數(shù)學(xué)建模通識課大作業(yè)題目

1、數(shù)學(xué)建模通識課大作業(yè)題目注意事項(xiàng):(1) 大型作業(yè)由學(xué)生組隊(duì)完成,每隊(duì)不超過3人；(2) 在17個題目中任選一題完成；(3) 答卷包括問題復(fù)述、建模假設(shè)與建立、模型求解與計(jì)算等部分組成，引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料) 必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出；(4) 答卷必須具有原創(chuàng)性，如發(fā)現(xiàn)抄襲和雷同，成績計(jì)0分；(5) 答卷以電子版的形式發(fā)給各任課老師指定的郵箱，交卷截止時間為2012年12月20日晚上9：30。題1：地下管線A地和B地之間準(zhǔn)備修建一條地下管線，B地位于A地正南面20km和正東30km交匯處，它們之間有東西走向巖石帶。地下管線造

2、價與地質(zhì)特點(diǎn)有關(guān)，圖1給出了整個地區(qū)的大致地質(zhì)情況，顯示可分為三條沿東西方向的地質(zhì)帶。ARSPC1C1C2C2C3B沙土沙土沙石沙石巖石圖1你的任務(wù)是建立一個數(shù)學(xué)模型，在給定三種地質(zhì)條件上每千米的修建費(fèi)用的情況下，確定最便宜的路線。圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜。而路徑ARSB過巖石和沙石的路徑最短，但是否是最好的路徑呢？你怎樣使你的模型進(jìn)一步適合于下面兩個限制條件的情況呢？1當(dāng)管線轉(zhuǎn)彎時，角度至少為140°。2管線必須通過一個已知地點(diǎn)（如P）。題2：電子游戲中的數(shù)學(xué)近年來，隨著電子游戲的日益普及，電子游戲業(yè)已成為橫跨信息技術(shù)和文化的重要產(chǎn)業(yè)。對電子游戲中的一些數(shù)學(xué)問題

3、進(jìn)行研究，成為數(shù)學(xué)界和相關(guān)人士的一個熱門話題。在某電子游戲中，玩家每次下注一元，由機(jī)器隨機(jī)分配給玩家五張撲克牌，然后允許玩家有一次換牌的機(jī)會，即可以放棄其中的某幾張牌，放棄的牌留下的空缺由機(jī)器在剩下的47張牌中再次隨機(jī)分配。玩家的獎金依據(jù)其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的獎金分配表：牌型獎金（元）同花大順（10到A）800同花順50四張相同點(diǎn)數(shù)的牌25滿堂紅（三張同點(diǎn)加一對）8同花5順子4三張相同點(diǎn)數(shù)的牌3兩對2一對高分對（J及以上）1其它0在上表中，玩家的牌型屬于某一類型且不屬于任何更高的類型，則贏得該牌型相應(yīng)的獎金。1、若某玩家采取以下策略，當(dāng)原始的牌型構(gòu)成一個順子或更高的牌型時，則

4、放棄換牌的機(jī)會；否則，除保留對子或三張相同點(diǎn)數(shù)的牌外，將手中其余的牌放棄，由機(jī)器再次隨機(jī)分配。根據(jù)上述游戲規(guī)則和策略，分析各類牌型出現(xiàn)的可能性，計(jì)算采取該策略能獲得的期望獎金金額。2、對上述策略進(jìn)行評價。3、是否存在更好的策略。若有，請與上述策略進(jìn)行比較。題3：確定學(xué)術(shù)論文重要性排序AB隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，每年都有大量的學(xué)術(shù)論文發(fā)表。如何衡量學(xué)術(shù)論文的重要性，成為學(xué)術(shù)界和科技部門普遍關(guān)心的一個問題。有一種確定學(xué)術(shù)論文重要性的方法是考慮論文被引用的狀況，包括被引用的次數(shù)以及引用論文的重要性程度。假如我們用有向圖來表示論文引用關(guān)系，“A引用B”可用下圖表示：ABCD丁EF現(xiàn)在有A、B、C、D、

