第二章恒定電場(chǎng)

1、第二章 恒定電場(chǎng)基本物理量 J J 歐姆定律J J 的散度E E 的旋度 基本方程 電位 邊界條件邊值問(wèn)題一般解法特殊解（靜電比擬）電導(dǎo)與接地電阻圖 2.0.2 恒定電場(chǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖基本概念： 電介質(zhì)中的靜電場(chǎng) 通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)與電流場(chǎng) 通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周?chē)娊橘|(zhì)中的靜態(tài)電場(chǎng)I 是通量,并不反映電流在每一點(diǎn)的流動(dòng)情況。 1.電流面密度2.1.2 恒定電場(chǎng)的基本物理量電流密度 電流密度是一個(gè)矢量，在各向同性線(xiàn)性導(dǎo)電媒質(zhì)中，它與電場(chǎng)強(qiáng)度方向一致。SJ dIS電流2.1.1電流強(qiáng)度2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流圖2.1.1 電流面密度矢量圖2.1.2 電流面密度AdtdqI 單位

2、時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面的電量，簡(jiǎn)稱(chēng)為電流。分布的體電荷以速度v v作勻速運(yùn)動(dòng)形成的電流。vJ2mA亦稱(chēng)電流密度 同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線(xiàn)密度分布； 交變電場(chǎng)的集膚效應(yīng)，即高頻情況下，電流 趨於表面分布，可用電流線(xiàn)密度表示。 媒質(zhì)的磁化，其表面產(chǎn)生磁化電流可用電 流線(xiàn)密度表示,如圖示；圖2.1.3 電流線(xiàn)密度及其通量工程意義：圖2.1.4 媒質(zhì)的磁化電流2. 電流線(xiàn)密度 mAvK分布的面電荷在曲面上以速度v v運(yùn)動(dòng)形成的電流。dlIln)(eK電流e e 是垂直于dl，且通過(guò)dl與曲面相切的單位矢量n分布的線(xiàn)電荷沿著導(dǎo)線(xiàn)以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流I = 。v 3、線(xiàn)電流2.1.3 歐姆定律的微分

3、形式 恒定電流場(chǎng)與恒定電場(chǎng)相互依存。電流J與電場(chǎng)E方向一致。 電路理論中的歐姆定律由它積分而得，即 U=RI 歐姆定律的微分形式。式中 為電導(dǎo)率，單位s/m（ 西門(mén)子/米）。EJ 電場(chǎng)是維持恒定電流的必要條件。可以證明圖2.1.6 J J與E E之關(guān)系4. 元電流的概念：元電流是指沿電流方向上一個(gè)微元段上的電流，即 。IdlKdsJdv,dlv,ds,dvdq vvv 在各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中，電位移矢量D D 線(xiàn)與電流密度J J 線(xiàn)方向是否一致？ 電流線(xiàn)密度 是否成立？ EK2.1.4 焦?fàn)柖傻奈⒎中问?導(dǎo)電媒質(zhì)中有電流時(shí)，必伴隨功率損耗。可以證明其功率的體密度為EJp（W/m ）3 焦耳定律

4、的微分形式RIUIP2 電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即（W） 焦耳定律的積分形式2.2 電源電勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng) 要想在導(dǎo)線(xiàn)中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場(chǎng)力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱(chēng)為電源。2.2.1 電源圖2.2.2 恒定電流的形成因此0dddlelellElElEE)(局外場(chǎng) Ee 是非保守場(chǎng)。 考慮局外場(chǎng)強(qiáng))(eEEJeE2.2.2 電源電動(dòng)勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng)設(shè)局外場(chǎng)強(qiáng)為 ，則電源電動(dòng)勢(shì)為)(VdlelE qeefE 電源電動(dòng)勢(shì)與有無(wú)外電路無(wú)關(guān)，它是表示電源本身的特征量。圖2.2.3 電源電動(dòng)勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng)2.3.1 恒定電場(chǎng)的基本方程

5、 2.3 恒定電場(chǎng)的基本方程 分界面上的銜接條件 邊值問(wèn)題 在恒定電場(chǎng)中0t00dVdVSJSJ散度定理恒定電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)，電流線(xiàn)是連續(xù)的。故 0 JtqdSSJ電荷守恒定律 恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)。2. E的旋度3. 恒定電場(chǎng)（電源外）的基本方程0dsSJ0delEEJ0 J0 E1. J J的散度恒定電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。 所取積分路徑不經(jīng)過(guò)電源，則 0)(0SElEddsl斯托克斯定理得0E2.3.2 分界面的銜接條件 說(shuō)明分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的。折射定律為2121tantan圖2.3.1 電流線(xiàn)的折射分界面上的銜接條件nntt2121JJEE 0dLlE

6、0dSSJ例2.3.1 兩種特殊情況分界面上的電場(chǎng)分布。由折射定理得2121tantan，則02解：a ) 媒質(zhì)1是良導(dǎo)體， m/s10571，媒質(zhì)2是不良導(dǎo)體, 。ms /1022土壤 它表明，只要 ，電流線(xiàn)垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。21b） 媒質(zhì)1是導(dǎo)體， 媒質(zhì)2是理想介質(zhì) 情況。 )(01)(020 001222nnJJJ 表明 1 導(dǎo)體表面是一條電流線(xiàn)。 ttEE21 表明 2 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定（動(dòng)態(tài)平衡下的）面電荷分布。 表明 3 電場(chǎng)切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。 nnnnnEDDJE2212222 0111nnJE 若 （理想導(dǎo)

