北郵考研概率論與數(shù)理統(tǒng)計62數(shù)據(jù)表示-直方圖等

1、 一、經(jīng)驗分布函數(shù)一、經(jīng)驗分布函數(shù) 二、頻數(shù)頻率分布表二、頻數(shù)頻率分布表 三、樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示三、樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示6.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示6.2.1 經(jīng)驗分布函數(shù)設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，假設(shè)將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為 x(1), x(2), , x(n)，那么稱 x(1), x(2), , x(n) 為有序樣本.用有序樣本定義如下函數(shù) (1)( )(1)( )0, ( )/ ,1,2,.,11,kknnxxFxk nxx xknxx 那么Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn() = 0 和 Fn() = 1可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函

2、數(shù)，稱Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。經(jīng)驗分布函數(shù)。(1)(2)( )nxxx)(1)(或xsnxFn.的隨機變量的個數(shù)中不大于,表示)(21xxxxxsn Fn(x)的圖形是累積頻率曲線。它是跳躍上的圖形是累積頻率曲線。它是跳躍上升的一條階梯曲線。假設(shè)觀測值不重復(fù)，躍度升的一條階梯曲線。假設(shè)觀測值不重復(fù)，躍度為為1/n，假設(shè)重復(fù)，按，假設(shè)重復(fù)，按1/n的倍數(shù)跳躍上升。的倍數(shù)跳躍上升。Fn(x)x當(dāng)當(dāng) 時，時， 依概率收斂于總體的分布函數(shù)依概率收斂于總體的分布函數(shù)n)(xFn)(xF例1 某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上 隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重單位：克 351 347 355 344 351

3、x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 351, x(5)= 355這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：其經(jīng)驗分布函數(shù)為 0 ， x 344 0.2， 344 x 347Fn(x) = 0.4， 347 x 351 0.8， 351 x 355 1， x 355由伯努里大數(shù)定律：只要 n 相當(dāng)大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x) 。更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。定理1格里紋科定理格里紋科1933定理說明：當(dāng)n 相當(dāng)大時，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)F(x)的一個良好的近似。經(jīng)典的統(tǒng)計學(xué)中一切統(tǒng)計推斷都以樣本為依據(jù)，其理由就在于此。. 10

4、)()(suplim , )( 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收斂于分布函數(shù)一致收斂于分布函數(shù)以概率以概率時時當(dāng)當(dāng)對于任一實數(shù)對于任一實數(shù). )( , )( )( , 使用使用來來從而在實際上可當(dāng)作從而在實際上可當(dāng)作只有微小的差別只有微小的差別與總體分布函數(shù)與總體分布函數(shù)數(shù)的任一個觀察值數(shù)的任一個觀察值經(jīng)驗分布函經(jīng)驗分布函時時充分大充分大當(dāng)當(dāng)對于任一實數(shù)對于任一實數(shù)xFxFxFnxn 160 196 164 148 170 175 178 166 181 162 161 168 166 162 172 156 170 157 162 154樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計研究的根

5、底，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。例2 為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力， 我們隨機調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品 的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下(1) 對樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原那么，組數(shù)通 常在520個，對容量較小的樣本;(2) 確定每組組距：近似公式為組距d = (最大觀測值 最小觀測值)/組數(shù);(3) 確定每組組限： 各組區(qū)間端點為a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, , ak=a0+kd, 形成如下的分組區(qū)間(a0 , a1 , (a1, a2, , (ak-1 , ak對這20個數(shù)據(jù)(樣本)進(jìn)行整理,具體步驟如下:(4) 統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)頻

6、數(shù)， 并列出其頻數(shù)頻率分布表。表1 例2 的頻數(shù)頻率分布表 組序 分組區(qū)間 組中值 頻數(shù) 頻率 累計頻率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100合計 20 1一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差異僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。當(dāng)