5、E、F六篇學(xué)術(shù)論文，它們的引用關(guān)系如下：要求：1）設(shè)計(jì)一個依據(jù)上述引用關(guān)系排出六篇論文重要性順序的算法，并給出用該算法排得的結(jié)果。2）將算法推廣到任意N篇論文的情況。題4： 補(bǔ)考日程編排問題每年開學(xué)初，我校都要安排學(xué)生補(bǔ)考。一方面，補(bǔ)考涉及人數(shù)較多，專業(yè)廣泛，因此科目繁多；另一方面，參加同一門課程補(bǔ)考的學(xué)生來自全校各個專業(yè)，而且有些學(xué)生同時有多門課程需要補(bǔ)考。補(bǔ)考不同于平常的期末考試，只能利用周末進(jìn)行，并且考試周期不能拖得太長，假如由你來負(fù)責(zé)編排補(bǔ)考日程，請你建立相關(guān)模型，設(shè)計(jì)一種補(bǔ)考日程編排方案，使得任何一個學(xué)生的不同補(bǔ)考科目在時間上都不沖突，并且使整個補(bǔ)考周期盡可能短。1 假如同一個時間段

6、可供使用的考場個數(shù)沒有限制，問如何編排考試日程表才能使整個考試過程在最短的時間內(nèi)完成？ 2 假若能同時使用的考場數(shù)目是有限的（比如只有10個教室），問如何編排考試日程表才能使整個考試過程在最短的時間內(nèi)完成？3 附件中是今年考試的部分考生信息，請你利用附件中的數(shù)據(jù)編制考試日程表。題5: 兩種房貸還款方式有無好壞之分最近，關(guān)于個人購房按揭貸款的還款方式引起了社會各界的關(guān)注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人認(rèn)為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認(rèn)為銀行在隱瞞信息，賺消費(fèi)者的錢。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度

7、平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。1請你建立數(shù)學(xué)模型討論這兩種房貸還款方式是否有好壞之分；2是否可以設(shè)計(jì)一些其它房貸還款方式，并作討論；3給報(bào)社寫一篇稿子，介紹你的研究成果。題6: 高校教師升職加薪問題某民辦大學(xué)教師的職稱分為助教、講師、副教授、教授四個級別，其中助教從在讀博士生中聘用，當(dāng)取得博士學(xué)位后自動升為講師，而講師、副教授均需至少任職7年才可申請晉升上一級職稱。所有教師每年領(lǐng)取10個月（每年9月至次年6月）工資（年薪），助教為27000美元，講師為32000美元，副教授為40

8、000美元，教授為52000美元 。每年教師的工資都會增加，漲工資總是在9月初生效。若教師職稱得到及時晉升，則應(yīng)增部分等于未晉升而連續(xù)工作7年每年應(yīng)增部分的總合。得到及時晉升且工作滿25年以上的教授退休時的工資為64000美元。同樣職稱但具有更多經(jīng)驗(yàn)的教師應(yīng)比經(jīng)驗(yàn)較少的教師工資高一點(diǎn)，但工資增長隨任職年數(shù)增加而逐年下降。外校調(diào)入教師的在外校的教齡可折算為本校教齡，但最多只能按7年計(jì)。試分別考慮生活費(fèi)用有無增加兩種情況，設(shè)計(jì)一個公平合理的加薪規(guī)則。題7: 適當(dāng)換車真的省錢嗎？上海市出租車收費(fèi)制度在1998年進(jìn)行了調(diào)整，由原來5公里起步價14.4元、每公里車費(fèi)1.8元變?yōu)?公里起步價10元、每公里

