鏡像法和電軸法PPT課件

1、1分離變量法綜述一、應(yīng)用場合：二、基本思想：1. 假定待求的位函數(shù)由兩個或三個僅含有一個坐標(biāo)變量假定待求的位函數(shù)由兩個或三個僅含有一個坐標(biāo)變量 的函數(shù)的乘積表示；的函數(shù)的乘積表示；2. 把假定的函數(shù)（試探解）代入偏微分方程，把假定的函數(shù)（試探解）代入偏微分方程， 借助于借助于“分分 離變量離變量”，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個或三個常微分方程；，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個或三個常微分方程；3. 解這些常微分方程并根據(jù)邊界條件確定待定常數(shù)和函數(shù)；解這些常微分方程并根據(jù)邊界條件確定待定常數(shù)和函數(shù)；4. 得到位函數(shù)的解。得到位函數(shù)的解。場域的場域的分界面分界面與正交坐標(biāo)系的與正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)面坐標(biāo)面重合重合第

2、1頁/共33頁21.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法一、推導(dǎo)：（僅討論二維拉普拉斯方程的解法）（僅討論二維拉普拉斯方程的解法）拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：=0 2 2222yx 1. 假定待求的位函數(shù)為假定待求的位函數(shù)為試探解試探解： (x,y) = X(x)Y(y)2. 把試探解代入，將偏微分方程把試探解代入，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程：轉(zhuǎn)化為常微分方程：0)()(22222222 dydYxXdxdXyYyx 設(shè)設(shè)X(x)、Y(y)均不為均不為0：0112222 dydYYdxdXX222211dydYYdxdXX = 得兩個常微分方程：得兩個常微分方程：022 XdxdX 022 Ydy

3、dY 第2頁/共33頁3一、推導(dǎo)：常微分方程常微分方程:3. 解常微分方程并根據(jù)邊界條件確定待定常數(shù)和函數(shù)解常微分方程并根據(jù)邊界條件確定待定常數(shù)和函數(shù)a. 若若 =kn2：得電位函數(shù)的一般解：得電位函數(shù)的一般解：022 XdxdX 022 YdydY X(x)=A0 x+B0 Y(y)=C0y+D0當(dāng)當(dāng)kn 0時：時：常微分方程的解為：常微分方程的解為：X(x)=Anch(knx)+Bn sh( knx)Y(y)=Cncos(kny)+Dn sin( kny) (x,y) = X(x)Y(y)=( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)sincos)(nnnnnnnnnykDykCxsh

4、kBxchkAb. 若若 = - kn2： (x,y) = X(x)Y(y)=( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)(sincos(nnnnnnnnnyshkDychkCxkBxkA當(dāng)當(dāng)kn=0時：時：常微分方程的解為：常微分方程的解為：1.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法第3頁/共33頁4例一、長直金屬槽如圖例一、長直金屬槽如圖.三邊接地三邊接地,另一邊電位為另一邊電位為V0,求求槽內(nèi)電位槽內(nèi)電位分布分布.解：解：由方程：由方程： =0 =V0a0 xyb =0 =0金屬槽內(nèi)金屬槽內(nèi) |(x=0,0yb) =0 (x,y) =( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)sinco

5、s)(nnnnnnnnnykDykCxshkBxchkA由邊界條件由邊界條件1 ：0 =B0 (C0y+D0 ) 1)sincos(nnnnnnykDykCA由邊界條件由邊界條件2 ：0 = A0 D0 x 1nnnnCxshkB0000由邊界條件由邊界條件3 ：0 = A0 x C0b 1sinnnnnnbkDxshkB000 |(y=0,0 xa)= 0 |(y=b,0 xa)= 0 |(x=a,0yb) = V0kn =n /b (x,y) = 1sinnnnybnDxbnshB 1.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法=0 2 2222yx 第4頁/共33頁5例一、長直金屬槽如圖例一、長直金

