意點都存在密切面，而且空間曲線上的任意點都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空間曲線上的任意點無窮小鄰域內的一段空間曲線上的任意點無窮小鄰域內的一段弧長，可以看作是位于密切面內的平面曲線。弧長，可以看作是位于密切面內的平面曲線。 曲線在密切面內的彎曲程度，稱為曲線的曲

22、線在密切面內的彎曲程度，稱為曲線的曲率，用曲率，用1/ 表示。表示。 比值比值 可用來表示弧可用來表示弧MM的平均彎曲程度，并稱為的平均彎曲程度，并稱為平均曲率平均曲率。sskt0lim 當點當點M趨近于點趨近于點M時，平均曲率時，平均曲率的極限值稱為曲線在點的極限值稱為曲線在點M處的處的曲率曲率，用用k 表示，有表示，有TMTMsT1 （取絕對值取絕對值）稱為曲線對稱為曲線對應于弧應于弧 MM的的鄰角鄰角，可用來說明該可用來說明該曲線的彎曲程度。曲線的彎曲程度。2. 曲線的曲率 曲線在點曲線在點M的曲率的倒數(shù)，的曲率的倒數(shù)，稱為曲線在點稱為曲線在點M的的曲率半徑曲率半徑，用用表表示，有示，有

23、k1TMTMsT1skt0lim曲曲 率率 通過點通過點M而與切線垂直的而與切線垂直的平面，稱為曲線在點平面，稱為曲線在點M 的的法面。 法面主法線副法線M法面法面 法面與密切面的交線法面與密切面的交線MN稱為稱為主法線。 法面內與主法線垂直的法面內與主法線垂直的直線直線MB稱為稱為副法線。密切面密切面3 自然軸系 即以點M為原點，以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的自然坐標系，這三個軸稱為自然軸系。且三個單位矢量滿足右手法則，即密切面法面切線主法線副法線Mnb bnMn 1 1 M1在點的運動軌跡曲線上取極為接近的兩點M和M1，這兩點切線的單位矢量分別為 和 1，其

24、指向與弧坐標正向一致。將 1平移到點M，則 和 1決定一平面。令M無限趨近點M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點M的密切面。過點M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內凹一側。過點M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與 、 n構成右手系。自然軸系的自然軸系的特點特點 跟隨動點在軌跟隨動點在軌跡上作空間曲線跡上作空間曲線運動。運動。MrsABMOrrsv()()O1tddrv M點的速度點的速度（矢量矢量）為為設已知點設已知點M的運動軌跡和運動方程的運動軌跡和運動方程)(tfs ttvtrr0lim

25、ddtssssttt.limlim00rrtst0limvtsdd) 1lim (0str由于dtdsvv4.點的速度點的速度MrsABMOrrsv()()O1 方向沿軌跡在方向沿軌跡在M處的切線處的切線et 并并指向弧坐標增加的一方。指向弧坐標增加的一方。et 可見，點可見，點M的速度是沿軌跡切的速度是沿軌跡切線，并可表示為線，并可表示為 ttddeevvtstsvdd即：即：動點的速度在切線上的投影，等于它的弧坐標對時間的一階導數(shù)。又沿軌跡切線，所以它在法線上的投影恒等于零。又沿軌跡切線，所以它在法線上的投影恒等于零。其中其中v 是速度矢量在切線正向的投影，是速度矢量在切線正向的投影，大小

26、等于大小等于MrsABMOrrsv()()O1t tttddeevvts46切向加速度切向加速度 -表示速度大小的變化22dtSddtdva5、點的加速度、點的加速度法向加速度法向加速度 -表示速度方向的變化nvdtdvan2nvtvaaan2dddtdvdtdvvdtdtva)(dd上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時間的變化率；分矢量an的方向永遠沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時間的變化率。2ddvvtan全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：22tnaaa大?。悍较颍?/p>

