第6章測(cè)量誤差的基本理論K

1、第6章 測(cè)量誤差的基本理論6.1 概述 6.1.1 測(cè)量誤差的概念 在測(cè)量工作中，無(wú)論多么認(rèn)真仔細(xì)，每次觀測(cè)同一未知量（一段距離、一個(gè)角度等）其觀測(cè)值之間都不會(huì)完全一致，而這些觀測(cè)值與理論值也不相等。 在測(cè)量觀測(cè)結(jié)果中不可避免的存在著誤差。 分析誤差的的目的：分析誤差的的目的：分析誤差的規(guī)律，處理誤差結(jié)果，提高測(cè)量精度。6.1.2測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因 1.儀器誤差 測(cè)量工作中要使用測(cè)量?jī)x器。任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測(cè)值的精密度受到限制。 2.觀測(cè)者感官的限制 由于觀測(cè)者的視覺、聽覺等感官的鑒別能力有一定的局限,所以在儀器的安置、使用中會(huì)產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。 3

2、.外界條件的影響 測(cè)量工作都是在一定的外界環(huán)境條件下進(jìn)行的，如溫度、風(fēng)力、大氣折光等因素，這些因素的差異和變化都會(huì)直接對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測(cè)結(jié)果帶來(lái)誤差。 上述三個(gè)因素即儀器誤差、觀測(cè)者感官的限制、外界條件的影響總稱為觀測(cè)條件。 觀測(cè)條件相同的同類觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不相同的同類觀測(cè)稱為不等精度觀測(cè)。在觀測(cè)值的處理上有所不同。6.1.3 測(cè)量誤差的分類根據(jù)觀測(cè)誤差的性質(zhì)可分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差 1.系統(tǒng)誤差（又稱累積誤差） 儀器制造或校正不完善、觀測(cè)者生理習(xí)性、測(cè)量時(shí)測(cè)量時(shí)外界條件、儀器測(cè)定時(shí)不一致引起的。 在相同的觀測(cè)條件下，無(wú)論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性 ： 誤差的絕

3、對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化； 誤差在正負(fù)號(hào)保持不變； 誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。 例如水準(zhǔn)尺端部磨損；水準(zhǔn)尺傾斜；水準(zhǔn)尺端部磨損；水準(zhǔn)尺傾斜；水準(zhǔn)尺彎曲；水準(zhǔn)尺的沉降水準(zhǔn)尺彎曲；水準(zhǔn)尺的沉降; 目標(biāo)傾斜目標(biāo)傾斜 消除方法 觀測(cè)值偏離真值的程度稱為觀測(cè)值的準(zhǔn)確度。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)值的準(zhǔn)確度影響很大，但它們的符號(hào)和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱其影響。 處理原則：找出規(guī)律，加以改正。 測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，對(duì)觀測(cè)值加以改正。 如：鋼尺量距中進(jìn)行尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正等。 校正儀器，將系統(tǒng)誤差限制在容許范圍內(nèi)。 對(duì)稱觀測(cè)，水準(zhǔn)測(cè)量中，使前后視距離相等 (中

4、間法)；角度觀測(cè)時(shí)，采用盤左盤右取平均值。2.偶然誤差（又稱補(bǔ)償誤差） 在相同的觀測(cè)條件下，有一系列的不可控因素（濕度、溫度、空氣振動(dòng)等）的擾動(dòng)。對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。 式中 表示求和(抵償性)設(shè)相同觀測(cè)條件下，對(duì)未知量觀測(cè)了設(shè)相同觀測(cè)條件下，對(duì)未知量觀測(cè)了n 次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為L(zhǎng)1,L2 ,Ln , 未知量的真值為未知量的真值為X，則觀測(cè)值的真誤差為，則觀測(cè)值的真誤差為： = Li X（i=1,2,3,n） 在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了21721