6、屬槽如圖.三邊接地三邊接地,另一邊電位為另一邊電位為V0,求求槽內(nèi)電位槽內(nèi)電位分布分布.解：解： =0 =V0a0 xyb =0 =0金屬槽內(nèi)金屬槽內(nèi) |(x=0,0yb) =0由邊界條件由邊界條件4 ： |(y=0,0 xa)= 0 |(y=b,0 xa)= 0 |(x=a,0y1) 1( , )= 10coscosnnnnBE 2.由由 2 |( =0) = 0 ：= A0 ln 0 + B0 1cos)00(nnnnnnBA 0000 2( , )= 1cosnnnnA 1.5.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法第9頁/共33頁10例一、長直介質(zhì)圓柱體放在均勻的外電場中，如圖。例一、長直介質(zhì)圓

7、柱體放在均勻的外電場中，如圖。求求圓柱體放入后場中的電位圓柱體放入后場中的電位分布分布。解：解： 1 |( =a) = 2 |( =a) E0a 2 2 0 xy 1 1 aa 22111.由分界面條件：由分界面條件： 1( , )= 10coscosnnnnBE 2( , )= 1cosnnnnA 10coscosnnnnaBaE 1cosnnnnaA )coscos(1101nnnnnBE 112cosnnnnnA n=1：-E0 a +B1 a -1 = A1 a 1 (-E0 +B1 a-2 )= 2 A1A1 =-1-( 2 - 1 )/( 2 + 1 )E0B1 = ( 2 - 1

8、 )/( 2 + 1 ) a2E0An=0 Bn=0n 1： 1.5.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法第10頁/共33頁11例一、長直介質(zhì)圓柱體放在均勻的外電場中，如圖。例一、長直介質(zhì)圓柱體放在均勻的外電場中，如圖。求求圓柱體放入后場中的電位圓柱體放入后場中的電位分布分布。解：解：E0a 2 2 0 xy 1 1 1( , )=coscos212120aE 2( , )=cos)1 (01212E1.5.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法第11頁/共33頁121-7 鏡像法和電軸法鏡像法和電軸法(解決靜電場邊值問題的解決靜電場邊值問題的間接間接方法方法)第12頁/共33頁13問題引入：問題引入：無限大導(dǎo)

9、體平板無限大導(dǎo)體平板(接地接地)上方上方h處有點電荷處有點電荷q，周圍，周圍介電常數(shù)為介電常數(shù)為 ，求解，求解導(dǎo)體平板上方的電場。導(dǎo)體平板上方的電場。qh 解：解： 2 =0除點電荷處除點電荷處 |(導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面)= 0 |(無窮遠處無窮遠處)= 0qh -qh考慮如圖考慮如圖b，在導(dǎo)體平面下方，在導(dǎo)體平面下方h處放點電荷處放點電荷-q， 并撤去導(dǎo)體，整個空間充滿介質(zhì)并撤去導(dǎo)體，整個空間充滿介質(zhì) 的情況的情況 (圖圖a)(圖圖b)1.7.1 鏡像鏡像法法 一、平面鏡像：一、平面鏡像：(導(dǎo)體）導(dǎo)體）第13頁/共33頁14qh qh -qh(圖圖a)(圖圖b)結(jié)論：結(jié)論：1.圖圖a中電介質(zhì)中的

10、電場分布可用圖中電介質(zhì)中的電場分布可用圖b計算；計算；4.鏡像電荷必須放在有效范圍之外。鏡像電荷必須放在有效范圍之外。2.-q 為鏡像電荷，它代替了分布在導(dǎo)電平板上的負值感應(yīng)電荷的作用；為鏡像電荷，它代替了分布在導(dǎo)電平板上的負值感應(yīng)電荷的作用；3.用鏡像法要注意有效范圍：用鏡像法要注意有效范圍：單一介質(zhì)！單一介質(zhì)！PrqrqP 44Prr思考：如何求導(dǎo)體表思考：如何求導(dǎo)體表面的電荷密度分布？面的電荷密度分布？第14頁/共33頁15 電荷守恒：當(dāng)點電荷q 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?，上述鏡像法的實質(zhì)

11、是以一個異性的鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。 半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。第15頁/共33頁16推廣推廣1. 點電荷點電荷q線電荷線電荷 h h - h(圖圖a)(圖圖b)單一介質(zhì)！單一介質(zhì)?。ńY(jié)論類似）（結(jié)論類似） q推廣推廣 2. 平面平面兩個平面兩個平面 = /n (可除盡可除盡) (n=1,2,3) 有有(2n 1)個個鏡像鏡像 第16頁/共33頁17q 對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形