27、tnaaatn|tanaa200t12ssv ta tttddacva t 了解上述關系后，容易得到曲線運動的運動規(guī)律。例如所謂曲線勻速運動，即動點速度的代數(shù)值保持不變。 如果動點的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動點的運動稱為勻變速曲線運動?，F(xiàn)在來求它的運動規(guī)律。 tavt0v例4 下圖為料斗提升機示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉動的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提升的運動方程為y2t2，y以cm記，t 以s計。求卷筒邊緣一點M在t4s時的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此時M點的切向加速度為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當t=4 s時速度為：d

28、4dSvttM點的法向加速度為：2216/nvacmsRM點的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在M1、M2點的曲率半徑分別為1=600m, 2=800m 。求列車從M1到M2所需的時間和經(jīng)過M1和M2處的加速度。M1M2V2V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv200t12ssv ta ttavt0v求列車經(jīng)過M1和M2時的法向加速度為：221

29、110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列車經(jīng)過M1時的全加速度為：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .5naa列車經(jīng)過M2時的加速度為：55 5-6已知v0，求滑塊A的速度和加速度與距離x的 關系式。xlv0AOB解：設 t =0 時，AB=a2202)(ltvax00)(22vtvaxx等式兩邊求導：22000)(lxxvxvtvax5600)(22vtvaxx20vxxxx x

30、xvx220 xlxxvv)(22220203220 xlv 例例7 7 如圖所示，固定圓圈的半徑為R，搖桿O1A繞O1軸以勻角速度 轉動， 。軸固定在圓周上，小環(huán)M同時套在搖桿和圓圈上。運動開始時， ，搖桿O1A在水平位置。試分別用直角坐標法和自然法寫出小環(huán)M的運動方程，并求出其速度和加速度。wtwj0j解解 直角坐標法直角坐標法：以圓心O為原點建立直角坐標系，如圖所示。任一瞬時動點M的位置用坐標 x、y表示。由于 ，而圓心角 ，于是以直角坐標表示的小環(huán)M的運動方程為twjtwj22tRytRxww2sin2cos 將運動方程分別對時間求一階導數(shù)和二階導數(shù)，分別可得速度和加速度在直角坐標軸上

31、的投影： tRtyvtRtxvyxwwww2cos2dd2sin2ddtRtyatRtxayxwwww2sin4dd2cos4dd222222速度的大小為速度的方向為wRvvvyx222cos()sin2cos()cos2xyvvitvvvjtvww ，加速度的大小為加速度的方向為2224wRaaayxcos()cos2cos()sin2xyaaitaaajtaww ， 弧坐標法弧坐標法： 動點M的運動軌跡是圓弧，在軌跡上取水平直徑的端點O2為弧坐標的原點，并規(guī)定O2點的上方為正，則任一瞬時動點M的位置可用弧坐標S表示，顯然 這就是小環(huán)M以弧坐標表示的運動方程。 將弧坐標表示的運動方程分別對時

32、間求一階和二階導數(shù)，可得速度與切向加速度的大小為tRRRswj220dd2dd22tsaRtsvw 因為切向加速度等于零，故全加速度即為法向加速度，其大小為： 即，速度的大小為 ，方向與 相同(與矢徑 r 垂直)。加速度大小為 ，方向指向圓心(與矢徑r反向)。 以上兩種方法求得的結果完全相同。由于運動軌跡已知，因而用自然法求解顯然更加方便。 224wRvanwR2 24wR例例5-85-8 已知：半徑為已知：半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動地滾動的輪子沿直線軌道無滑動地滾動（稱為純滾動），設輪子轉角（稱為純滾動），設輪子轉角 為常值），為常值），如圖所示。求用直角坐標和弧坐標表示的輪緣上任一如圖

33、所示。求用直角坐標和弧坐標表示的輪緣上任一點點M的運動方程，并求該點的速度、切向加速度及法的運動方程，并求該點的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( tjw wMMjRoj M點作曲線運動，取點作曲線運動，取 直角坐標系如圖所示。直角坐標系如圖所示。OCMCrr tjw由純滾動條件由純滾動條件)sin(sin1ttrMOOCxwwjtrMOCOywjcos1cos11從而從而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrtwwww)202sin2)cos1 (222wwwwwttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrtwwww222wraaayx00d2sind4 (1cos