9、2元，并且10公里以上每公里增收50%、特殊時段（23：006：00）每公里增收30% 。制度改變后，一些精明的乘客在行駛一定里程后，利用換車或讓司機(jī)重新計(jì)價的方法來節(jié)省車費(fèi)?？涩F(xiàn)在，這種乘客越來越少見了。請問適當(dāng)換車真的省錢嗎？建立數(shù)學(xué)模型解釋上述現(xiàn)象。題8: 銀行準(zhǔn)備金問題銀行各儲蓄所每天都需要有一定的現(xiàn)金作為準(zhǔn)備金，以供人們前來取款。如果儲蓄所準(zhǔn)備金太多，則對于銀行來說是一種損失（本來這部分現(xiàn)金可以貸款出去以賺去貸款利息），如果儲蓄所準(zhǔn)備金太少，則到時候有人要取錢時不夠了，則要損害銀行信譽(yù)，此時銀行可以到附近其他銀行的網(wǎng)點(diǎn)拆借，但是拆借的利息比較高。當(dāng)然沒有還有人來存款，存款的錢可以作為

10、取款人取的錢。存款人與取款人的人數(shù)以及金額都是相互獨(dú)立的。所以對于銀行來說，合適的銀行準(zhǔn)備金是銀行必須考慮的一個問題。下面以某個儲蓄所為例，考慮該儲蓄所每天該如何準(zhǔn)備現(xiàn)金。假設(shè)每5分鐘內(nèi)前來取款的人數(shù)服從參數(shù)為1的possion分布，取款金額服從參數(shù)為（1500，550）的正態(tài)分布，存款的人數(shù)服從參數(shù)為0.2的possion分布，存款金額服從參數(shù)為（2000，670）的正態(tài)分布。存款人和取款人的到來相互獨(dú)立。銀行的存款利率r1，貸款利率是r2，拆借利率是r3，r3>r2>r1。要考慮的問題是：1、該儲蓄所的最佳準(zhǔn)備金是多少？ 2、為了使至少95%的顧客都能取到錢，每天至少該準(zhǔn)備多少

11、現(xiàn)金？3、如果銀行要求取錢金額超過5萬必須提前一天預(yù)定，那樣準(zhǔn)備金又該如何準(zhǔn)備？題9:導(dǎo)彈發(fā)射問題1、我防空指揮部的雷達(dá)發(fā)現(xiàn)有一架來路不明的飛機(jī)，經(jīng)分析確認(rèn)是一架敵機(jī)后，即命令正處在指揮部上空處于同一高度進(jìn)行巡邏的我方戰(zhàn)斗機(jī)發(fā)射I型空對空追蹤導(dǎo)彈將其擊毀（追蹤導(dǎo)彈可針對目標(biāo)隨時自動調(diào)節(jié)追蹤方向）。假定雷達(dá)發(fā)現(xiàn)敵機(jī)時，該機(jī)正位于我防空指揮部正東N公里高空處，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里處的安全區(qū)逃竄（由于電子干擾的作用,敵機(jī)一旦進(jìn)入安全區(qū)后.導(dǎo)彈將失去追蹤目標(biāo)，無法將其擊毀）。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，確定導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的軌跡及發(fā)射I型空對空導(dǎo)彈擊毀敵機(jī)的條件。2、若當(dāng)時命令設(shè)在防空指揮部的地面導(dǎo)

12、彈基地發(fā)射II型地對空追蹤導(dǎo)彈截?fù)魯硻C(jī)，假定敵機(jī)始終距地面高度為h公里飛行，其他假定同情況1中所述，重新確定此時II型地對空導(dǎo)彈追蹤敵機(jī)的軌跡及擊毀敵機(jī)的條件。3、若敵機(jī)的飛行速度 v 、其位置 N 和追蹤導(dǎo)彈速度 u 均為給定的常數(shù)；針對情況1中敵機(jī)被導(dǎo)彈擊中的條件下，給出一個計(jì)算機(jī)編程的算法及相關(guān)程序，以計(jì)算出敵機(jī)被擊中的時刻以及當(dāng)時敵機(jī)的位置。 據(jù)此，在 v = 1 馬赫數(shù) ， N = 100公里 , u = 2馬赫數(shù) 時，利用上述的程序算出具體敵機(jī)被擊中的時刻以及當(dāng)時敵機(jī)被擊毀的位置。4、若追蹤軌跡確定時，導(dǎo)彈擊毀敵機(jī)還存在隨機(jī)性，導(dǎo)彈飛行的路程越長，其擊毀敵機(jī)的概率越小，試重新討論情