7、取得一組樣本值后，一般先根據(jù)樣本取值作頻率直方圖，對總體的分布情況有一個幾何直觀上的粗略了解，然后再進(jìn)一步分析10直方圖111213 例3 某工廠用自動包裝機包裝產(chǎn)品，為了考察每袋產(chǎn)品重量的波動情況，選取100袋產(chǎn)品測得其重量如下：(單位：kg)，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)作出頻率直方圖97.894.698.9100.999.8102.797.995.599.0101.199.6102.997.795.799.5101.299.9103.198.295.899.1101.3100.0103.898.196.099.0101.4100.198.396.399.2101.5100.2104.598.596.6

8、99.3101.4100.397.898.496.799.4101.1100.496.999.5101.0100.198.597.099.1101.2100.298.097.299.2101.6100.298.197.499.0101.6100.498.197.599.4101.8100.598.797.199.3102.1100.398.899.998.9102.0100.298.999.7100.6102.1100.498.899.6100.6102.3100.198.699.7100.7102.498.899.8102.2100.899.8100.9141516把每一個數(shù)值分為兩局部，前

9、面一局部百位和十位稱為莖，后面局部個位稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數(shù)值 分開 莖 和 葉 112 11 | 2 11 和 2例4 某公司對應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試 成績總分為 150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測 試成績已經(jīng)過排序：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數(shù)據(jù)給出一個莖葉圖，見下頁。圖3 測試成績的莖葉圖6 4

10、 77 0 2 4 6 6 98 0 1 2 2 3 5 6 8 9 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7 7 910 0 0 2 4 6 6 7 8 811 2 2 4 6 8 9 912 2 3 5 6 813 3 莖葉圖的外觀很像橫放的直方圖，但莖葉圖中葉增加了具體的數(shù)值，使我們對數(shù)據(jù)的具體取值一目了然，從而保存了數(shù)據(jù)中全部的信息。在要比較兩組樣本時，可畫出它們的背靠背的莖葉圖。見附錄。甲車間 6 2 0 5 6 乙車間8 7 7 7 5 5 5 4 2 1 1 6 6 7 7 8 8 8 7 7 6 6 4 4 2 1 7 2 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 8 7

11、6 6 5 3 2 8 0 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 7 3 2 1 0 9 0 2 3 5 8 5 3 0 0 10 7 注意：莖葉圖保存數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較 大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個數(shù)量級時， 莖葉圖并不適用。更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義：(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若是整數(shù)通常，樣本均值在概括數(shù)據(jù)方面具有一定的優(yōu)勢。但當(dāng)數(shù)據(jù)中含有極端值時，使用中位數(shù)比使用均值更好，中位數(shù)的這種抗干擾性在統(tǒng)計中稱為具有穩(wěn)健性。 設(shè)設(shè)x(1),x (n)是有序樣本，那么樣本中位數(shù)是有序樣本，那么樣本中位數(shù)m0.5定義定義為

12、為為偶數(shù)為奇數(shù))(21)12()2()21(5.0nnxxxmnnn21譬如，若譬如，若n=5，則，則m0.5 =x(3) ，n=6，則，則m0.5 =（x(3) + x(4) ）。）。注：次序統(tǒng)計量 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個 觀測值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計量。 樣本中位數(shù)是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個

13、值：最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.五數(shù)概括是指用這五個數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。附錄：附錄：1、背靠背莖葉圖舉例。、背靠背莖葉圖舉例。2、次序統(tǒng)計量。、次序統(tǒng)計量。3、一本關(guān)于、一本關(guān)于“統(tǒng)計圖的好書。統(tǒng)計圖的好書。?現(xiàn)代統(tǒng)計圖形現(xiàn)代統(tǒng)計圖形?謝益輝謝益輝 ://cn/publication/4、箱線圖舉例。、箱線圖舉例。1、背靠背莖葉圖舉例。、背靠背莖葉圖舉例。例例 下面的數(shù)據(jù)