34、)(02)22ttttsv trtrtwwww又點又點M的切向加速度為的切向加速度為2cos2ttrvaww 2sin22t2ntraaaww兩類問題由運動方程，求 微分av, 5-2. 連桿結構，已知 求：點M運動方程、速度、加速度。 tjwyxjaMlwllcossinxlat ylatww2222cossinxyaxla t x ayla t y sincosxy vxla t vyla t 22221xylala軌跡yxjaMlwll由速度，加速度，求運動方程積分。5-4 凸輪機構。已知 ，使頂桿AB勻速 上升一段，設計凸輪輪廓線。wuOBAwtavtvadddd tttavv00d)

35、(tvxtxvdd dd tttvxx00d)(初初始始位位移移時時 ,00 xxt 初初速速度度時時 ,00vvt 質點作直線運動，是一維運動，則各運動量可作為標量處理：由速度，加速度，求運動方程積分。例：設質點沿x軸作直線運動，a=2t，t =0時 x0=0， v0=0 試求: t =2s時質點的速度和位置。解：加速度a不是常量，將a=2t寫成 ：ttvd2d 對兩邊積分： txttxttx0202dd;dd;d2d00 tvttv) 1 (dd2ttxv )2(313tx 把t =2 s 分別代入(1)、(2)得：mxsmv67. 238;/4 指出在下列情況下指出在下列情況下,點點M作

36、何種運動作何種運動? , , , 0na常數(shù)a0a常數(shù)0a0na常數(shù)va, 0常數(shù)常數(shù)naa, 00na0a常數(shù)常數(shù)naa,(勻變速直線運動勻變速直線運動)(勻速圓周運動勻速圓周運動)(勻速直線運動或靜止勻速直線運動或靜止)(直線運動直線運動)(勻速運動勻速運動)(圓周運動圓周運動)(勻速運動勻速運動)(直線運動直線運動)(勻速曲線運動勻速曲線運動)(勻變速曲線運動勻變速曲線運動)72指出在下列情況下指出在下列情況下,點點M作何種運動作何種運動? , , , 0na常數(shù)a0a常數(shù)0a0na常數(shù)va, 0常數(shù)常數(shù)naa, 00na0a常數(shù)常數(shù)naa,(勻變速直線運動勻變速直線運動)(勻速圓周運動

37、勻速圓周運動)(勻速直線運動或靜止勻速直線運動或靜止)(直線運動直線運動)(勻速運動勻速運動)(圓周運動圓周運動)(勻速運動勻速運動)(直線運動直線運動)(勻速曲線運動勻速曲線運動)(勻變速曲線運動勻變速曲線運動)73 點作曲線運動點作曲線運動,判斷下列情況下點的運動判斷下列情況下點的運動判斷下列運動是否可判斷下列運動是否可 能出現(xiàn)能出現(xiàn),若能出現(xiàn)判斷是什么運動若能出現(xiàn)判斷是什么運動? ?(加速運動加速運動) (不可能不可能) (勻速曲線運動勻速曲線運動) (不可能或改作不可能或改作 直線加速運動直線加速運動) (不可能或改作不可能或改作直線減速運動直線減速運動)(不可能不可能) (減速曲線運

38、動減速曲線運動)M1 1點作勻速運動點作勻速運動M2點作加速運動點作加速運動M3點作減速運動點作減速運動剛體的平行移動和定軸轉動大量存在于工程實際，而且剛體的任何運動都可以看成是這兩種運動的組合。他們是研究點的復雜運動和剛體的復雜運動的基礎。剛體的運動平行移動定軸轉動平面運動定點運動一般運動剛體的基本運動剛體的復雜運動.2 剛體的平移及運動特征剛體的平移及運動特征剛體的基本運動剛體的基本運動例 是指剛體的平行 移動和轉動基本運動基本運動 一一.剛體平動的定義剛體平動的定義: 如果在物體內任取一如果在物體內任取一條直線，在運動過程中這條直線，在運動過程中這條直線始終與它的最初位條

