第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

1、第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示(The representation of power series of analytic function) 4.14.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.24.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.34.3泰勒（泰勒（TaylorTaylor）級數(shù)）級數(shù)4.44.4洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數(shù)級數(shù) 第一講4.14.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)4.24.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)數(shù)序列的極限一、復(fù)數(shù)序列的極限二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(Series of complex number） , 時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列

2、那那末末 nn 記作記作.lim nn . 收斂于收斂于此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列n , ), 2 , 1( 其其中中為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nn ,nnniba , 為一確定的復(fù)數(shù)為一確定的復(fù)數(shù)又設(shè)又設(shè)iba .),(, 0 nNnN時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)總總存存在在正正整整數(shù)數(shù)如如果果對對于于任任意意給給定定lim,lim.nnnnaabb 就能找到一個(gè)正數(shù)就能找到一個(gè)正數(shù)N, , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,)()( ibaibann,)()( bbiaaaannn從而有從而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理 的的充充分分必必要要條條件件是是則則設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列 nnnnnibaba

3、lim,定理定理4.14.10 ,lim nn如果如果那末對于任意給定那末對于任意給定證明證明反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn .2,2 bbaann ,時(shí)N n 那末當(dāng) 從而有從而有)()(ibaibannn .lim nn所所以以證畢證畢)()(bbiaann , bbaann121 (4.1)nnn 稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù). .nns 21稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.若若sn(n=1,2,)以有限復(fù)數(shù)以有限復(fù)數(shù)s s為極限為極限,二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)lim()nnss 即即 是一復(fù)數(shù)列，則是一復(fù)數(shù)列，則設(shè)設(shè)n 則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)(

4、4.1)(4.1)收斂于收斂于s,s,且稱且稱s s為為(4.1)(4.1)的和的和, ,寫成寫成否則稱級數(shù)否則稱級數(shù)(4.1)(4.1)為發(fā)散為發(fā)散. . 01nnz級數(shù)級數(shù)例例1-21nnzzzs , )1(11 zzzn,時(shí)時(shí)1 1z z由由于于當(dāng)當(dāng) zzsnnnn 11limlim,11z z-11 . 且且和和為為時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂1 1z z所所以以當(dāng)當(dāng) 1nnS 定理定理4.2 復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)(4.1)收斂于收斂于s=a+ib(a,b為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))的充要條件為的充要條件為: bbaannnn 11證明證明 （留給學(xué)生課堂討論）（留給學(xué)生課堂討論） 1211n1(2) )1(1 1

5、nnninin）（判斷下列級數(shù)斂散性判斷下列級數(shù)斂散性例2例2解（解（1 1）; 111發(fā)散發(fā)散 因?yàn)橐驗(yàn)?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb )1(1 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnin111.nnnbn 3 3 收收斂斂 原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂。 所所以以2111;nnnan 因因?yàn)闉?收收斂斂（2）例例3 3 1 112？是是否否收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnni 解解 .原原級級數(shù)數(shù)仍仍發(fā)發(fā)散散, 1 1發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?nn,1)1(1收斂收斂雖雖 nnn 11nn 11)1(nnni 1112)1(11nnnnnini 1nnz,lim0 nnz定理定理4.34.3級數(shù)級數(shù)收斂的

6、必要條件是收斂的必要條件是1nnz證明證明 因?yàn)榧墧?shù)因?yàn)榧墧?shù) 收斂的充分必要條件是收斂的充分必要條件是與與 1nnx1nny都收斂，再由實(shí)級數(shù)都收斂，再由實(shí)級數(shù) 收斂的必要條件是收斂的必要條件是,lim0 nnx得得證證。0 nnylim定理定理4.44.4若級數(shù)若級數(shù) 收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù) 也收斂。也收斂。 1nnz 1nnz若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂, , 則稱則稱 絕對收斂絕對收斂. .若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂, , 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱 |1 nnz 1nnz為條件收斂。為條件收斂。 1nnz|1 nnz 1nnz為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為

7、條件收斂。為條件收斂。 1nnz|1 nnz 1nnz|1 nnz 1nnz|1 nnz 1nnz 1nnz|1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz 收斂收斂是絕對收斂？還是條件是絕對收斂？還是條件是否收斂，若收斂，是否收斂，若收斂， n!n!(8i)(8i) 判斷級數(shù)判斷級數(shù)1 1n nn n 例例4 4, !81收收斂斂 nnn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂, 且為絕對收斂且為絕對收斂.所以由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知所以由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知:,!8!)8(nninn 因?yàn)橐驗(yàn)榻饨夤试墧?shù)收斂故原級

