分析1—2隨機誤差的正態(tài)分布

1、112 2 隨機誤差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布一、頻率分布（一、頻率分布（p83p83） 相同條件下，對一合金中鐵的質量分數(shù)進行重復相同條件下，對一合金中鐵的質量分數(shù)進行重復測定測定, ,得到得到100100個測量值。個測量值。 對這些測量值進行整理對這些測量值進行整理, ,分析分析: :算出極差算出極差 R R=0.=0.29 29 ，將，將100100個測量值由小個測量值由小到大排列到大排列, ,分為分為1010組組, ,每組組距為每組組距為0.030.03。統(tǒng)計各組頻數(shù)、相對頻數(shù)（頻率）、頻率密度統(tǒng)計各組頻數(shù)、相對頻數(shù)（頻率）、頻率密度頻率密度頻率密度= =頻率頻率/ /組距組距做圖做

2、圖 頻率密度直方圖和頻率密度多邊形頻率密度直方圖和頻率密度多邊形測定值隨機分布特點：離散性、集中趨勢a ab.b. x xy y - - + + 若測量次數(shù)若測量次數(shù)n , ,組分得非常多組分得非常多, ,則直方圖形則直方圖形狀將逐漸趨于一條平滑的曲線狀將逐漸趨于一條平滑的曲線, ,即正態(tài)分布曲線，即正態(tài)分布曲線，且測量值具有明顯的向中心集中的趨勢且測量值具有明顯的向中心集中的趨勢. . 22221xexfy 對高斯方程的理解對高斯方程的理解: : 在無限多次測量中，某單一測量值在無限多次測量中，某單一測量值xi出現(xiàn)的概率密度。出現(xiàn)的概率密度。二、正態(tài)分布二、正態(tài)分布 大量不含系統(tǒng)誤差的測量數(shù)

3、據(jù)一般遵從正態(tài)大量不含系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)一般遵從正態(tài)分布分布( (高斯分布高斯分布) )1.1.正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式 高斯方程高斯方程 正態(tài)分布曲線是高斯正態(tài)分布曲線是高斯方程的形象化表示方程的形象化表示 由高斯方程數(shù)學計由高斯方程數(shù)學計算得曲線上兩拐點算得曲線上兩拐點:21,a.a.b b.21,a ab.b. x xy y - - + + 0 0X X- - 2.正態(tài)分布曲線的討論正態(tài)分布曲線的討論特點特點:（1）y極大值在極大值在 x = 處；處； 于于x = 對稱；對稱； x 軸為漸近線軸為漸近線. y: 概率密度概率密度 x: 測量值測量值 : 總體平均值

4、總體平均值x-: 隨機誤差隨機誤差 : 總體標準差總體標準差表示為表示為N( , 2)（2）拐點在）拐點在 x = 處處. （1 1）測定值的正態(tài)分布）測定值的正態(tài)分布對稱性對稱性:曲線以曲線以x = =這條直線為對稱軸這條直線為對稱軸. .表明測量數(shù)據(jù)具有明顯的向總體平表明測量數(shù)據(jù)具有明顯的向總體平均值均值集中的趨勢；集中的趨勢； 決定正態(tài)分布曲線的中心位置。決定正態(tài)分布曲線的中心位置。測量值出現(xiàn)正測量值出現(xiàn)正, ,負誤差的機會相等負誤差的機會相等. .單峰性單峰性:x = =時時, ,y值最大值最大, ,表現(xiàn)為一個峰形表現(xiàn)為一個峰形. .21y決定正態(tài)分布曲線的形狀；決定正態(tài)分布曲線的形狀

5、；越小，數(shù)據(jù)越集中，測定值落在越小，數(shù)據(jù)越集中，測定值落在 附近的概率越大。附近的概率越大。當當 ，確定，正態(tài)分布曲線的位置和形狀也確定，確定，正態(tài)分布曲線的位置和形狀也確定， ， 為正態(tài)分布的基本參數(shù)，為正態(tài)分布的基本參數(shù)，正態(tài)分布用正態(tài)分布用N N( ( , , 2 2) )表示表示 決定曲線的中心位置，代表數(shù)據(jù)集中趨勢，決定曲線的中心位置，代表數(shù)據(jù)集中趨勢， 集中程度與集中程度與 有關。有關。 -決定曲線形狀，決定曲線形狀，代表數(shù)據(jù)分散程度代表數(shù)據(jù)分散程度1 1= = 2 2 1 1 1 1， 2= 2因此因此, ,實際測量結果總是被限制在實際測量結果總是被限制在一定范圍內波動一定范圍內