39、直線始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平置平行，這種運動稱為平行移動，簡稱平動。行移動，簡稱平動。剛體的平行移動剛體的平行移動( (平動平動) ) 剛體是由無數(shù)的點構成的。本章將研究剛體的兩種簡單的運動 平移和定軸轉動平移和定軸轉動。這是工程中最常見的運動，也是研究剛體復雜運動的基礎。剛體的基本運動剛體的基本運動例 是指剛體的平行 移動和轉動基本運動基本運動 1.1.當剛體作平移時，剛體上所有各點的軌跡形狀相同，當剛體作平移時，剛體上所有各點的軌跡形狀相同，并且位置平行。并且位置平行。證明證明：A1B1A2B2二、二、平移的特點平移的特點 2.2.當剛體作平移時，同一瞬時，剛體上各點的速度相

40、當剛體作平移時，同一瞬時，剛體上各點的速度相 等，各點的加速度也相等。等，各點的加速度也相等。 剛體作平移時的特點剛體作平移時的特點1 1可由圖說明?？捎蓤D說明。 剛體作平移時的特點剛體作平移時的特點2 2可證明如下：可證明如下：AOrBrABxzyBvAA由A,B 兩點的運動方程式: 而)()(trr ,trrBBAAABABrrr即constrABBAABrrr AB為剛體上任意一矢量，則有為剛體上任意一矢量，則有AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A剛體平移時，剛體內任一線段剛體平移時，剛體內任一線段AB的長度和方向都保持不變。的長度和方向都保持不變。0ddABt因而因而)d(d

41、d)(ddddrvtrrrttrvAAABABB0dtABAAABABBatrrrttra222222dd)(dddd:同理即即: :平移剛體的運動可以簡化為一個點的運動。平移剛體的運動可以簡化為一個點的運動。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A 剛體平移時，其上各點軌跡形狀相同且相互平行，剛體平移時，其上各點軌跡形狀相同且相互平行，任一瞬時各點速度相同、各點加速度也相同。任一瞬時各點速度相同、各點加速度也相同。定理定理: 應該注意，平移剛體內的點，不一定沿直線運動，也應該注意，平移剛體內的點，不一定沿直線運動，也不一定保持在平面內運動，它的軌跡可以是任意的空間曲不一定保持在平面內運

42、動，它的軌跡可以是任意的空間曲線。線。 由上述剛體平移的特點可見，當剛體作平移時，只須由上述剛體平移的特點可見，當剛體作平移時，只須給出剛體內任意一點的運動給出剛體內任意一點的運動，就可以完全確定整個剛體的就可以完全確定整個剛體的運動。運動。 這樣，剛體平移問題就可看為點的運動問題來處理。這樣，剛體平移問題就可看為點的運動問題來處理。 如果平移剛體內各點的軌跡都是平面曲線或直線，則如果平移剛體內各點的軌跡都是平面曲線或直線，則這些特殊情形稱為這些特殊情形稱為平面平移或直線平移平面平移或直線平移。 綜上所述，可以得出剛體平移的幾個主要結論： 剛體上的各點具有形狀相同的運動軌跡。剛體上的各點具有形

43、狀相同的運動軌跡。 剛體上的各點在某一瞬時具有相同的速度剛體上的各點在某一瞬時具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 剛體平移時的運動分析可以簡化為其上任意剛體平移時的運動分析可以簡化為其上任意 一點的運動分析。一點的運動分析。1.水平曲線軌跡上行駛的火車箱是否平移?否。BA2.平移時，剛體上各點軌跡是平行直線，對嗎?不一定?？墒瞧叫星€。 蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當蕩木擺動時鋼索的擺動規(guī)律為 ，其中 t 為時間，單位為s；轉角0的單位為rad，試求當t=0和t=2 s時，蕩木的中點M的速度和加速度。OABO1O2ll（+）例例 題題 5-1MM 由于

44、兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運動中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。 為求中點M 的速度和加速度，只需求出A點（或B點）的速度和加速度即可。點A在圓弧上運動，圓弧的半徑為l。如以最低點O為起點，規(guī)定弧坐標s向右為正，則A點的運動方程為tlls4 sin0jj將上式對時間求導，得A點的速度tltsv4 cos4dd0j解：AOBO1O2ll（+）M再求一次導，得A點的切向加速度代入t = 0和t = 2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。計算結果列表如下：tltva4 sin16dd02tjA點的法向加速度tllva4co