8、數(shù)收斂.,)1(1收收斂斂為為條條件件但但 nnn所以原級數(shù)條件收斂。所以原級數(shù)條件收斂。 i21n)1( 1nnn還是條件收斂。還是條件收斂。若收斂，是絕對收斂，若收斂，是絕對收斂，是否收斂，是否收斂，判斷級數(shù)判斷級數(shù) 例例5 5 ; )1( 1收收斂斂因因?yàn)闉?nnn,211收收斂斂也也 nn解解4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)二、冪級數(shù)二、冪級數(shù) (Series of function of complex variable)設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù) f1(z)+f2(z)+f3(z)+fn(z)+ (4.2)的各項(xiàng)均在區(qū)域的各項(xiàng)均在區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定

9、義,且在且在D內(nèi)內(nèi)存在一個(gè)函存在一個(gè)函數(shù)數(shù)f(z),對于對于D內(nèi)內(nèi)的每一點(diǎn)的每一點(diǎn)z,級數(shù)（級數(shù)（4.2）均收斂于）均收斂于f(z),則稱則稱f(z)為級數(shù)為級數(shù)(4.2)的和函數(shù)的和函數(shù),記為記為:一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1nnzfzf的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù), ,其中其中 a a, ,c c0 0,c,c1 1, ,c c2 2 , 都是復(fù)常數(shù)都是復(fù)常數(shù). .20121.nnnc zcc zc z 二、 冪級數(shù) 20120()()()nnnczacc zacza 4.3 4.3形如：形如：以上冪級數(shù)還可以寫成如下形式以上冪級數(shù)還可以寫成如下形式 定理定

10、理4.54.5( (阿貝爾阿貝爾) )如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)(4.3)(4.3)在某點(diǎn)在某點(diǎn)z1(a)收斂收斂, ,則它必在圓則它必在圓K:|z-a|z1-a|(即以即以a為圓心圓周通過為圓心圓周通過z1的圓的圓) )內(nèi)絕對收斂內(nèi)絕對收斂. . a a1z 收斂收斂, ,它的各項(xiàng)必然有界它的各項(xiàng)必然有界, ,即有正數(shù)即有正數(shù)M M, ,使使1|() |nnczaM(n=0,1,2,),111|() | |() () |nnnnnnzazaczaczaMzaza因?yàn)橐驗(yàn)閨z-a|z2-a|的點(diǎn)的點(diǎn)z都是冪級數(shù)都是冪級數(shù)(4.3)發(fā)散發(fā)散. az1z2當(dāng)當(dāng) za有以下三種情況有以下三種情況:(1)(

11、1)對所有的復(fù)數(shù)對所有的復(fù)數(shù)z z冪級數(shù)冪級數(shù)（4.34.3）均收斂均收斂. .冪級數(shù)冪級數(shù), , 首先它在首先它在z=a點(diǎn)處總是收斂的點(diǎn)處總是收斂的，例如例如, , 級數(shù)級數(shù) nnnzzz2221對任意固定的對任意固定的z, 從某個(gè)從某個(gè)n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數(shù)對任意的故該級數(shù)對任意的z均收斂均收斂.(2) (2) 對于任意對于任意za冪級數(shù)（冪級數(shù)（4.34.3）都發(fā)散）都發(fā)散. .例如例如, ,級數(shù)級數(shù) nnznzz2221, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z通項(xiàng)不趨于零通項(xiàng)不趨于零, , 故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散. . (3)(3)存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)z1a,

12、,使級數(shù)收斂使級數(shù)收斂( (此時(shí)此時(shí), ,根據(jù)定理根據(jù)定理4.54.5的第一部分知的第一部分知, ,它必在圓周它必在圓周|z-a|=|z1-a|內(nèi)部絕內(nèi)部絕對收斂對收斂),),另外又存在一點(diǎn)另外又存在一點(diǎn)z2, ,使冪級數(shù)（使冪級數(shù)（4.34.3）發(fā)散發(fā)散.(.(肯定肯定|z2-a|z1-a|);根據(jù)推論知根據(jù)推論知, ,它必在它必在圓周圓周| |z-a|=|z2-a|外部發(fā)散外部發(fā)散.).)在這種情況下在這種情況下, ,可以證明可以證明, ,存在一個(gè)有限正數(shù)存在一個(gè)有限正數(shù)R R, ,使得級數(shù)使得級數(shù)(4.3)(4.3)在圓周在圓周|z-a|=R內(nèi)部絕對收斂內(nèi)部絕對收斂, ,在圓周在圓周|z