14、是某廠兩個車間某天各下面的數(shù)據(jù)是某廠兩個車間某天各40名名員工生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，為對其進(jìn)行比較，我員工生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，為對其進(jìn)行比較，我們將這些數(shù)據(jù)放到一個背靠背莖葉圖上。們將這些數(shù)據(jù)放到一個背靠背莖葉圖上。 甲車間甲車間 乙車間乙車間 50 52 56 61 61 62 56 66 67 67 68 68 64 65 65 65 67 67 72 72 74 75 75 75 67 68 71 72 74 74 75 76 76 76 76 78 76 76 77 77 78 82 78 79 80 81 81 83 83 85 87 88 90 91 83 83 84 84 84 86 86

15、 92 86 93 93 97 86 87 87 88 92 92 100 100 103 105 93 95 98 107 甲車間甲車間 乙車間乙車間 6 2 0 5 6 8 7 7 7 5 5 5 4 2 1 1 6 6 7 7 8 8 8 7 7 6 6 4 4 2 1 7 2 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 8 7 6 6 5 3 2 8 0 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 7 3 2 1 0 9 2 2 3 5 8 5 3 0 0 10 7兩車間產(chǎn)量的背靠背莖葉圖兩車間產(chǎn)量的背靠背莖葉圖 在上圖中，莖在中間，左邊表示甲車間的數(shù)在上圖中，莖在中間，左

16、邊表示甲車間的數(shù)據(jù)，右邊表示乙車間的數(shù)據(jù)。從莖葉圖可以看出，據(jù)，右邊表示乙車間的數(shù)據(jù)。從莖葉圖可以看出，甲車間員工的產(chǎn)量偏于上方，而乙車間員工的產(chǎn)甲車間員工的產(chǎn)量偏于上方，而乙車間員工的產(chǎn)量大多位于中間，乙車間的平均產(chǎn)量要高于甲車量大多位于中間，乙車間的平均產(chǎn)量要高于甲車間，乙車間各員工的產(chǎn)量比較集中，而甲車間員間，乙車間各員工的產(chǎn)量比較集中，而甲車間員工的產(chǎn)量那么比較分散。工的產(chǎn)量那么比較分散。2、次序統(tǒng)計量及其分布 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個 觀測值。其中x(1)=mi

17、nx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計量。 樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，例 設(shè)總體X 的分布為僅取0，1，2的離散 均勻分布，分布列為xp我們知道，在一個樣本中，x1, x2,xn 是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量 x(1), x(2), x(n) 那么既不獨立，分布也不相同，看下例。現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33=27種，表列出了這些值，由此 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927p127 0 1 2我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。

18、可給出的 x(1) , x(2), x(3) 分布列如下：(2)x1327727p727 0 1 2進(jìn)一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)因為 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，單個次序統(tǒng)計量的分布定理設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為F(x)， x1, x2, xn為樣本，那么第k個 次序統(tǒng)

19、計量x(k)的密度函數(shù)為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk3、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：定理 在定理的記號下，次序統(tǒng)計 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程 x(n) x(1)/2。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。令 R = x(n)

20、 x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) = x(n)R 1 R ，那么例 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，那么(x(n), x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1)(1)rnnRprn nyryyn nrr樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數(shù)，為偶數(shù)(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若

21、是整數(shù)定理 設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處連續(xù)且 p(xp) 0，那么特別，對樣本中位數(shù)，當(dāng)n時近似地有當(dāng)n 時樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為2(1),pppppmNxn p x0.50.520.51,4mNxn p x例 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)= 1/(1+(x)2) , 通常，樣本均值在概括數(shù)據(jù)方面具有一定的優(yōu)勢。但當(dāng)數(shù)據(jù)中含有極端值時，使用中位數(shù)比使用均值更好，中位數(shù)的這種抗干擾性在統(tǒng)計中稱為具有穩(wěn)健性。 不難看出是該總體的中位數(shù)，即x0.5= 。設(shè) x1, x2, xn 是來自該總體的樣本，當(dāng)樣本量n 較大時，樣本中位數(shù)m0.5