13、況1中的問題。題10: 考慮航天飛機(jī)上固定在飛機(jī)墻上供宇航員使用的水箱。水箱的形狀為在直圓錐頂上裝一個球體（像冰淇淋的形狀，見圖）。如果球體的半徑限定為正好6英尺，設(shè)計(jì)的水箱表面積為450平方英尺，x1為直圓錐的高，x2為球冠的高，請確定x1， x2的尺寸，使水箱容積最大，并討論模型的敏感性。 x1x2r =6英尺題11: 總部位于俄亥俄州阿克倫城的Firestone公司在南卡羅來納州佛羅倫薩有一座工廠，生產(chǎn)兩種類型的輪胎（SUV225和SUV205）。由于最近輪胎市場回暖，需求量很大。每批100個SUV225輪胎需要100加侖的復(fù)合塑料和5磅的橡膠，每批100個SUV205輪胎需要60加侖的

14、復(fù)合塑料和2.5磅的橡膠。每種類型的每個輪胎需要1美元的勞動成本。該制造商每周有660加侖的復(fù)合塑料、750美元的資金、300磅的橡膠。公司估計(jì)每個SUV225輪胎的利潤是3美元，每個SUV205輪胎的利潤是2美元。a) 為了最大化利潤，公司每周每種輪胎分別應(yīng)該生產(chǎn)多少？b) 假設(shè)該制造商有機(jī)會與一個輪胎銷售商簽訂一份供貨合同，向銷售商提供至少500個SUV225輪胎和至少300個SUV205輪胎，該制造商是否應(yīng)該簽這份合同？請給出支持你的建議的理由。c) 如果該制造商可以以50美元的總成本額外獲得1000加侖的復(fù)合塑料，他是否應(yīng)該購買這些復(fù)合塑料？請給出支持你的建議的理由。題12: 社會學(xué)家

15、發(fā)現(xiàn)了一種被稱為社會流傳的現(xiàn)象，指的是一條信息、一種技術(shù)創(chuàng)新或一種文化時尚在人群中的傳播。這樣的人群可以分為兩類：一類接受到該信息，另一類沒有。在一個人口數(shù)量已知的固定人群中，有理由假設(shè)流傳率與已接收到信息的人數(shù)和待接收的人數(shù)的乘積成正比。若X表示N個人的居民中已接收到信息的人數(shù)，那么關(guān)于社會流傳的數(shù)學(xué)模型為dX/dt = kX(N -X)，其中t表示時間，k是正常數(shù)。a) 解這個模型，并證明它的解是一條Logistic曲線。b) 什么時候此信息傳播最快？c) 最終會有多少人接受到此信息？ 題13: 云翔公司生產(chǎn)并直接向客戶銷售個人電腦。公司通過電話或公司的網(wǎng)站接受訂單。云翔公司在最近幾個月內(nèi)

16、將推出多種新款手提電腦模型。管理層意識到公司需要發(fā)展專長于新的手提電腦系統(tǒng)的技術(shù)支持人員。一個選擇是雇用新的員工并培訓(xùn)3個月，另一個選擇是讓現(xiàn)有的客戶服務(wù)專家接受2個月的培訓(xùn)。云翔公司估計(jì)59月對手提電腦專家的需求將從零增加到100名，每個月的需求如下：5月20,6月30,7月85,8月85，9月100。9月以后，云翔公司認(rèn)為保持100名專家便足以保證服務(wù)。無論是雇用新員工或是讓新員工代替參加培訓(xùn)的現(xiàn)有員工，一名新員工的年薪大約是27000美元。云翔公司認(rèn)為現(xiàn)有員工參加培訓(xùn)的，年薪大約是36000美元。3個月的培訓(xùn)費(fèi)用是每人1500美元，而2個月的培訓(xùn)費(fèi)用是每人1000美元。需要注意的是：培訓(xùn)