45、s16 22022njOABO1O2ll（+）0002 （鉛直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04jl016jl20216j一一. .剛體繞定軸轉動的特征及其簡化剛體繞定軸轉動的特征及其簡化 當剛體運動時，剛體內某一直線上的所有各點始終保持不動-稱為剛體繞定軸的轉動，簡稱剛體的轉動剛體的轉動。 不動的直線稱為轉軸轉軸。5.1.3 5.1.3 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 當剛體作定軸轉動時，轉動軸以當剛體作定軸轉動時，轉動軸以外的各點都分別在垂直于轉軸的平面外的各點都分別在垂直于轉軸的平面內作圓周運動，圓心在該平面與轉軸內作圓周運動，

46、圓心在該平面與轉軸之交點上。之交點上。 二二. .剛體定軸轉動的特點剛體定軸轉動的特點: : 定軸轉動定軸轉動實例實例定軸轉動-剛體運動時其上或其延展部分有一根不動直線。1.指出下列物體是否作定軸轉動?輪 否。定義定義: :w是車廂是Rw( (一一).).轉角和轉動方程轉角和轉動方程 j -轉角,單位弧度(rad) j= f(t)-為轉動方程 方向規(guī)定: 從z 軸正向看去, 逆時針為正 順時針為負2.物體螺旋運動時，是否有不動直線?軸線升降。 剛體的位置可由角剛體的位置可由角j完全確定。角完全確定。角j也稱為也稱為角坐標角坐標，當剛體轉動，當剛體轉動時，角坐標時，角坐標j隨時間隨時間t而變化，

47、因而可表示為時間而變化，因而可表示為時間t的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù).三、轉動規(guī)律三、轉動規(guī)律（1）、角速度的大小表示剛體在該瞬時轉動的快慢，即角速度的大小表示剛體在該瞬時轉動的快慢，即單位時間內轉角的變化。單位時間內轉角的變化。jjw)(ddtft 轉角轉角對時間的導數(shù)，稱為對時間的導數(shù)，稱為剛體的角速度剛體的角速度，以以表示。表示。故有故有1. 角速度（2）、當轉角當轉角隨時間而增大時，隨時間而增大時，為正值，反之為為正值，反之為負值，這樣，角速度的正負號確定了剛體轉動的方向。負值，這樣，角速度的正負號確定了剛體轉動的方向。 (二二). 定軸轉動的角速度和角加速度定軸轉動的角速度和角加速

48、度 和和正負相同，則角速度的絕對值隨時間而增大，即剛正負相同，則角速度的絕對值隨時間而增大，即剛體作加速轉動；反之，兩者正負不同，則角速度的絕對值隨體作加速轉動；反之，兩者正負不同，則角速度的絕對值隨時間而減小，即剛體作減速轉動。時間而減小，即剛體作減速轉動。jjw )(dddd22tftt 角速度角速度對時間的導數(shù)，稱為對時間的導數(shù)，稱為角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示單位時間內角速度的變化。它表示單位時間內角速度的變化。2. 角加速度的單位的單位: rad/s 的單位的單位:rad/s2與與w w方向一致為加速轉動方向一致為加速轉動, 與與w w 方向相反為減速轉動方向相反

49、為減速轉動 3.勻速轉動和勻變速轉動勻速轉動和勻變速轉動工程中常用單位：n = 轉/分(r / min)則則n與與w w的關系為的關系為:)nnn(rad/s1030602w（1）勻速轉動）勻速轉動 當w =常數(shù),為勻速轉動時。有j = j 0+ w t 這里j 0是 t = 0 時轉角j 的值。)(22102022000jjwwwjjwwttt(2) 勻變速轉動勻變速轉動當 =常數(shù),為勻變速轉動時。有這里j 0和w 0是t = 0 時轉角和角速度。 在刮風期間，風車的角加速度 ，其中轉角 以rad計。若初瞬時 ，其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉過兩圈（ ）時其頂端 P 點的速度。 20.

