平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念

1、第一節(jié)第一節(jié) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 三、小結(jié)三、小結(jié)一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 在實(shí)際中在實(shí)際中, 有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程, 不僅它現(xiàn)不僅它現(xiàn)在的狀態(tài)在的狀態(tài), 而且它過(guò)去的狀態(tài)而且它過(guò)去的狀態(tài), 都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響發(fā)生有著很強(qiáng)的影響.如果過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變?nèi)绻^(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化化, 則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.1. 定義定義和和如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的Ttttnn ,), 2 , 1(21維維隨隨機(jī)

2、機(jī)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)nThthththn,21 )(,),(),(21ntXtXtX變變量量)(,),(),(21htXhtXhtXn 和和具有相同的分布函數(shù)具有相同的分布函數(shù), 則稱隨機(jī)過(guò)程則稱隨機(jī)過(guò)程 ),(TttX 具有平穩(wěn)性具有平穩(wěn)性, 并同時(shí)稱此過(guò)程為并同時(shí)稱此過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,或簡(jiǎn)稱或簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程 (嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或或狹義平穩(wěn)過(guò)程狹義平穩(wěn)過(guò)程).平穩(wěn)過(guò)程的參數(shù)集平穩(wěn)過(guò)程的參數(shù)集T, 一般為一般為:., 2 , 1 , 0, 2, 1, 0), 0),( 或或 為為平平穩(wěn)穩(wěn)隨隨稱稱平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程為為離離散散情情況況當(dāng)當(dāng)nXT,機(jī)序列機(jī)序列, 或平穩(wěn)

3、時(shí)間序列或平穩(wěn)時(shí)間序列.說(shuō)明說(shuō)明(1) 將隨機(jī)過(guò)程劃分為平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程有重將隨機(jī)過(guò)程劃分為平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程有重要的實(shí)際意義要的實(shí)際意義. 過(guò)程若是平穩(wěn)的可使問(wèn)題的分析尤過(guò)程若是平穩(wěn)的可使問(wèn)題的分析尤為簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化.(2) 平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì). 平穩(wěn)過(guò)程數(shù)字特征的特點(diǎn)平穩(wěn)過(guò)程數(shù)字特征的特點(diǎn):)()(存存在在的的均均值值函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程tXEtX線線都都在在水水平平直直線線平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程的的所所有有樣樣本本曲曲)1(.,X 平平均均偏偏離離度度為為上上下下波波動(dòng)動(dòng)Xtx )(的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程)()2(tX.

4、)()(),(2121存存在在tXtXEttRx 的單的單函數(shù)僅是函數(shù)僅是那么平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)那么平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān) 12tt.變函數(shù)變函數(shù)(即不隨時(shí)間的推移而變化即不隨時(shí)間的推移而變化).協(xié)方差函數(shù)可以表示為協(xié)方差函數(shù)可以表示為 )()()(XXXtXtXEC .)(2XXR ,0 若若令令.)0()0(22XXXXRC 則則說(shuō)明說(shuō)明 要確定一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)要確定一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù), 并進(jìn)而判定并進(jìn)而判定其平穩(wěn)性在實(shí)際中不易辦到其平穩(wěn)性在實(shí)際中不易辦到.2. 廣義平穩(wěn)過(guò)程廣義平穩(wěn)過(guò)程定義定義1如果對(duì)任意如果對(duì)任意給定二階矩過(guò)程給定二階矩過(guò)程,),(TttX :,Ttt )()(常常數(shù)

5、數(shù)XtXE )()()( XRtXtXE .,),(或或廣廣義義平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程為為寬寬平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程則則稱稱TttX 說(shuō)明說(shuō)明 (1) 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要二階矩存在嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要二階矩存在, 則它必定也則它必定也是寬平穩(wěn)的是寬平穩(wěn)的. 反之不成立反之不成立. (2) 寬平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的寬平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的. 定義定義2同時(shí)考慮兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程同時(shí)考慮兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程: )()(tYtX和和如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時(shí)間差的單如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時(shí)間差的單變量函數(shù)變量函數(shù), 即即),()()(),( XYXYRtYtXEttR 或或兩兩過(guò)過(guò)程程是是是是平平穩(wěn)穩(wěn)相相關(guān)關(guān)的的

6、和和稱稱那那么么,)()(,tYtX聯(lián)合寬平穩(wěn)的聯(lián)合寬平穩(wěn)的.二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 例例1是是互互不不相相關(guān)關(guān)的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè), 2 , 1, kXk則則有有且且序序列列, 0,22 kkXEXE , 0,),(2lklkXXElkRlkx ,有關(guān)有關(guān)即相關(guān)函數(shù)只與即相關(guān)函數(shù)只與lk 所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列. 則序列是則序列是是獨(dú)立同分布的是獨(dú)立同分布的如果如果,21kXXX嚴(yán)平穩(wěn)的嚴(yán)平穩(wěn)的.例例2上上服服是是在在的的函函數(shù)數(shù)是是一一周周期期為為設(shè)設(shè)), 0(,)(tTts 為隨機(jī)為隨機(jī)稱稱從均勻分布的隨機(jī)變量從均勻分布的隨機(jī)變量)()(, tstX.試討

