蘇教版高中數(shù)學(xué) 必修1 第2章 2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題 學(xué)案（Word版含答案）

1、2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.3.會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假導(dǎo)語同學(xué)們，生活中，我們經(jīng)常聽到“全體起立，所有人到操場集合”，也有“南使孤帆遠(yuǎn)，東風(fēng)任意吹”這種體現(xiàn)出任意的句子的詩情畫意；我們還經(jīng)常聽到“有的同學(xué)考上了清華大學(xué)，有的同學(xué)沒有交作業(yè)”，還有“我該如何存在”這種拷問心靈的歌詞而這里出現(xiàn)了一些在我們數(shù)學(xué)中非常重要的量詞，“全體、所有的、任意的、有的、存在”等，今天我們就對含有這些量詞的命題展開討論一、全稱量詞命題與存在量詞命題的識別問題下列語句是命題嗎？比較(

2、1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？(1)x3；(2)2x13；(3)對所有的xR，x3；(4)存在一個xR，使2x13.提示語句(1)(2)中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，所以它們不是命題語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“所有的”對變量x進行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個”對變量x進行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題知識梳理全稱量詞命題存在量詞命題量詞所有、任意、每一個存在、有的、有一個符號命題含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題一般形式xM，p(x)x

3、M，p(x)注意點：(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中的所有的元素都具有某種性質(zhì)的命題；存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個元素具有某種性質(zhì)的命題(2)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補充出來例1判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用量詞符號“”或“”表述下列命題(1)對任意xx|x1,3x40成立；(2)對所有實數(shù)a，b，方程axb0恰有一個解；(3)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(4)某個四邊形不是平行四邊形解(1)全稱量詞命題，表示為xx|x1,3x40.(2)全稱量詞命題，表示為a，bR，方程axb0恰有一解(3)存在量詞命

4、題，表示為xZ，x既能被2整除，又能被3整除(4)存在量詞命題，表示為xy|y是四邊形，x不是平行四邊形反思感悟判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達的意義判斷，同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達命題跟蹤訓(xùn)練1判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題(1)凸多邊形的外角和等于360；(2)矩形的對角線不相等；(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；(4)有些實數(shù)a，b能使|ab|a|b|；(5)方程3x2y10有整數(shù)解解(1)可以改為所有的凸多邊形的外角和都

5、等于360，故為全稱量詞命題(2)可以改為所有矩形的對角線都不相等，故為全稱量詞命題(3)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題(4)含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題(5)可改寫為存在一對整數(shù)x，y，使3x2y10成立，故為存在量詞命題二、含量詞命題的真假判斷例2判斷下列命題的真假(1)xZ，x30.解(1)因為1Z，且(1)311，所以“xZ，x30”是假命題反思感悟判斷一個命題為真命題應(yīng)給出證明，判斷一個命題為假命題只需舉出反例，具體而言：(1)要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合內(nèi)找到一個元素，使命題為真即可；否則命題為假(2)要判定一個全稱量詞命題為真，必須

6、對給定集合中的每一個元素，命題都為真；但要判定一個全稱量詞命題為假，只要在給定的集合中找到一個元素，使命題為假跟蹤訓(xùn)練2試判斷下列命題的真假：(1)xR，x212；(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)任何一條直線都與x軸有交點；(3)存在一對整數(shù)x，y，使得2x4y6.解(1)取x0，則x2112，所以“xR，x212”是假命題(2)與x軸平行的直線與x軸無交點，所以該命題為假命題(3)取x3，y0，則2x4y6，故為真命題三、由含量詞命題的真假求參數(shù)的范圍例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命題p：“xB，xA”是真命題，求m的取值范圍解由于命題p：“xB，xA”是真命題，所以BA，B，所以

7、eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)解得2m3.延伸探究1把本例中命題p改為“xA，xB”，求m的取值范圍解p為真，則AB，因為B，所以m2.所以eq blcrc (avs4alco1(2m15，,m2)或eq blcrc (avs4alco1(22m15，,m2，)解得2m4.2把本例中的命題p改為“xA，xB”，是否存在實數(shù)m，使命題p是真命題？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由解由于命題p：“xA，xB”是真命題，所以AB，B，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)解得m，所以不存在實數(shù)m，使

