第6章測量誤差的基本理論K

1、第6章 測量誤差的基本理論6.1 概述 6.1.1 測量誤差的概念 在測量工作中，無論多么認真仔細，每次觀測同一未知量（一段距離、一個角度等）其觀測值之間都不會完全一致，而這些觀測值與理論值也不相等。 在測量觀測結果中不可避免的存在著誤差。 分析誤差的的目的：分析誤差的的目的：分析誤差的規(guī)律，處理誤差結果，提高測量精度。6.1.2測量誤差產生的原因 1.儀器誤差 測量工作中要使用測量儀器。任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測值的精密度受到限制。 2.觀測者感官的限制 由于觀測者的視覺、聽覺等感官的鑒別能力有一定的局限,所以在儀器的安置、使用中會產生誤差，如整平誤差、照準誤差、讀數(shù)誤差等。 3

2、.外界條件的影響 測量工作都是在一定的外界環(huán)境條件下進行的，如溫度、風力、大氣折光等因素，這些因素的差異和變化都會直接對觀測結果產生影響，必然給觀測結果帶來誤差。 上述三個因素即儀器誤差、觀測者感官的限制、外界條件的影響總稱為觀測條件。 觀測條件相同的同類觀測稱為等精度觀測；觀測條件不相同的同類觀測稱為不等精度觀測。在觀測值的處理上有所不同。6.1.3 測量誤差的分類根據(jù)觀測誤差的性質可分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差 1.系統(tǒng)誤差（又稱累積誤差） 儀器制造或校正不完善、觀測者生理習性、測量時測量時外界條件、儀器測定時不一致引起的。 在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性 ： 誤差的絕

3、對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化； 誤差在正負號保持不變； 誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。 例如水準尺端部磨損；水準尺傾斜；水準尺端部磨損；水準尺傾斜；水準尺彎曲；水準尺的沉降水準尺彎曲；水準尺的沉降; 目標傾斜目標傾斜 消除方法 觀測值偏離真值的程度稱為觀測值的準確度。系統(tǒng)誤差對觀測值的準確度影響很大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當?shù)拇胧┫驕p弱其影響。 處理原則：找出規(guī)律，加以改正。 測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以改正。 如：鋼尺量距中進行尺長、溫度、傾斜改正等。 校正儀器，將系統(tǒng)誤差限制在容許范圍內。 對稱觀測，水準測量中，使前后視距離相等 (中

4、間法)；角度觀測時，采用盤左盤右取平均值。2.偶然誤差（又稱補償誤差） 在相同的觀測條件下，有一系列的不可控因素（濕度、溫度、空氣振動等）的擾動。對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結果的差異在正負號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。 式中 表示求和(抵償性)設相同觀測條件下，對未知量觀測了設相同觀測條件下，對未知量觀測了n 次，觀測值為次，觀測值為L1,L2 ,Ln , 未知量的真值為未知量的真值為X，則觀測值的真誤差為，則觀測值的真誤差為： = Li X（i=1,2,3,n） 在相同的觀測條件下，獨立地觀測了在相同的觀測條件下，獨立地觀測了21721

5、7個三角形的全部內角，個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等于它的真值每個三角形內角之和應等于它的真值，由于觀測值存在誤，由于觀測值存在誤差而往往不相等。三角形內角和的差而往往不相等。三角形內角和的真誤差真誤差應為：應為： i i=(L=(L1 1+L+L2 2+L+L3 3) )i i -180 -180 (i=1 (i=1、n) n) 出現(xiàn)在某區(qū)間內誤差的個數(shù)稱為頻數(shù)，用出現(xiàn)在某區(qū)間內誤差的個數(shù)稱為頻數(shù)，用V V表示，表示，頻數(shù)頻數(shù)除以誤差的總個數(shù)除以誤差的總個數(shù)n n得得V Vn n，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)計結果列于表計結果列于表6 6，此表稱為頻率分布表

6、。，此表稱為頻率分布表。誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d（3 3） + +正誤差正誤差 - -負誤差負誤差 V V頻數(shù)頻數(shù) V/n V/n頻率頻率 V V V/n V/n0 03 33 36 66 69 99 9121212121515151518181818212121212424242427272727以上以上303021211515141412128 85 52 21 10 00.1380.1380.0.0970970.0.0690690.0.0650650.0.0550550.0.0370370.0.0230230.0.0090090.0.0050050 02929202018181616101