13、-a|=R外部發(fā)散外部發(fā)散. .R R稱為此冪級數(shù)的收稱為此冪級數(shù)的收斂半徑斂半徑; ;圓圓|z-a|R和圓周和圓周|z-a|=R分別稱為它分別稱為它的收斂圓和收斂圓周的收斂圓和收斂圓周. .在第一情形約定在第一情形約定R=+; ;在第二情形在第二情形, ,約定約定 , ,并也稱它們?yōu)槭諗堪霃讲⒁卜Q它們?yōu)槭諗堪霃? .R=0 xyo1z.2z.R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以的收斂范圍是以a點(diǎn)為中心的圓域點(diǎn)為中心的圓域.收斂圓周收斂圓周 一個(gè)冪級數(shù)在其圓周上的斂散性有三種可能一個(gè)冪級數(shù)在其圓周上的斂散性有三種可能: : (1) (1)處處發(fā)散處處發(fā)散. (

14、2). (2)處處收斂處處收斂. . (2) (2)既有收斂點(diǎn)既有收斂點(diǎn), ,又有發(fā)散點(diǎn)又有發(fā)散點(diǎn). . lim|,()nnncl 柯柯西西C Ca au uc ch hy y1lim,(nnnclD Alembertc 達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾）冪級數(shù)的收斂半徑的求法冪級數(shù)的收斂半徑的求法則冪級數(shù)則冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為: : 0)(nnnazcR=1/l (l0,l+);0 (l=+);+ (l=0).(4.4) 冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性: :例例1 1 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑: :(1)(1) 13nnnz( (并討論在收斂圓周上的情形并討論在

15、收斂圓周上的情形) )(2)(2) 1)1(nnnz( (并討論并討論2,0 z時(shí)的情形時(shí)的情形) )解解 (1)(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因?yàn)橐驗(yàn)? 1 所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級數(shù)在圓即原級數(shù)在圓1 z 內(nèi)收斂內(nèi)收斂, , 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, , 在圓周在圓周1 z上上, ,級數(shù)級數(shù)收收斂斂。 13131nnnnnz, 11limlim)2(1 nnccnnnn. 1 R即即,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,1)1(1收斂收斂 nnn,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,11 nn發(fā)散發(fā)散所以所以.2221 R例例2 2 0)1(nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑. .解解)4sin

16、4(cos21 ii 因?yàn)橐驗(yàn)?24ie nnic)1( ;)2(4inne nnnccl1 limnnn)2()2(lim1 . 2 例例3 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).利用逐項(xiàng)積分利用逐項(xiàng)積分,得得:解解12limlim 1 nnccnnnn因因?yàn)闉? 1 R所所以以, 1 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz.1zz 所以所以)1()1(0 zzznnn.)1(12z 1 z例例4 4計(jì)算計(jì)算.,)(21d1 zczzIcnn為為其其中中 1)(nnzzS和函數(shù)和函數(shù)解解,21內(nèi)內(nèi)在在 z,1收收斂斂 nnz 01nnzz,

17、111zz czzzId)111(所以所以 cczzzzd11d102 i.2 i (1) (1) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)()(nnnazczf的和函數(shù)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓在其收斂圓K:|z-a|R(0R+)內(nèi)解析內(nèi)解析. .說明：同實(shí)變函數(shù)冪級數(shù)一樣，我們有說明：同實(shí)變函數(shù)冪級數(shù)一樣，我們有可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階。可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階?？梢灾痦?xiàng)求積分?？梢灾痦?xiàng)求積分。 (2)(2)在收斂圓在收斂圓K K內(nèi)內(nèi), ,冪級數(shù)冪級數(shù) 0)()(nnnazczf (3)(3)在收斂圓在收斂圓K K內(nèi)內(nèi), ,冪級數(shù)冪級數(shù) 0)()(nnnazczf 課后作業(yè) 一、 思考題：1、2 二、習(xí)題四：1-510