6、波動, ,是有界的是有界的. .測量值遠離測量值遠離的概率小的概率小 , ,即大誤差的測量即大誤差的測量值出現(xiàn)機會少值出現(xiàn)機會少, ,極大誤差測量值出現(xiàn)機會極大誤差測量值出現(xiàn)機會微乎其微。微乎其微。有界性有界性:在沒有系統(tǒng)誤差存在下在沒有系統(tǒng)誤差存在下, ,為真值為真值. . 對于同一總體，隨機誤差的分布與測量值對于同一總體，隨機誤差的分布與測量值的分布相同，的分布相同，一般符合正態(tài)分布的規(guī)律和特點。一般符合正態(tài)分布的規(guī)律和特點。1.1.小誤差出現(xiàn)的概率大小誤差出現(xiàn)的概率大, , 大誤差出現(xiàn)的概率小大誤差出現(xiàn)的概率小, , 特大誤差概率極小特大誤差概率極小; ;2.2.正、負誤差出現(xiàn)的概率相等

7、正、負誤差出現(xiàn)的概率相等. .正態(tài)分布曲線定量意義正態(tài)分布曲線定量意義：某段曲線下的面積則為概率某段曲線下的面積則為概率. .（2）隨機誤差的正態(tài)分布）隨機誤差的正態(tài)分布小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率?。惶貏e小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率小；特別大的誤差出現(xiàn)的概率極小。大的誤差出現(xiàn)的概率極小。正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。（2）隨機誤差的正態(tài)分布）隨機誤差的正態(tài)分布總體標準偏差總體標準偏差 相同，相同，總體平均值總體平均值 不同不同總體平均值總體平均值 相同，總相同，總體標準偏差體標準偏差 不同不同原因：原因：1、總體不同、總體不同

8、2、同一總體，存在系統(tǒng)、同一總體，存在系統(tǒng)誤差誤差原因：原因：同一總體，精密度不同同一總體，精密度不同（3 3）標準正態(tài)分布）標準正態(tài)分布221( )2uf xuxue 橫坐標改用 表示橫坐標改用 表示221:()2uyue 即即標準正態(tài)分布曲線方程標準正態(tài)分布曲線方程正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線標準正態(tài)分布曲線，標準正態(tài)分布曲線，位置與形狀完全相同。位置與形狀完全相同。22222121)()(uueexfuy)(dd)()(xfuxxfu 任何一種正態(tài)分布（任何一種正態(tài)分布（, 2 2) )都可以通過都可以通過參數(shù)（參數(shù)（，）代換轉換為：）代換轉換為：標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布N（0 0，1 1）

9、。）。標準正態(tài)分布曲線下標準正態(tài)分布曲線下( (u從從+到到-)-)的面積的面積為同一總體的全部測定值或隨機誤差為同一總體的全部測定值或隨機誤差在這一區(qū)間出現(xiàn)的概率總和：在這一區(qū)間出現(xiàn)的概率總和：1)(duuuePuuud212221即即 同理，由標準正態(tài)分布曲線方程還同理，由標準正態(tài)分布曲線方程還可求得在無限多次測量中，可求得在無限多次測量中，某一范圍內測某一范圍內測量值或隨機誤差出現(xiàn)的機會（概率）量值或隨機誤差出現(xiàn)的機會（概率）的最的最終趨勢是多少終趨勢是多少. .00.10.20.30.4-4-3-2-10123468.3%95.5%99.7%u -3 -2 - 0 2 3 x- -3