7、08 86 62 20 00 00.0.1341340.0.0920920.0.0830830.0.0730730.0.0460460.0.0370370.0.0280280.0.0090090 00 01081080.4980.4981091090.5020.502表6-1小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的百分比相仿；絕對值最大的誤差不超過某一個定值在其它測量結果中也顯示出上百分比相仿；絕對值最大的誤差不超過某一個定值在其它測量結果中也顯示出上述同樣的規(guī)律?？梢钥偨Y出偶然誤差具有如下的規(guī)

8、律性：述同樣的規(guī)律?？梢钥偨Y出偶然誤差具有如下的規(guī)律性：1、有界性有界性：偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；：偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；2、大小性大小性：絕對值小的比絕對值大的出現(xiàn)的可能性大；：絕對值小的比絕對值大的出現(xiàn)的可能性大；3、對稱性對稱性：誤差出現(xiàn)正負的可能性相同；：誤差出現(xiàn)正負的可能性相同；4、抵償性抵償性：偶然誤差的算術平均值隨觀測次數(shù)增加而趨于零：偶然誤差的算術平均值隨觀測次數(shù)增加而趨于零 特性一說明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說明誤特性一說明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說明誤差呈單峰性，或稱小誤差的密集性；特性三說明誤差方向的規(guī)律，差呈單峰性，

9、或稱小誤差的密集性；特性三說明誤差方向的規(guī)律，稱為對稱性；特性四是由特性三導出的，它說明該列誤差的抵償稱為對稱性；特性四是由特性三導出的，它說明該列誤差的抵償性。性。0limlim21 nnnnn n21 為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式(稱誤差稱誤差分布表分布表)，還可以用直觀的圖形來表示。，還可以用直觀的圖形來表示。 在圖在圖6 61 1中以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標表示各區(qū)間誤差中以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對個數(shù)除以區(qū)間的間隔值出現(xiàn)的相對個數(shù)除以區(qū)間的間隔值( (本例是本例是3)3)。這樣，每一誤

10、差。這樣，每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)。區(qū)間上方的長方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)。 如果繼續(xù)觀測更多的三角形，即增加誤差的個數(shù)，當如果繼續(xù)觀測更多的三角形，即增加誤差的個數(shù)，當 時，時，各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個完全確定的值，這個數(shù)值就誤差各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個完全確定的值，這個數(shù)值就誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖6 62 2所示所示圖圖6-1中各長方條頂邊所形成中各長方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的連續(xù)的折線將成為一條光滑的連續(xù)曲線，如圖曲線，如圖6-2所示。所示。這條曲線這條曲線稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)

11、稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)分布曲線。分布曲線。曲線上任一點的縱曲線上任一點的縱坐標坐標y均為橫坐標均為橫坐標 的函數(shù)，其的函數(shù)，其函數(shù)形式為：函數(shù)形式為：式中式中e為自然對數(shù)的底為自然對數(shù)的底（e）；為觀）；為觀測值的標準差（將在下節(jié)討論），測值的標準差（將在下節(jié)討論），其平方稱為方差其平方稱為方差n圖圖6 62 2 22221efy表6.2 衡量精度的指標第一組第二組次數(shù)觀測值 真誤差 次數(shù)觀測值 真誤差 1180 00 001180 00 012179 59 582179 59 583179 59 593180 00 064180 00 034180 00 005179 59 565180

12、 00 016179 59 576179 59 537180 00 027179 59 598180 00 018180 00 009179 59 589180 00 0310180 00 0410180 00 010-2-1+3-4-3+2+1-2+4+1-2+60+1-7-10+3+1問：哪一組的精度高？第1組離散程度高6.2 衡量精度的指標6.2.1 中誤差nm22221n 問：利用表6.2分別計算第1組和第2組的中誤差來比較精度 810421234312022222222221m10810130171062122222222222m第1組精度高8)4() 1(24)3() 1(3)3(

13、222222221m8) 1(30)4(6) 1()5(122222222m 設有兩組等精度觀測，其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測值的中誤差。解： =2.8=3.3自水準點自水準點向水準點向水準點進行水準測量進行水準測量(圖圖7-3)，設各段所測高差分別為，設各段所測高差分別為求求、兩點間的高差及其中誤差。兩點間的高差及其中誤差。mmhmmhmmh4346. 23305. 65852. 3321mmnmmmmh3435222232221圖7-3 解：、之間的高差解：、之間的高差h=h1+h2+

14、h3=7.811m;高差中誤差高差中誤差6.2.2 相對誤差 對于某些觀測結果，有時單靠中誤差還不能完全反映觀測精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為0.02m。雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同，后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實際精度，常采用相對誤差。 觀測值中誤差m的絕對值與相應觀測值D的比值稱為相對中誤差。它是一個無名數(shù)，常用分子為1的分數(shù)表示，即mDDmK1已知：D1=100m, m1=0.01m D2=200m, m2=0.01m求：K1, K220000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK解：6.2