22、的漸近分布為m0.5 AN(, 2/4n) .次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。3 3、一本關(guān)于、一本關(guān)于“統(tǒng)計圖的好書。統(tǒng)計圖的好書。? ?現(xiàn)代統(tǒng)計圖形現(xiàn)代統(tǒng)計圖形? ?謝益輝謝益輝 ://cn/publication/ ://cn/

23、publication/ 次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值x min=x (1) ；中位數(shù)m0.5；第一4分位數(shù)Q1= m0.25 ；第三4分位數(shù)Q3=m0.75 ；最大觀測值x max=x (n) ，所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)： x min ，Q1 ，m0.5 ，Q3，x max 來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。4、五數(shù)概括與箱線圖 下表是某廠160名銷售人員某月的銷售數(shù)據(jù)的有序樣本，由該批數(shù)據(jù)可計算得： xmin=45，xmax =319，m0.5 =181，Q1 =144，Q3 =212。相關(guān)分位數(shù)按照下面公式計算 .是整數(shù)不是整數(shù)np

24、npxxxmnpnpnpp)(21)1()()1( 45 74 76 80 87 91 92 93 95 96 98 99 104 106 111 113 117 120 122 122124 126 127 127 129 129 130 131 131 133134 134 135 136 137 137 139 141 141 143145 148 149 149 149 150 150 153 153 153153 154 157 160 160 162 163 163 165 165167 167 168 170 171 172 173 174 175 175176 178 178

25、178 179 179 179 180 181 181181 182 182 185 185 186 186 187 188 188188 189 189 191 191 191 192 192 194 194194 194 195 196 197 197 198 198 198 199200 201 202 204 204 205 205 206 207 210214 214 215 215 216 217 218 219 219 221221 221 221 221 222 223 223 224 227 227228 229 232 234 234 238 240 242 242 242

26、244 246 253 253 255 258 282 290 314 319 五數(shù)概括的圖形表示稱為箱線圖，由箱子和線段組成。(1)畫一個箱子，其兩側(cè)恰為第一4分位數(shù)和第三4分位數(shù)，在中位數(shù)位置上畫一條豎線，它在箱子內(nèi)。這個箱子包含了樣本中50的數(shù)據(jù)；(2)在箱子左右兩側(cè)各引出一條水平線，分別至最小值和最大值為止。每條線段包含了樣本中25的數(shù)據(jù)。 箱線圖可用來對樣本數(shù)據(jù)分布的形狀進(jìn)行大致的判斷。45 144 181 212 3199、靜夜四無鄰，荒居舊業(yè)貧。4月-224月-22Thursday, April 21, 202210、雨中黃葉樹，燈下白頭人。14:28:4014:28:4014:

27、284/21/2022 2:28:40 PM11、以我獨沈久，愧君相見頻。4月-2214:28:4014:28Apr-2221-Apr-2212、故人江海別，幾度隔山川。14:28:4014:28:4014:28Thursday, April 21, 202213、乍見翻疑夢，相悲各問年。4月-224月-2214:28:4014:28:40April 21, 202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。21 四月 20222:28:40 下午14:28:404月-2215、比不了得就不比，得不到的就不要。四月 222:28 下午4月-2214:28April 21, 202216、行動出成果，工作出

28、財富。2022/4/21 14:28:4014:28:4021 April 202217、做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。2:28:40 下午2:28 下午14:28:404月-229、沒有失敗，只有暫時停止成功！。4月-224月-22Thursday, April 21, 202210、很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。14:28:4014:28:4014:284/21/2022 2:28:40 PM11、成功就是日復(fù)一日那一點點小小努力的積累。4月-2214:28:4014:28Apr-2221-Apr-2212、世間成事，不求其絕對圓滿，留一份缺乏，可得無限完美。14:28:4014:28:4014:28Thursday, April 21, 202213、不知香積寺，數(shù)里入云峰。4月-224月-2214:28:4014:28:40Apri