楊輝三角與二項式定理實用教案

1、會計學(xué)1楊輝三角與二項式定理楊輝三角與二項式定理(dngl)第一頁，共19頁。復(fù)習(xí)(fx)二項式定理(dngl)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式(xngsh)的第k+1項為Tk+1=Cnkan-kbk第1頁/共19頁第二頁，共19頁。計算(j sun)(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表 n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性第2頁/共19頁第三頁，共19頁。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯(

2、mngxin)的規(guī)律？2）上下兩行有什么(shn me)關(guān)系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面(xi mian)的系數(shù)嗎?第3頁/共19頁第四頁，共19頁。每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1以外(ywi)的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第4頁/共19頁第五頁，共19頁。九章算術(shù)九章算術(shù)(ji zhn sun sh)楊輝楊輝(yn hu)第5頁/共19頁第六頁，共19頁。詳解九章算法詳解九章算法(sun f)中記載的表中記載的表第6頁/共19頁第七頁，共1

3、9頁。 展開式的二項式系數(shù)依次是：展開式的二項式系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看成是以可看成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當當 時，其圖象是右圖中的時，其圖象是右圖中的7個孤立點個孤立點6n第7頁/共19頁第八頁，共19頁。對稱性對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)(xsh)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象圖象(t xin)的對稱軸：的對稱軸：2nr 第8頁/共19頁第九頁，共19頁。增減增減(zn jin

4、)(zn jin)性與最大值性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于(yuy)(yuy)：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定knC1Cknkkn1第9頁/共19頁第十頁，共19頁。由由：2111nkkkn 二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間(zhngjin)(zhngjin)項取得最大值。項取得最大值。 21nk 可知，當可知，當 時，時，增減增減(zn jin)(zn jin)性與最大值性與最大值 第10頁/

5、共19頁第十一頁，共19頁。 因此因此, ,當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,中間一項的二項式中間一項的二項式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,中間兩項的二項式系數(shù)中間兩項的二項式系數(shù) 21Cnn21Cnn相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。增減增減(zn jin)(zn jin)性與最大值性與最大值 第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還

6、可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合這是組合(zh)(zh)總數(shù)公式總數(shù)公式 第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。例 證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)(j sh)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。C練習(xí)(linx)第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。.306014443418418145xxxCTT變式變式:若將若將“只有只有(zhyu)第第10項項”改為改為“第第10項項”呢？呢？求第五項項系數(shù)最大的展開式中只有第已知,10143nxx為偶數(shù)依題意 n,18,1012nn且解第15頁/共19頁第十六頁，共19頁。642075317217722107)21 (.aaaaaaaaaaaxaxaxaax則已知-2-10941093練習(xí)(linx)第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。(1)二項式系數(shù)二項式系數(shù)(xsh)的三個性質(zhì)的三個性質(zhì) (2) 數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想(sxing)：函數(shù)思想：函數(shù)思想(sxing) a 單調(diào)