5、7個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于它的真值每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于它的真值，由于觀測(cè)值存在誤，由于觀測(cè)值存在誤差而往往不相等。三角形內(nèi)角和的差而往往不相等。三角形內(nèi)角和的真誤差真誤差應(yīng)為：應(yīng)為： i i=(L=(L1 1+L+L2 2+L+L3 3) )i i -180 -180 (i=1 (i=1、n) n) 出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)誤差的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)，用出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)誤差的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)，用V V表示，表示，頻數(shù)頻數(shù)除以誤差的總個(gè)數(shù)除以誤差的總個(gè)數(shù)n n得得V Vn n，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表計(jì)結(jié)果列于表6 6，此表稱為頻率分布表

6、。，此表稱為頻率分布表。誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d（3 3） + +正誤差正誤差 - -負(fù)誤差負(fù)誤差 V V頻數(shù)頻數(shù) V/n V/n頻率頻率 V V V/n V/n0 03 33 36 66 69 99 9121212121515151518181818212121212424242427272727以上以上303021211515141412128 85 52 21 10 00.1380.1380.0.0970970.0.0690690.0.0650650.0.0550550.0.0370370.0.0230230.0.0090090.0.0050050 02929202018181616101

7、08 86 62 20 00 00.0.1341340.0.0920920.0.0830830.0.0730730.0.0460460.0.0370370.0.0280280.0.0090090 00 01081080.4980.4981091090.5020.502表6-1小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的百分比相仿；絕對(duì)值最大的誤差不超過(guò)某一個(gè)定值在其它測(cè)量結(jié)果中也顯示出上百分比相仿；絕對(duì)值最大的誤差不超過(guò)某一個(gè)定值在其它測(cè)量結(jié)果中也顯示出上述同樣的規(guī)律?？梢钥偨Y(jié)出偶然誤差具有如下的規(guī)

8、律性：述同樣的規(guī)律?？梢钥偨Y(jié)出偶然誤差具有如下的規(guī)律性：1、有界性有界性：偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；：偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；2、大小性大小性：絕對(duì)值小的比絕對(duì)值大的出現(xiàn)的可能性大；：絕對(duì)值小的比絕對(duì)值大的出現(xiàn)的可能性大；3、對(duì)稱性對(duì)稱性：誤差出現(xiàn)正負(fù)的可能性相同；：誤差出現(xiàn)正負(fù)的可能性相同；4、抵償性抵償性：偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測(cè)次數(shù)增加而趨于零：偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測(cè)次數(shù)增加而趨于零 特性一說(shuō)明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說(shuō)明誤特性一說(shuō)明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說(shuō)明誤差呈單峰性，或稱小誤差的密集性；特性三說(shuō)明誤差方向的規(guī)律，差呈單峰性，

9、或稱小誤差的密集性；特性三說(shuō)明誤差方向的規(guī)律，稱為對(duì)稱性；特性四是由特性三導(dǎo)出的，它說(shuō)明該列誤差的抵償稱為對(duì)稱性；特性四是由特性三導(dǎo)出的，它說(shuō)明該列誤差的抵償性。性。0limlim21 nnnnn n21 為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式(稱誤差稱誤差分布表分布表)，還可以用直觀的圖形來(lái)表示。，還可以用直觀的圖形來(lái)表示。 在圖在圖6 61 1中以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差中以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)除以區(qū)間的間隔值出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)除以區(qū)間的間隔值( (本例是本例是3)3)。這樣，每一誤

10、差。這樣，每一誤差區(qū)間上方的長(zhǎng)方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)。區(qū)間上方的長(zhǎng)方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)。 如果繼續(xù)觀測(cè)更多的三角形，即增加誤差的個(gè)數(shù)，當(dāng)如果繼續(xù)觀測(cè)更多的三角形，即增加誤差的個(gè)數(shù)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個(gè)完全確定的值，這個(gè)數(shù)值就誤差各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個(gè)完全確定的值，這個(gè)數(shù)值就誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖6 62 2所示所示圖圖6-1中各長(zhǎng)方條頂邊所形成中各長(zhǎng)方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的連續(xù)的折線將成為一條光滑的連續(xù)曲線，如圖曲線，如圖6-2所示。所示。這條曲線這條曲線稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)