15、.2 相對誤差在偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，即極限誤差。根據(jù)誤差理論和大量的實踐證明，在一系列的等精度觀測誤差中，真誤差絕對值大于中誤差大概率約為32%；大于兩倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機會只有5%；大于三倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機會僅有3，也就是說，大于3倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即：m3容在對精度要求較高時，常取二倍中誤差作為容許誤差，即： m2容6.3 算術平均值及其中誤差對觀測值進行觀測，給予適當處理，求出最可靠值，對觀測值進行最佳估計。其中，取算術平均值的方法，是最常見的一種觀測的估計。設在相同的觀測條件下對某量進行了n次等精

16、度觀測，觀測值為 l1,l2 ,，ln,其真值是X,真誤差為1，2，觀測值的真誤差公式為 (i=1,2, ,n) 1122lXlX . . . . nnlX Xlii1122lXlX . . . . nnlX 全部相加Xnlllnn 2121 nXli nnlXi0limnn當真值X也就是算術平均值 nlxi在實際測量中，根據(jù)有限個觀測值求出的算術平均值與其僅差一微小量 。故算術平均值是觀測值的最可靠值，通常也稱為最或是值（most probable value）。 n6.3.2 改正數(shù) 算術平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正數(shù)（v）：1122nnvxlvxlvxl上式相加得 vnxl 0lv

17、nln 一組觀測值取算術平均值后，其改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計算中的校核。6.3.3 按觀測值的改正值計算中誤差 由于未知量的真值X一般無法確知，真誤差 也是未知數(shù)，故不能直接用 求出中誤差。 實際工作中，多利用觀測值的改正數(shù)v來計算觀測值的中誤差，公式（也稱為白塞爾公式）：1vvmn 可以根據(jù)偶然誤差的特性證明之。nmi 22221nvvvvv 設算術平均值的中誤差為mx，則有nmmnmnmnmx22222222111 故nmmx 由此可知，算術平均值的中誤差為觀測值的中誤差的 倍。n1因為nLnLnLxn 21式中：1/n為常數(shù)； 由于各獨立觀測值的精度相同，設其中誤差均為m。

18、四、算術平均值中誤差 nLLLnLxni 21 設對某角進行了5次同精度觀測，觀測結果如下表，試求其觀測值的中誤差及算術平均值的中誤差。-+觀測值中誤差2 . 215201nvvm算術平均值中誤差為0 . 152 . 2nmmx 設對某段距離進行了6次同精度觀測，觀測結果如下表，試求其觀測值的中誤差及算術平均值的中誤差。觀測值Li觀測改正數(shù)vvv-18324+636-636+183240730 nlix =6832 1nvvm=nmmx=15147306.4 誤差傳播定律及其應用6.4.1 誤差傳播定律 在間接觀測的情況下，未知量的中誤差和觀測值中誤差之間必有一定的關系，闡述這種關系的定律為誤

19、差傳播定律。 即根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)中誤差 。 例： 高差 （和差函數(shù) ） 平均距離 （線性函數(shù)） 實地距離 (倍數(shù)函數(shù)） 三角邊 （一般函數(shù)） 坐標增量 （一般函數(shù)） .121()sinsincosnhabSSSSnDM dabxD 平均一、應用誤差傳播定律的基本步驟1. 列出觀測值函數(shù)的表達式),(21nxxxfZ 2.對函數(shù)Z進行全微分nxnxxZxfxfxf )()()(21213. 寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關系式2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 4. 計算觀測值函數(shù)中誤差二、和(差)函數(shù)的中誤差 和差函數(shù)： 且X1、X2獨立，則有21X

20、XZ22221XXZmmm 兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方和。 當Z是一組觀測值X1、X2 Xn代數(shù)和(差)的函數(shù)時，即 ，Z的中誤差的平方為： n個觀測值代數(shù)和(差)的中誤差平方，等于n個觀測值中誤差平方之和。 在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和(差)的中誤差，與觀測值個數(shù)n的平方根成正比，即nXXXZ 21222221nXXXZmmmm nmmZ例6-4 已知水準儀距水準尺75m時，一次讀數(shù)中誤差為 (包括照準誤差、氣泡置中誤差及水準標尺刻劃中誤差)，若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準測量觀測n站所得高差閉合差的容許誤差。解：水準測量每一站高差mm2讀m).,2 , 1(nibahiii觀測n站所得總高差nhhhh 21則n站總高差h的中誤差mm8 .2nnmm站總若以三倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為mm84 . 88 . 23nnn）（容則每站高差中誤差 222讀讀讀站mmmmmm8