18、1100 P 第二講4.34.3泰勒（泰勒（TaylorTaylor）級數(shù)）級數(shù)4.44.4洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數(shù)級數(shù)一、解析函數(shù)泰勒定理一、解析函數(shù)泰勒定理二、一些初等函數(shù)的泰勒展式二、一些初等函數(shù)的泰勒展式 4.3泰勒（Taylor）級數(shù) (Taylors series) 一、解析函數(shù)泰勒定理一、解析函數(shù)泰勒定理 冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)解析函數(shù). .反過來，解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)反過來，解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)? ?,n)(zfn!c)z(zcf(z)RzzDzD,Rzf(z)(n)nnnn2101000

19、000 : :( (4 4. .4 4) ), , ,其其中中時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)離離, ,的的邊邊界界上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距到到為為在在區(qū)區(qū)域域D D內(nèi)內(nèi)解解析析設(shè)設(shè)定理定理4.64.6zRf(z)zRTalorzf(z)f(z)0 00即即的距離,的距離,之間之間的最近的一個(gè)奇點(diǎn)的最近的一個(gè)奇點(diǎn)到到于從于從等等展開式的收斂半徑展開式的收斂半徑的的解析點(diǎn)解析點(diǎn)在在那么那么有奇點(diǎn),有奇點(diǎn),說明：(1)若說明：(1)若此式稱為此式稱為 在在 的泰勒展開式的泰勒展開式, , 它右它右端的級數(shù)稱為端的級數(shù)稱為 在在 處的泰勒級數(shù)處的泰勒級數(shù). .0z zf zf0z只能在收斂圓周上.只能在收斂圓周上.

20、奇點(diǎn)奇點(diǎn)因此,因此,大,大,收斂半徑還可以擴(kuò)收斂半徑還可以擴(kuò)不然的話,不然的話,不可能在收斂圓外,不可能在收斂圓外,奇點(diǎn)奇點(diǎn)不可能在收斂圓內(nèi).又不可能在收斂圓內(nèi).又所以奇點(diǎn)所以奇點(diǎn)內(nèi)解析,內(nèi)解析,在收斂圓在收斂圓這是因?yàn)檫@是因?yàn)樵谑諗繄A上,在收斂圓上,奇點(diǎn)奇點(diǎn)(2)(2)f(z)。的的泰泰勒勒展展式式唯唯一一點(diǎn)點(diǎn)）（03zf(z)在在 zRenzzzzeneeznzzzznz收收斂斂圓圓是是所所以以該該級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析而而解解：.!),()()(32121013200二、一些初等函數(shù)的泰勒展式二、一些初等函數(shù)的泰勒展式展開式.0的Talorcosz在zs

21、inz,e例1、求f(z)z 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez znzzznzzznnnnn)!()(!)!()()(sincos214212124202 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，所以在全平面上解析，所以cos,sin znznnn012121)!()(例例2、把下列函數(shù)展開成、把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù)1111)1(2 zzzzzn由由解解：1)1(1)(1111 zzzzznn得得)1ln()()3()1(1)()2(11)()1(2zzfzzfzzf 1) 1(321) 1(111)1 (1) 2(112122 znzzzz

22、zzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑任任意意取取一一條條從從內(nèi)內(nèi)在在收收斂斂圓圓cczzz (3)(3)解：因解：因ln(1+ln(1+z z) )在從在從z=-1z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪向左沿負(fù)實(shí)軸剪開開 的平面內(nèi)解析，的平面內(nèi)解析， ln(1+ln(1+z z) )離原點(diǎn)最近的離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)是-1,-1,它的展開式的收斂范圍為它的展開式的收斂范圍為 z z 1.R1時(shí)時(shí), , 即即| |R, 011()nnnnnncczz收斂。因此因此, , 只有在只有在R1|z z0|R2的圓環(huán)域的圓環(huán)域, , 原

23、級數(shù)原級數(shù)才收斂才收斂. .這是這是 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 設(shè)收斂半徑為設(shè)收斂半徑為R R 101RRzzR z0R1R2 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)冪級數(shù)? ? 定理定理4.7 設(shè)設(shè) f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 R1 |z z0| R2內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcniz 其中C C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞z z0 0的任的任何一條正向簡單閉曲線何一條正向簡單閉曲線. .二、解析函數(shù)的洛朗展式二、解析函數(shù)的洛朗展式Cz0R1R2稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (z)在以在以z0為中心的圓環(huán)域?yàn)橹行牡膱A環(huán)域: : R1|z-z0|R2內(nèi)的內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)展開式展開式, , 它右它右端的級數(shù)稱為端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內(nèi)的在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)洛朗級數(shù). 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展