11、稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)分布曲線。分布曲線。曲線上任一點(diǎn)的縱曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)均為橫坐標(biāo) 的函數(shù)，其的函數(shù)，其函數(shù)形式為：函數(shù)形式為：式中式中e為自然對(duì)數(shù)的底為自然對(duì)數(shù)的底（e）；為觀）；為觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差（將在下節(jié)討論），測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差（將在下節(jié)討論），其平方稱為方差其平方稱為方差n圖圖6 62 2 22221efy表6.2 衡量精度的指標(biāo)第一組第二組次數(shù)觀測(cè)值 真誤差 次數(shù)觀測(cè)值 真誤差 1180 00 001180 00 012179 59 582179 59 583179 59 593180 00 064180 00 034180 00 005179 59 565180

12、 00 016179 59 576179 59 537180 00 027179 59 598180 00 018180 00 009179 59 589180 00 0310180 00 0410180 00 010-2-1+3-4-3+2+1-2+4+1-2+60+1-7-10+3+1問(wèn)：哪一組的精度高？第1組離散程度高6.2 衡量精度的指標(biāo)6.2.1 中誤差nm22221n 問(wèn)：利用表6.2分別計(jì)算第1組和第2組的中誤差來(lái)比較精度 810421234312022222222221m10810130171062122222222222m第1組精度高8)4() 1(24)3() 1(3)3(

13、222222221m8) 1(30)4(6) 1()5(122222222m 設(shè)有兩組等精度觀測(cè)，其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。解： =2.8=3.3自水準(zhǔn)點(diǎn)自水準(zhǔn)點(diǎn)向水準(zhǔn)點(diǎn)向水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量(圖圖7-3)，設(shè)各段所測(cè)高差分別為，設(shè)各段所測(cè)高差分別為求求、兩點(diǎn)間的高差及其中誤差。兩點(diǎn)間的高差及其中誤差。mmhmmhmmh4346. 23305. 65852. 3321mmnmmmmh3435222232221圖7-3 解：、之間的高差解：、之間的高差h=h1+h2+

14、h3=7.811m;高差中誤差高差中誤差6.2.2 相對(duì)誤差 對(duì)于某些觀測(cè)結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全反映觀測(cè)精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為0.02m。雖然兩者的中誤差相同，但就單位長(zhǎng)度而言，兩者精度并不相同，后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實(shí)際精度，常采用相對(duì)誤差。 觀測(cè)值中誤差m的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值D的比值稱為相對(duì)中誤差。它是一個(gè)無(wú)名數(shù)，常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示，即mDDmK1已知：D1=100m, m1=0.01m D2=200m, m2=0.01m求：K1, K220000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK解：6.2

15、.2 相對(duì)誤差在偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值，即極限誤差。根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明，在一系列的等精度觀測(cè)誤差中，真誤差絕對(duì)值大于中誤差大概率約為32%；大于兩倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有5%；大于三倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會(huì)僅有3，也就是說(shuō)，大于3倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即：m3容在對(duì)精度要求較高時(shí)，常取二倍中誤差作為容許誤差，即： m2容6.3 算術(shù)平均值及其中誤差對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行觀測(cè)，給予適當(dāng)處理，求出最可靠值，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行最佳估計(jì)。其中，取算術(shù)平均值的方法，是最常見的一種觀測(cè)的估計(jì)。設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行了n次等精