12、邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 5 個鏡像電荷。 3/3/3q 連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 第17頁/共33頁18推廣推廣 3、兩種介質(zhì)兩種介質(zhì) 1 、 2的分界面為無限大平面，在介質(zhì)的分界面為無限大平面，在介質(zhì) 1中距離分界面中距離分界面d處有點電荷處有點電荷q。求求兩種介質(zhì)中的電場。兩種介質(zhì)中的電場。解：解： 2 1=0除點電荷處除點電荷處E1t= E2tqd 1 1qd在鏡像電荷系統(tǒng)中：在

13、鏡像電荷系統(tǒng)中：(圖圖b) 2 2qd(圖圖c)qd 1(圖圖a) 2 1 2 2 2=0D1n= D2n介質(zhì)分界面介質(zhì)分界面E1t=21214cos4cosrqrq E2t=224cosrq D1n =224sin4sinrqrq D2n =24sinrq qq2121 qq2122 rPE2t Pr E1t第18頁/共33頁19結(jié)論：結(jié)論：1. 圖圖a介質(zhì)介質(zhì)1中的電場分布可用圖中的電場分布可用圖b計算，計算，q =q( 1- 2) /( 1+ 2) ；2. 圖圖a介質(zhì)介質(zhì)2中的電場分布可用圖中的電場分布可用圖c計算，計算，q =2q 2 / ( 1+ 2) ；3. 鏡像電荷鏡像電荷q 是

14、分布在分界面上的極化電荷的等效；是分布在分界面上的極化電荷的等效；4. 鏡像電荷鏡像電荷q是極化電荷和自由電荷的等效；是極化電荷和自由電荷的等效；5. 注意圖注意圖b圖圖c的有效范圍：的有效范圍：qd 1 1qd(圖圖b) 2 2qd(圖圖c)qd 1(圖圖a) 2 1 2rPE2t Pr E1t第19頁/共33頁20 二、球面鏡像：二、球面鏡像：問題問題1:半徑為半徑為R的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球(接地接地)外外d處有點電荷處有點電荷q，周圍介電常數(shù)為，周圍介電常數(shù)為 ，求解，求解導(dǎo)體球?qū)w球外的電場。外的電場。解：解： 2 =0除點電荷處除點電荷處 |(導(dǎo)體球面導(dǎo)體球面)= 0 |(無窮遠處無窮遠處

15、)= 0 考慮如圖考慮如圖b，鏡像電荷的位置、大??？，鏡像電荷的位置、大??？(圖圖b)q(圖圖a)0Rd rqrqP 44= 0r2=R2+d2-2Rd cos r2=R2+b2-2Rb cos qdRq dRb2 q0Rd-qbPrr 第20頁/共33頁21 (圖圖b)q(圖圖a)0Rd q0Rd-qb結(jié)論：結(jié)論：1. 圖圖a中電介質(zhì)中的電場分布可用圖中電介質(zhì)中的電場分布可用圖b計算；計算；2. -q 為鏡像電荷，它是分布在導(dǎo)電球上的負值感應(yīng)電荷的等效；為鏡像電荷，它是分布在導(dǎo)電球上的負值感應(yīng)電荷的等效；3. q = qR/d ( |q|q )； R2=bd；4. 用鏡像法要注意有效范圍：用

16、鏡像法要注意有效范圍：單一介質(zhì)！單一介質(zhì)！第21頁/共33頁22問題問題2:半徑為半徑為R的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球(不接地不接地)外外d處有點電荷處有點電荷q,周圍介電常數(shù)為周圍介電常數(shù)為 , 求解求解導(dǎo)體球外的電導(dǎo)體球外的電場。場。解：解： 2 =0除點電荷處除點電荷處 |(導(dǎo)體球面導(dǎo)體球面)= c |(無窮遠處無窮遠處)= 0 考慮如圖考慮如圖b，鏡像電荷的位置、大?。?，鏡像電荷的位置、大小？(圖圖b)q(圖圖a)0Rd qdRq dRb2 -qbq兩個鏡像電荷兩個鏡像電荷q 、-q，q 位于球心位于球心d0Rq第22頁/共33頁23AB 0()12 00An()01n1.圖圖 示示 點點 電電