7、體），導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，電流分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體不損耗能量。1ynxtEEeeE222導(dǎo)體周?chē)橘|(zhì)中的電場(chǎng)圖2.3.2 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面圖2.3.3 載流導(dǎo)體表面的電場(chǎng)2.3.3 恒定電場(chǎng)的邊值問(wèn)題分界面銜接條件nn222121 很多恒定電場(chǎng)問(wèn)題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問(wèn)題）。02拉普拉斯方程得000EEEJEE)(EJ常數(shù)由基本方程出發(fā)恒定電場(chǎng)中是否存在泊松方程？ 2.4 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬2.4.1 靜電比擬表2 兩種場(chǎng)對(duì)應(yīng)物理量 靜電場(chǎng))0(導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）E EE ED DJ JI q表1 兩種場(chǎng)所滿(mǎn)足的基本方程和重要關(guān)

8、系式 )(0導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）0 DEDSDdqSDEE 0EJ0202SdISJ靜電場(chǎng)nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 EE 00 J 兩種場(chǎng)各物理量所滿(mǎn)足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過(guò)對(duì)一個(gè)場(chǎng)的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個(gè)場(chǎng)的解。 兩種場(chǎng)的電極形狀、尺寸與相對(duì)位置相同（相擬）; 相應(yīng)電極的電壓相同;2.4.2 靜電比擬的條件 若兩種場(chǎng)中媒質(zhì)分布片均勻，只要分界面具有相似的幾何形狀，且滿(mǎn)足條件 時(shí)，則這兩種場(chǎng)在分界面處折射情況仍然一樣，相擬關(guān)系仍成立。2121rr 1. 靜電場(chǎng)便于計(jì)算 用靜電比擬方法計(jì)算恒定電場(chǎng)),(21221212 若

9、1為土壤, )(012為空氣, )(02則0III ,。2.4.3 靜電比擬的應(yīng)用圖2.4.1 靜電場(chǎng)與恒定電流場(chǎng)的鏡像法比擬靜電場(chǎng)2. 恒定電場(chǎng)便于實(shí)驗(yàn)?zāi)承╈o電場(chǎng)問(wèn)題可用恒定電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)?zāi)M固體模擬 （媒質(zhì)為固體，如平行板靜電場(chǎng)造型） 實(shí)驗(yàn)?zāi)M方法液體模擬 （媒質(zhì)為液體，如電解槽模擬）靜電場(chǎng)電極表面近似為等位面；工程上的實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置。工程近似 在兩種場(chǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)中，工程上往往采用近擬的邊界條件處理方法恒定電流場(chǎng)電極表面近似為等位面（ 條件 ）。電極媒質(zhì)2.5.1 電導(dǎo)的計(jì)算1. 直接用電流場(chǎng)計(jì)算 當(dāng)恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)邊界條件相同時(shí)，用靜電比擬法，由電容計(jì)算電導(dǎo)。ssLsLsddddJddUIUQ

10、GCsEsElEslEsD靜電系統(tǒng)的部分電容可與多導(dǎo)體電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)相互比擬。（自學(xué)）2.5 電導(dǎo)與接地電阻 2. 靜電比擬法設(shè)UIGdUI lEJEJ設(shè)UIGdI)(U SJEJE或CG即 例2.5.1 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長(zhǎng)度為 ,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，介電常數(shù)為 。l解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法設(shè)l2IJEl2IJI電導(dǎo)12RRl2UIGln絕緣電阻12RRl21G1Rln解法二 靜電比擬法由靜電場(chǎng)解得,ln12RRl2C則根據(jù)GC關(guān)系式得,ln12RRl2G同軸電纜電導(dǎo)12RRl21Rln絕緣電阻2112ln22RRRRlIdlIdUlE圖2.5.

11、1 同軸電纜橫截面例2.5.2 求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定 。0U,;00時(shí)時(shí)， 01222200U,0 方程通解為 ，代入邊界條件，可得21CC電流密度eEJ0U電流1200ln)()(21RRhUhdUdISRReeSJ電導(dǎo))(lnmSRRhUIG120eeE00,)(UU電位函數(shù)解：取圓柱坐標(biāo)系， ，邊值問(wèn)題：)(圖2.5.2 弧形導(dǎo)電片1. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場(chǎng)可與無(wú)限大區(qū)域 的孤立圓球的電流場(chǎng)相似。)(2.5.2 接地電阻圖2.5.3深埋球形接地器 接地電阻 安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法2r4IJI解法二 靜電比擬法24rIJEaIdrrIUa442aR41GC,a4C,a4GaR412. 直立管形接地器解： 考慮地面的影響，可用鏡像法。實(shí)際電導(dǎo),212GUIG即dl 4l21Rln,4ln4dllC 由靜電比擬法 圖2.5.4 直立管形接地器 )(lndl2dl4l4G則,GC3. 非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖2.5.5 非深埋的球形接地器為保護(hù)人畜安全起見(jiàn)OUU （危險(xiǎn)電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險(xiǎn)區(qū)。00U2IbX相應(yīng)為危險(xiǎn)區(qū)半徑2.5