17、的持續(xù)時間意味著雇用和新的專家不能即時提供服務(wù)。并且現(xiàn)有員工中能夠參加培訓(xùn)的人數(shù)是有限的。云翔公司估計(jì)近幾個月可用的專家數(shù)如下：3月15,4月20,5月0,6月5，7月10。培訓(xùn)中心每個月均可開設(shè)新的3個月及2個月的培訓(xùn)班。但是，每月開始培訓(xùn)的學(xué)員人數(shù)（新雇用的和現(xiàn)有的）不得超過25人。云翔公司需要確定每個月開始3個月訓(xùn)練的新雇員以及開始2個月訓(xùn)練的現(xiàn)有員工數(shù)。其目標(biāo)是為了盡可能低的總費(fèi)用滿足59月的員工需求。即：使固定花費(fèi)和總訓(xùn)練費(fèi)用最少?，F(xiàn)在是1月份。云翔公司要制定一份雇用新員工的計(jì)劃，并確定在訓(xùn)練中新員工與現(xiàn)有員工如何混合安排。文中需包含并分析了下面幾項(xiàng)：a) 與雇用新員工以及將其訓(xùn)練成

18、手提電腦專家相關(guān)的固定工資與訓(xùn)練費(fèi)用。b) 與讓現(xiàn)有員工參加訓(xùn)練相關(guān)的固定費(fèi)用與訓(xùn)練費(fèi)用。要注意的是，當(dāng)該員工參加訓(xùn)練時，必須雇用新手來代替他。c) 對雇用及訓(xùn)練計(jì)劃提出建議，以使28月期間的工資和訓(xùn)練費(fèi)用最少。同時回答問題：為新手提電腦模型提供技術(shù)支持的總花費(fèi)是多少？9月份支付的總費(fèi)用比1月份高多少？ 題14: 你志愿參加了和平組織，被派往盧旺達(dá)進(jìn)行人道主義援助。你和世界衛(wèi)生組織的官員一起發(fā)現(xiàn)了一種新的殺手病毒漢坦病毒。如果只有一個病毒復(fù)制進(jìn)入人體，它就能迅速復(fù)制繁殖。事實(shí)上，該病毒的數(shù)目每小時翻番。人體免疫系統(tǒng)可能是相當(dāng)有效的，但是這種病毒隱藏在正常的細(xì)胞里。結(jié)果是，當(dāng)有1百萬個病毒復(fù)制在

19、身體里漂浮時人體免疫響應(yīng)才開始。免疫系統(tǒng)的第一個響應(yīng)是體溫升高，因此把病毒的復(fù)制率降低到每小時150%。發(fā)燒以及隨后的類似流感那樣的癥狀是這種病的第一個跡象。某些帶有這種病毒的人只有流感或重感冒的癥狀。假設(shè)是這樣的話，會導(dǎo)致致命的后果，因?yàn)閱慰棵庖唔憫?yīng)是不足以抗擊這種致命的病毒的。在最大的響應(yīng)下，僅靠免疫系統(tǒng)每小時只能殺死200 000個病毒復(fù)制。對一個已經(jīng)感染一個病毒復(fù)制的志愿者（在使用抗生素前）疾病的初始階段進(jìn)行建模。a) 要多長時間該病毒復(fù)制能啟動免疫系統(tǒng)的免疫響應(yīng)？b) 如果病毒復(fù)制的數(shù)目達(dá)到了10億個，那么病毒就不會停止復(fù)制。確定什么時間會發(fā)生這種情形。c) 當(dāng)病毒復(fù)制的數(shù)目達(dá)到了1萬億個時，人就會死亡。確定什么時間會出現(xiàn)這種情形。為了充分抗擊這