50、2/rad s000,6/rad sw4 radP例例 題題 6-2dddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwwwPsBAOMvR 半徑R=20 cm的滑輪可繞水平軸O轉動，輪緣上繞有不能伸長的細繩，繩的另一端與滑輪固連，另一端則系有物塊A，設物塊A從位置B出發(fā)，以勻加速度a =4.9 ms2向下降落，初速v0=4 ms1，求當物塊落下距離s =2 m時輪緣上一點 M 的速度和加速度。例例 題題 6-3根據(jù) v2 v02 = 2as，得M點的速度M點的法向加速度M點的切向加速度 M點的總加速度12

51、0sm 96. 52vasv.ddtatvaRvasva202n222n2tsm 178aaa解:sBAOMvR200t12ssv ta ttavt0vM0MvsdtdRdtdSvjwRv 一一、速度、速度5.1.4 5.1.4 轉動剛體內各點的速度和加速度轉動剛體內各點的速度和加速度RvzjRS 各點速度分布圖各點速度分布圖 當剛體作定軸轉動時，剛體內每一點都作圓周運動，圓心在轉軸上，圓心所在平面與轉軸垂直，半徑R等于該點到軸線的距離。用自然法， 點在 t時間內，走過的弧長為 s=j R（1 1）剛體內在平行于轉軸）剛體內在平行于轉軸z的任一直線上，各點具有相等的的任一直線上，各點具有相等的

52、速度和相等的加速度，又各點的軌跡為同樣大小的圓周，其圓速度和相等的加速度，又各點的軌跡為同樣大小的圓周，其圓心都在轉軸心都在轉軸z上。上。2. 定軸轉動剛體內各點的速度的特點（2 2）在任一瞬時，定軸轉動剛體內各點的速度與各點的轉）在任一瞬時，定軸轉動剛體內各點的速度與各點的轉動半徑成正比。動半徑成正比。方向沿著點軌跡圓周的切線，指向轉動前進方向沿著點軌跡圓周的切線，指向轉動前進的一方。的一方。wRv 即即，定軸轉動剛體內任一點的切向加速度，等于該點的轉動半定軸轉動剛體內任一點的切向加速度，等于該點的轉動半徑與剛體角加速度的乘積徑與剛體角加速度的乘積。式中。式中和和at具有相同的正負號具有相同

53、的正負號。tRRttvadd)(ddddtwwRa t 點點M的加速度包含兩部分：的加速度包含兩部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量?；蚧騉aMvanat1. 1. 切向加速度切向加速度二.定軸轉動剛體內各點的加速度不難看出，當不難看出，當和和正負相同時，切向加速度正負相同時，切向加速度at和和速度速度v有相有相同的指向，這相當于加速轉動；當同的指向，這相當于加速轉動；當和和正負不相同時，則正負不相同時，則at與與v有相反的指向，這相當于減速轉動。有相反的指向，這相當于減速轉動。 OaMvanatOaMvanat即，定軸轉動剛體內任一點的法向加速度，等于該點轉動半即，定軸轉動剛體內任一

54、點的法向加速度，等于該點轉動半徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速an恒向軌跡的曲率中恒向軌跡的曲率中心即圓心心即圓心O，因此也稱為因此也稱為向心加速度向心加速度。 RRva22n)(w2nwRa 2.2.法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2twRRaaa42w Ra3.3.總加速度總加速度它與半徑它與半徑MO的夾角的夾角（恒取正值恒取正值）可可按下式求出按下式求出2nttanwRRaa2tanw或 顯然，當剛體作加速轉動時，加速度顯然，當剛體作加速轉動時，加速度a偏向轉動前進的一偏向轉動前進的一方；當減速轉動時，加速度方；當減速轉動時，加速度