17、荷荷 Q 與與 無無 限限 大大 接接 地地 導(dǎo)導(dǎo) 體體 平平 板板 的的 靜靜 電電 場場 問問 題題 中，中， 為為 了了 應(yīng)應(yīng) 用用 鏡鏡 像像 法法 求求 解解 區(qū)區(qū) 域域 A 中中 的的 電電 場，場， 基基 于于 唯唯 一一 性性 定定 理，理， 在在 確確 定定 鏡鏡 像像 法法 求求 解解 時，時， 是是 根根 據(jù)據(jù) 邊邊 界界 條條 件件（用（用 電電 位位 表表 示）示） 無限大導(dǎo)體平板h 區(qū)域 B 區(qū)域 AQ0或：或：第23頁/共33頁242、 鏡鏡 像像 法法 的的 理理 論論 根根 據(jù)據(jù) 是是_。 鏡鏡 像像 法法 的的 基基 本本 思思 想想 是是 用用 集集 中中

18、 的的 鏡鏡 像像 電電 荷荷 代代 替替_ 的的 分分 布。布。第24頁/共33頁25一、問題的提出：一、問題的提出：1. 長直平行帶電圓柱導(dǎo)體長直平行帶電圓柱導(dǎo)體在電力和信號傳輸中廣泛存在。在電力和信號傳輸中廣泛存在。2. 分析兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體（軸向單位長度電荷量為分析兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體（軸向單位長度電荷量為 、- ）的電場：）的電場：直接法很困難直接法很困難。間接解決。間接解決。xy- + 0 |(導(dǎo)體導(dǎo)體1)= c1 |(導(dǎo)體導(dǎo)體2)= c21.7.2 電軸電軸法法第25頁/共33頁26Crr ln2 rrPererE 22x二、一對細長導(dǎo)線產(chǎn)生的電場：二、一對細長導(dǎo)線產(chǎn)生的

19、電場：解：由高斯定律、疊加原理：解：由高斯定律、疊加原理：y- 0+ P(x, y)2br+r_drrdrrQPQPP 22取取y軸電位為軸電位為0，則：，則：C=0 rrPln2 等位線方程為：令等位線方程為：令 P=kKrr 2222222)()(Kybxybxrr 222222)12()11( KbKybKKx則等位線為若干圓，則等位線為若干圓，bKKd1122 122 KbKRR2 +b2 =d2設(shè)圓心到原點的距離為設(shè)圓心到原點的距離為d，圓半徑為，圓半徑為R第26頁/共33頁27x結(jié)論：結(jié)論：y- 0+ 2b等位線為若干圓，等位線為若干圓，R2 +b2 =d2圓心到原點的距離為圓心到

20、原點的距離為d，圓半徑為，圓半徑為R2dR第27頁/共33頁28xy- + 0a三、兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體三、兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體(等半徑等半徑)外部的電場：外部的電場：電軸法電軸法：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以兩帶電細線兩帶電細線(等效電軸等效電軸) 。 rrPln2 a2+b2 =h2設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為a，兩圓心距離為，兩圓心距離為2h，兩等效電軸的距離為，兩等效電軸的距離為2b- + 2b2hP(x, y)r+r_導(dǎo)體內(nèi)部導(dǎo)體內(nèi)部的電場？的電場？注意確定注意確定等效電軸等效電軸的位置。的位置。 若取若取y軸電位為軸電位為0，則圓柱導(dǎo)體則圓柱導(dǎo)體外外任一點任一點P的電位為的電位為: 第28頁/共33頁29例一、兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體的電壓為例一、兩長直平行帶電圓柱導(dǎo)體的電壓為U0，尺寸如圖，求導(dǎo)體，尺寸如圖，求導(dǎo)體軸向單位長度電荷量軸向單位長度電荷量 及導(dǎo)體外任意點及導(dǎo)體外任意點P的電位。的電位。解：用電軸法解：用電軸法xy0a- + 2bDP(x, y)r+r_U0則導(dǎo)體則導(dǎo)體2的電位即點的電位即點P的電位為：的電位為： rrPln2 P)2()2(ln2aDb