《數(shù)值計(jì)算》試卷庫(kù)證明題

1、第8頁(yè) 共8頁(yè)數(shù)值計(jì)算試卷庫(kù)證明題數(shù)值 計(jì)算 試 題 庫(kù) - 證明題1、 此題 10 分證明求積公式 2242 ( ) 0 23hhhf _ d_ f h f f h 具有三次代數(shù)精度，其中 h 是正常數(shù)。2、 5 分設(shè) _ B_ b ， 1 B 證明由公式 1 m m_ B_ b ， 0,1, m ，得到的序列 m_ 收斂于 _ 。3、 5 分證明計(jì)算 0 的切線法迭代公式為11( )2n nn_ _ ， 0,1, n4、10 分證明向量 _ 的范數(shù)滿足不等式12_ _ n _ (2)1 11_ _ _n 5、證明題此題 10 分設(shè) ) 2 )( 1 ( ) ( _ _ _ f ，證明對(duì)任意

2、的 _ 有：1 ) , 2 , 1 ( _ f .6、 (10 分) 證明: 方程組 1 211 23 2 13 2 13 2 1_ _ _ _ _ _ _ 使用 Jacobi 迭代法求解不收斂.7、10 分證明定積分近似計(jì)算的拋物線公式 ) ( )2( 4 ) ( ) ( b fb af a fba bd_ _ fba具有三次代數(shù)精度8、10 分設(shè)1寫(xiě)出解的 Newton 迭代格式 2證明此迭代格式是線性收斂的9、10 分設(shè) R=ICA，假如，證明：1A、C 都是非奇異的矩陣 2參考答案1、證明：此題 10 分1當(dāng) 1 f _ 時(shí)，左邊 44 2 1 23hh 右邊2 分2當(dāng) f _ _ 時(shí)

3、，左邊 40 2 1 0 23hh h 右邊4 分3當(dāng) 2f _ _ 時(shí)，左邊 32216 42 1 0 23 3h hh h 右邊 4當(dāng) 3f _ _ 時(shí)，左邊 3340 2 0 23hh h 右邊 5當(dāng) 4f _ _ 時(shí)，左邊5645h ，右邊 5444 162 0 23 3h hh h 左邊8 分所以，該求積公式具有三次代數(shù)精度。10 分2、5 分證明 由公式 1 m m_ B_ b 和 _ B_ b 兩式相減得 1 m m_ _ B _ _ 0mB _ _ 所以有： 0, ,( )m m_ _ _ _ m 3、5 分證明 因?yàn)橛?jì)算 0 等同于求方程20 _ 的正根， 令 2, 2 f

4、_ _ f _ _ ，代入切線法迭代公式得：211( )2 2nn n nn n_ _ _ _ ， 0,1, n 4、 證明題共 10 分證明1設(shè)j_ 是向量 _ 的分量，那么22 2 21ma_ni iii_ _ _ n _ ， 所以由向量范數(shù)的概念可知，結(jié)論成立。5 分 2由111 1ma_ni iii_ _ _ _n n 11ma_ni iii_ _ _ _ 所以結(jié)論成立。10 分 5、 證明題共 10 分證明:f (1, 2) = f (1) ndash; f (2)/ (1 ndash; 2)= 0 ndash; 0/ (-1)= 0, 對(duì)任意的 _ 有 f (2, _) = f (

5、2) ndash; f (_)/ (2 ndash; _)= 0 ndash; (_-1) (_-2)/ (2 ndash; _)= (_-1), 所以 f (1, 2, _) = f (1, 2) - f (2, _)/ (1 ndash; _)= 0 - (_-1)/ (1 ndash; _)= 1 6、 (10 分) 證明: 方程組 1 211 23 2 13 2 13 2 1_ _ _ _ _ _ _ 使用 Jacobi 迭代法求解不收斂.證明 Jacobi 迭代法的迭代矩陣為 0 5 .0 5 .01 0 15 .0 5 .0 0JG3 分JG 的特征多項(xiàng)式為 ) 25 .1 (5

6、.0 5 .01 15 .0 5 .0) det(2 JG I6 分JG 的特征值為 01 ， i 25 .12 ， i 25 .13 ，故 1 25 .1 ) ( JG ，因此 Jacobi 迭代法不收斂。10 分7、10 分證明：當(dāng) 1 ) ( _ f 時(shí)，公式左邊：a b d_ _ fba ) (公式右邊：a bba b 1 4 1 左邊=右邊1 分當(dāng) _ _ f ) ( 時(shí)左邊：2 22 2 2a bab_d_ba 右邊：224 2 2a bbb aaba b 左邊=右邊2 分當(dāng)2) ( _ _ f 時(shí)左邊：3 33 3 32a bab_d_ _ba 右 邊 ：3 )2( 4 3 32

7、 2 2a bbb aaba b 左 邊 = 右 邊 2分當(dāng)3) ( _ _ f 時(shí)左邊：4 44 4 43a bab_d_ _ba 右邊：4 )2( 4 4 43 3 3a bbb aaba b 左邊=右邊2 分當(dāng)4) ( _ _ f 時(shí)左邊：5 55 5 54a bab_d_ _ba 右邊：5) 5 4 6 4 5 (6 )2( 4 5 55 3 2 2 3 4 4 4 4a bb ab b a b a aa bbb aaba b 2 分故 ) (_ f 具有三次代數(shù)精度。1 分8、10 分證明：1因 ，故 ，由 Newton 迭代公式：3 分n=0,1,. 得 ，n=0,1,. 5 分2因迭代函數(shù) ，而 ，7 分又，那么10 分故此迭代格式是線性收斂的。1 分9、10 分證明：1因，所以 Indash;R 非奇異，因 Indash;R=CA，所以 C，A 都是非奇異矩陣3