7、論它的平穩(wěn)性試討論它的平穩(wěn)性相位周期過(guò)程相位周期過(guò)程解解的概率密度為的概率密度為 ., 0,0,/1)(其他其他TTf X(t) 的均值函數(shù)為的均值函數(shù)為 )()( tsEtXE TTiisTTts0.d)(1d1)( 的周期性的周期性利用利用)( s.d)(1)(0常常數(shù)數(shù)知知 TsTtXE 而自相關(guān)函數(shù)而自相關(guān)函數(shù))()(),( tstsEttRX d1)()(0TtstsT 具有周期性具有周期性有有關(guān)關(guān)僅僅與與 )( XR 所以所以隨機(jī)相位周期過(guò)程是平穩(wěn)的隨機(jī)相位周期過(guò)程是平穩(wěn)的. 特別特別, 隨機(jī)相位隨機(jī)相位正弦波是平穩(wěn)的正弦波是平穩(wěn)的. d)()(1 ssTTii例例3考慮隨機(jī)電報(bào)信

8、號(hào)考慮隨機(jī)電報(bào)信號(hào) t)(txIoI 2/1)()( ItXPItXP這這里里),(),( ttNtt內(nèi)內(nèi)變變化化的的次次數(shù)數(shù)而而正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)在在區(qū)區(qū)間間由只由只信號(hào)信號(hào))(tXII 或或取取.的電流給出的電流給出是隨機(jī)的是隨機(jī)的, .),(服服從從泊泊松松分分布布假假設(shè)設(shè) ttN即事件即事件),(kttNAk 的概率為的概率為, 2 , 1 , 0,!)()( kekAPkk .0的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望是單位時(shí)間內(nèi)變號(hào)次數(shù)是單位時(shí)間內(nèi)變號(hào)次數(shù)其中其中 .)(的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性試討論試討論tX解解0)( tXE)()( tXtXE下下面面計(jì)計(jì)算算內(nèi)變號(hào)偶數(shù)次內(nèi)變號(hào)偶數(shù)次如果電流在如果電流在), t

9、t,)()(2ItXtX必必同同號(hào)號(hào)且且乘乘積積為為和和 內(nèi)變號(hào)奇數(shù)次內(nèi)變號(hào)奇數(shù)次如果電流在如果電流在), tt,)()(2ItXtX 乘乘積積為為和和 的的概概率率為為事事件件)()(2ItXtX .)()()(420 APAPAP的概率為的概率為事件事件)()(2ItXtX )()(31APAP 0012222)()()()(kkkkAPIAPItXtXE .!)(2202 eIkeIkk結(jié)果與結(jié)果與t 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),0 tt令令時(shí)時(shí)而而 22)()( eItXtXE有有關(guān)關(guān)只只與與 則自相關(guān)函數(shù)則自相關(guān)函數(shù):.)(是是一一平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程所所以以隨隨機(jī)機(jī)電電報(bào)報(bào)信信號(hào)號(hào)tX其圖形為其圖形為:

10、2I o)( XR其其概概率率密密度度為為變變量量是是服服從從瑞瑞利利分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)其其中中設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程, )cos()(AttAtX 0, 00,)(2222aaeaafa ?)(,)2 , 0(是是不不是是平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程問(wèn)問(wèn)是是一一常常數(shù)數(shù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的上上服服從從均均勻勻分分布布且且與與是是在在tXAn 解解2d)(022222 aeaAEa因因例例4202022322d2d)(2222 aaeaeaAEaa故故 )cos( tAE )cos()cos(),(2121 tAtAEttRX.)(是是平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程所所以以tX )cos( tEEA00

11、 EA )cos()cos(212 ttEEA)(cos212122tt cos2 ?),0()(:.,),(是是否否仍仍為為平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程問(wèn)問(wèn)變變量量而而且且不不恒恒等等于于一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程是是一一個(gè)個(gè)零零均均值值的的平平穩(wěn)穩(wěn)設(shè)設(shè) tXtXttX解解 是是一一個(gè)個(gè)零零均均值值的的平平穩(wěn)穩(wěn)因因 ttX),(,過(guò)程過(guò)程0)( tXE)(),( XXRttR 故有故有例例5),0()()(XtXtY 令令.)0()()(不不是是平平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)過(guò)程程可可見(jiàn)見(jiàn)XtXtY )0()()(XEtXEtYE 則則)0(X )0()()0()(),(XtXXtXEttR )0()()()0()(2XtXEtXEXRX 三、小結(jié)三、小結(jié)