16、度觀測(cè)，觀測(cè)值為 l1,l2 ,，ln,其真值是X,真誤差為1，2，觀測(cè)值的真誤差公式為 (i=1,2, ,n) 1122lXlX . . . . nnlX Xlii1122lXlX . . . . nnlX 全部相加Xnlllnn 2121 nXli nnlXi0limnn當(dāng)真值X也就是算術(shù)平均值 nlxi在實(shí)際測(cè)量中，根據(jù)有限個(gè)觀測(cè)值求出的算術(shù)平均值與其僅差一微小量 。故算術(shù)平均值是觀測(cè)值的最可靠值，通常也稱為最或是值（most probable value）。 n6.3.2 改正數(shù) 算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差稱為觀測(cè)值的改正數(shù)（v）：1122nnvxlvxlvxl上式相加得 vnxl 0lv

17、nln 一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，其改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計(jì)算中的校核。6.3.3 按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差 由于未知量的真值X一般無(wú)法確知，真誤差 也是未知數(shù)，故不能直接用 求出中誤差。 實(shí)際工作中，多利用觀測(cè)值的改正數(shù)v來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差，公式（也稱為白塞爾公式）：1vvmn 可以根據(jù)偶然誤差的特性證明之。nmi 22221nvvvvv 設(shè)算術(shù)平均值的中誤差為mx，則有nmmnmnmnmx22222222111 故nmmx 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的 倍。n1因?yàn)閚LnLnLxn 21式中：1/n為常數(shù)； 由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。

18、四、算術(shù)平均值中誤差 nLLLnLxni 21 設(shè)對(duì)某角進(jìn)行了5次同精度觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果如下表，試求其觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值的中誤差。-+觀測(cè)值中誤差2 . 215201nvvm算術(shù)平均值中誤差為0 . 152 . 2nmmx 設(shè)對(duì)某段距離進(jìn)行了6次同精度觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果如下表，試求其觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值的中誤差。觀測(cè)值Li觀測(cè)改正數(shù)vvv-18324+636-636+183240730 nlix =6832 1nvvm=nmmx=15147306.4 誤差傳播定律及其應(yīng)用6.4.1 誤差傳播定律 在間接觀測(cè)的情況下，未知量的中誤差和觀測(cè)值中誤差之間必有一定的關(guān)系，闡述這種關(guān)系的定律為誤

19、差傳播定律。 即根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)中誤差 。 例： 高差 （和差函數(shù) ） 平均距離 （線性函數(shù)） 實(shí)地距離 (倍數(shù)函數(shù)） 三角邊 （一般函數(shù)） 坐標(biāo)增量 （一般函數(shù)） .121()sinsincosnhabSSSSnDM dabxD 平均一、應(yīng)用誤差傳播定律的基本步驟1. 列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式),(21nxxxfZ 2.對(duì)函數(shù)Z進(jìn)行全微分nxnxxZxfxfxf )()()(21213. 寫出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)系式2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 4. 計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差二、和(差)函數(shù)的中誤差 和差函數(shù)： 且X1、X2獨(dú)立，則有21X

20、XZ22221XXZmmm 兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方和。 當(dāng)Z是一組觀測(cè)值X1、X2 Xn代數(shù)和(差)的函數(shù)時(shí)，即 ，Z的中誤差的平方為： n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和(差)的中誤差平方，等于n個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。 在同精度觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值代數(shù)和(差)的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比，即nXXXZ 21222221nXXXZmmmm nmmZ例6-4 已知水準(zhǔn)儀距水準(zhǔn)尺75m時(shí)，一次讀數(shù)中誤差為 (包括照準(zhǔn)誤差、氣泡置中誤差及水準(zhǔn)標(biāo)尺刻劃中誤差)，若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)n站所得高差閉合差的容許誤差。解：水準(zhǔn)測(cè)量每一站高差mm2讀m).,2 , 1(nibahiii觀測(cè)n站所得總高差nhhhh 21則n站總高差h的中誤差mm8 .2nnmm站總?cè)粢匀吨姓`差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為mm84 . 88 . 23nnn）（容則每站高差中誤差 222讀讀讀站mmmmmm8