2021-2022學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 15 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁2021-2022學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1直線的傾斜角是（ ）ABCD【答案】B【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（）ABCD【答案】A【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2、，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.3在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A12B32C36D37【答案】C【分析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.4已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（）A或B或15C5或D5或15【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.5已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）ABC2D4【答案】A【分析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.6已知的周長(zhǎng)

3、為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（）ABCD【答案】D【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由已知可得，且、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.7在四面體中，且，則等于（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.8已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（）A8B9C10D11【答案】B【分析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出

4、，再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.二、多選題9下列說法正確的是（）A設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面B設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面C設(shè)是兩個(gè)空間向量，則D設(shè)是三個(gè)空間向量，則【答案】AC【分析】直接利用空間向量的定義、數(shù)量積的定義，空間向量的應(yīng)用逐一判斷A、B、C、D的結(jié)論即可【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則一定共面，故A正確； 對(duì)于B：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則可

5、能共面也可能不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則與向量共線，與向量共線，則D錯(cuò)誤故選：AC10已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，則（）A直線與圓C相交B直線與圓C相離C點(diǎn)P到直線距離小于5D點(diǎn)P到直線距離大于1【答案】BC【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和B，再由圓上一點(diǎn)到直線距離的最大最小值即可判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】解：圓所以圓心為，半徑為因?yàn)椋灾本€的方程為：對(duì)A，圓心到直線的距離為，所以直線與圓C相離，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由選項(xiàng)A的分析知，直線與圓C相離，故B正確；對(duì)C，由選項(xiàng)A的分析知，圓心到直線的距離為，

6、所以圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值分別為和，因?yàn)椋渣c(diǎn)P到直線距離小于5，故C正確；對(duì)D，由選項(xiàng)C的分析知，圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，短軸長(zhǎng)等于，焦距為，過焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A橢圓的方程為B橢圓的離心率為CD【答案】AD【分析】求出、的值，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，將代入橢圓方程，可求得的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用橢圓的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于橢圓，由已知可得，則，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的離心率為，B

7、錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，易知點(diǎn)，將代入橢圓方程可得，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，故，D對(duì).故選：AD.12已知數(shù)列中，則下列說法正確的是（）AB是等比數(shù)列CD【答案】ABD【分析】先由分析出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：數(shù)列中，所以，即因?yàn)椋运运詳?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，均為以為公比的等比數(shù)列所以對(duì)A，故A正確；對(duì)B，由分析知，是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過對(duì)已知數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形整理，得到新的遞推公式，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列.三、填空題13已知空間向量，且，

8、則_.【答案】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，求出的值即可.【詳解】由已知可得，解得.故答案為：.14已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為_.【答案】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】解：直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立得：所以所以即解得：所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.15在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P滿足，則當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為_.【答案】【分析

9、】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為，半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以，解得：因?yàn)闄E圓的離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進(jìn)而求得面積的最值.四、雙空題16如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為，按此規(guī)律，則_，_.【答案】 【分析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，因?yàn)榉系炔顢?shù)列的定義且公差為所以，所以，

10、故答案為：，.五、解答題17已知圓的圓心為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出圓的半徑長(zhǎng)，結(jié)合圓心坐標(biāo)可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.【詳解】(1)解：圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：圓心到直線的距離為，因此，.18在成等差數(shù)列；成等比數(shù)列；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解.問題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且_.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可知數(shù)列是公比

11、為的等比數(shù)列，若選：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.【詳解】(1)由，當(dāng)時(shí)，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)由（1）得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.19如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.(1)求點(diǎn)C到平面的距離；(2)試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)平行，證明過程見解析.【分析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行的判定即

12、可求解.【詳解】(1)解：正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，所以，正三棱柱中，所以又因?yàn)檎庵?，?cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點(diǎn)C到平面的距離為.(2)與平面的位置，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示，因?yàn)檎庵膫?cè)面為矩形所以為的中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以為的中位線所以又因?yàn)槠矫?，且平面所以平?0已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【詳解】(1)三點(diǎn)共線，(2)得21如圖，在四棱錐中

13、，底面為直角梯形，平面平面，.(1)證明：平面；(2)已知，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析；(2).【分析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)得出直線與平面垂直，進(jìn)而得出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面(2)解：由（1）知，平面且所以、兩兩垂直因此以原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，設(shè)所以，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又， 所以，設(shè)平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，即設(shè)平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.22動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，請(qǐng)問點(diǎn)P能否為線段的中點(diǎn)，并說明理由.【答案】(1)(2)不能，理由見解析.【分析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程即可求解；（2）先假設(shè)點(diǎn)P能為線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，最后聯(lián)立直線與曲線進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【詳解】(1)解：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的