55、a偏向相反的一方；當勻速轉動時偏向相反的一方；當勻速轉動時a指向軸心指向軸心O。 OaMvanat 但是，總加速度但是，總加速度a與轉與轉動半徑所成的偏角，卻與轉動半徑所成的偏角，卻與轉動半徑無關，即動半徑無關，即在任一瞬時，在任一瞬時，定軸轉動剛體內各點的加速定軸轉動剛體內各點的加速度對其轉動半徑的偏角度對其轉動半徑的偏角 都都相同相同；平面上各點加速度的；平面上各點加速度的分布如圖。分布如圖。 , 42w Ra 由上式可見，在任一瞬時，定軸轉動剛體內各點的切向加由上式可見，在任一瞬時，定軸轉動剛體內各點的切向加速度、法向加速度和總加速的大小都與各點的轉動半徑成正比。速度、法向加速度和總加速

56、的大小都與各點的轉動半徑成正比。2tanw4.4.加速度的分布規(guī)律加速度的分布規(guī)律5.5.速度與加速度分布圖速度與加速度分布圖vRw2tantnaaw2224tnaaaRw結論結論: （1）在每一瞬時，轉動剛體內所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到轉軸的距離成正比。 （2）在每一瞬時，轉動剛體內所有各點的全加速度 a 的方向與半徑間的夾角 都相同。 速度分布圖加速度分布圖 試畫出圖中剛體上兩點在圖示位置時的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO 例例1卷帶盤。已知v常數(shù)，帶厚a，求。arwv例例2 vr dd2dd2rrav rav,ttr 即2ddAav,Ar t 又1ddrv

57、 , rtr ddr r0 tddddAr avrt 232avr故arwv對該式求導轉動一圈轉動一圈: A=avt2OA0wB1OM12r 已知 常數(shù) ，求兩 輪邊緣上點的加速度。121202O AO Br,ABO O ,21102Aaraa22222200024n,arraaa202220 0 2MAM vrvv又輪1平移AvMvAa1a例例3輪2轉動 例4 滑輪的半徑滑輪的半徑r=0.2 m，可繞水平軸可繞水平軸O轉動，輪緣上纏有轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體物體A（如圖）。已知滑輪繞軸如圖）。已知滑輪繞軸O的轉動規(guī)律的轉動規(guī)律=0.15t3

58、 ，其中其中t以以s計，計， 以以rad計。試求。試求t=2 s時輪緣時輪緣上上M點和物體點和物體A的速度和加速度。的速度和加速度。 OM 首先根據(jù)滑輪的轉動規(guī)律首先根據(jù)滑輪的轉動規(guī)律 =0.15t3 ，求得求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度245. 0tjwt 9 . 0j 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 11w2srad 8 . 1輪緣上輪緣上 M 點上在點上在 t =2 s 時的速度為時的速度為 sm 36. 01wrvM解：OMOM輪緣上輪緣上 M 點在點在 t =2 s 時的加速度的兩個分量時的加速度的兩個分量2tsm 36. 0ra22nsm 648.

59、 0wra總加速度總加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM556. 0 tan2wj29jOM 因為物體因為物體A與輪緣上與輪緣上M點的運動不同，前點的運動不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運動，者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運動，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細繩不能伸長，物體由于細繩不能伸長，物體A與與M點的速度大小點的速度大小相等，相等，A的加速度與的加速度與M點切向加速度的大小也點切向加速度的大小也相等，于是有相等，于是有1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它們的方向鉛直向

60、下。它們的方向鉛直向下。 我們常見到在工程中,用一系列互相嚙合的齒輪來實現(xiàn)變速,它們變速的基本原理是什么呢? 1.1.齒輪傳動齒輪傳動三、輪系的傳動比三、輪系的傳動比DDCCDCrrvvwwCDDCrrww1.）外嚙合）外嚙合trZ2齒數(shù)其中：其中： CDCDDCCDzzrriww設C主動輪，D從動輪，定義齒輪傳動比齒輪傳動比DCCDiww因為是做純滾動(即沒有相對滑動)齒輪傳動比齒輪傳動比EFEFFEEFZZrriwwEFvv EFvv EEFFrrww2.2.）內嚙合）內嚙合2.皮帶輪系傳動皮帶輪系傳動BAvv (而不是 方向不同 ) BAvv BBAArrww皮帶傳動ABBAABrriw