10、-2 - + +2 +3 x y標準正態(tài)分布曲線標準正態(tài)分布曲線 N (0,1) 由于高斯方程的表達式較復雜，積分計算非由于高斯方程的表達式較復雜，積分計算非常麻煩，且不易求解常麻煩，且不易求解導出導出y y隨隨u u變化方程變化方程 令令 xu)(uy即標準正態(tài)方程即標準正態(tài)方程xudd xxfuud)(d)(某測量值和其對應的某測量值和其對應的u u在在各自微小區(qū)域內出現(xiàn)的各自微小區(qū)域內出現(xiàn)的概率應完全相等。概率應完全相等。 x 在在 區(qū)間區(qū)間, , 1xu查查 u= = 1 1 得得 P P =0.3413=0.3413 2 2 68.3%68.3% 三、三、隨機誤差區(qū)間概率隨機誤差區(qū)間

11、概率 隨機誤差在某一區(qū)間出現(xiàn)的概率隨機誤差在某一區(qū)間出現(xiàn)的概率, ,可通過可通過計算計算u值值, ,再查正態(tài)分布概率積分表再查正態(tài)分布概率積分表(p88(p88表表4-2),4-2),可求得可求得P P. .如：如：正態(tài)分布概率積分表（部分數(shù)值）正態(tài)分布概率積分表（部分數(shù)值）| u |面積面積| u 面積面積| u 面積面積| u 面積面積0.6740.25001.0000.34131.6450.45001.960 0.47502.0000.47732.5760.49503.0000.4987 0.50000.5000.19151.5000.43322.5000.4938隨機誤差出現(xiàn)的區(qū)間隨機

12、誤差出現(xiàn)的區(qū)間u（以（以 為單位）為單位）測量值出現(xiàn)的區(qū)間測量值出現(xiàn)的區(qū)間概率概率%（-1, +1)( -1 , +1 )68.3(-1.96, +1.96)( -1.96 , +1.96 )95.0(-2, +2)( -2 , +2 )95.5(-2.58, 2.58)( -2.58 , +2.58 )99.0(-3, +3)( -3 , +3 )99.7xu例例1-2 1-2 在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，某土壤在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，某土壤試樣中有機質的含量經多次測定，獲得總體試樣中有機質的含量經多次測定，獲得總體平均值為平均值為2.64%2.64%。若。若=0.1%=0.1%，求求分析結

13、果落在分析結果落在(2.64(2.640.20)%0.20)%區(qū)間的概率區(qū)間的概率; ;分析結果大于分析結果大于2.90%2.90%的概率的概率. .0 . 210. 020. 0 xu（1）解查表查表4-24-2：u= = 2.02.0 時，概率為：時，概率為：P P =2 =2 0.4773 = 0.955 0.4773 = 0.9556 . 2%10. 0%64. 2%90. 2 (2)xu查表，查表，P =P =0.49530.4953，所求概率為：所求概率為：0.5000-0.4953=0.00470.5000-0.4953=0.0047 =0.47% =0.47%0.000.100

14、.200.300.40-3-2-10123uyP=95.5%2.6 a=0.47%P + a = 1 P 置信度置信度a 顯著性水平顯著性水平有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理總體總體樣本樣本甲甲樣本容量樣本容量平均值平均值500500g g乙乙平行測定平行測定 3 3 次次1x平行測定平行測定 4 4 次次2x丙丙平行測定平行測定 4 4次次3x有限數(shù)據(jù)的處理：有限數(shù)據(jù)的處理：.,.,321321xxxxxx計算計算x估計估計 顯著性檢驗顯著性檢驗沒有系統(tǒng)誤差，沒有系統(tǒng)誤差， = T有系統(tǒng)誤差，有系統(tǒng)誤差， T數(shù)據(jù)集中趨勢和分散程度的表示數(shù)據(jù)集中趨勢和分散程度的表示數(shù)據(jù)集中趨勢的表示：數(shù)據(jù)集中趨勢的表示：對一物質客觀存在量為對一物質客觀存在量為T 的分析對象進行分析，得到的分析對象進行分析，得到n個個別測定值個個別測定值 x1、x2、x3、 xn，平均值平均值 Average niixnx11中位數(shù)中位數(shù)MedianMx有限次測量：測量值向有限次測量：測量值向平均值平均值 集中集中無限次測量：測量值向無限次測量：測量值向總體平均值總體平均值 集中集中xn,總體標準偏差與標準偏差的比較總體標準偏差與標準偏差的比較總體標準偏差總體標準偏差nxi2)（標準偏差標準偏差