8、命題p是真命題反思感悟依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍問題的求解方法(1)首先根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意(2)其次根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍跟蹤訓(xùn)練3若命題“xR，x24xa0”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍解命題“xR，x24xa0”為真命題，方程x24xa0存在實數(shù)根，則(4)24a0，解得a4.1知識清單：(1)全稱量詞命題、存在量詞命題的概念(2)含量詞的命題的真假判斷(3)依據(jù)含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍2常見誤區(qū)：有些命題省略了量詞；全稱量詞命題強調(diào)“整體、全部”，存在

9、量詞命題強調(diào)“個別、部分”1下列命題中是存在量詞命題的是()A任何一個實數(shù)乘以0都等于0B任意一個負(fù)數(shù)都比零小C每一個正方形都是矩形D存在沒有最大值的二次函數(shù)答案D解析D選項是存在量詞命題2下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A每個二次函數(shù)的圖象都開口向上B存在一條直線與已知直線不平行C對任意實數(shù)a，b，若ab0，則abD存在一個實數(shù)x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量詞命題，故應(yīng)排除；對于A，二次函數(shù)yax2bxc(a0”用“”寫成存在量詞命題為_答案x0解析存在量詞命題“存在集合M中的元素x，使p(x)成立”可用符號簡記為“xM，p(x)”4若一次函數(shù)ykx2(xR)

10、的圖象恒過第三象限，則實數(shù)k的取值范圍為_答案k|k0解析一次函數(shù)ykx2的圖象過點(0,2)，若恒過第三象限，則k0.1下列命題是“xR，x23”的另一種表述方式的是()A有一個xR，使得x23B對有些xR，使得x23C任選一個xR，使得x23D至少有一個xR，使得x23答案C解析“”表示“任意的”2(多選)下列命題是全稱量詞命題的是()A任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)B有的菱形是正方形C梯形有兩邊平行DxR，x210答案AC解析選項A中的命題含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題，選項C中，“梯形有兩邊平行”是全稱量詞命題3(多選)下列命題中是存在量詞命題的是()A有些自然數(shù)是偶數(shù)B正方形是菱形C

11、能被6整除的數(shù)也能被3整除D存在xR，使得|x|0答案AD解析選項A是存在量詞命題；選項B可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；選項C可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而選項D是存在量詞命題4下列命題中是假命題的是()AxR，|x|0 BxR,2x101CxR，x30 DxR，x210答案C解析當(dāng)x0時，x30，故選項C為假命題5下列命題中既是全稱量詞命題又是真命題的是()AxR,2x10B若2x為偶數(shù)，則xNC菱形的四條邊都相等D是無理數(shù)答案C解析A項，是全稱量詞命題，但不是真命題，故A不正確；B項，是假命題，也不是全稱量詞命題，故B不正確；C項，

12、是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；D項，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確6已知命題p：xR，x22xa0.若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa1 Ba0對xR恒成立，所以必有44a0，解得a1.7下列命題，是全稱量詞命題的是_，是存在量詞命題的是_(填序號)正方形的四條邊相等；有兩個角是45的三角形是等腰直角三角形；正數(shù)的平方根不等于0；至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)答案解析是全稱量詞命題，是存在量詞命題8若“x1,2，xa0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)解析由題意得命題“x1,2，xa0”為真命題，即(xa)min0，1a0，a1.9判斷下列命題的真假(1)每一條線

13、段的長度都能用正有理數(shù)來表示；(2)存在一個實數(shù)x，使得等式x2x80成立解(1)假命題，如邊長為1的正方形，其對角線的長度為eq r(2)，eq r(2) 就不能用正有理數(shù)表示(2)假命題，方程x2x80的判別式310，故方程無實數(shù)解10判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性(1)對所有的正實數(shù)t，eq r(t)為正且 eq r( t)0；(4)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等解(1)為全稱量詞命題，且為假命題，如取t1，則eq r(t)0.(3)為存在量詞命題，且為真命題，如取實數(shù)對(2,0)，則3x4y50成立(4)為全稱量詞命題，且為真命題11(多選)

14、下列命題中正確的是()AxR，x0B至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)Cxx|x是無理數(shù)，x5是無理數(shù)D存在xR，使得x212x答案ABC解析A中，xR，x0，正確；B中，至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，正確，例如數(shù)1滿足條件；C中，xx|x是無理數(shù)，x5是無理數(shù)，正確，例如x；D中，x22x1(x1)20，錯誤12已知命題p：xR，x24xa0，若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A0a4Ca0 Da4答案B解析p是假命題，方程x24xa0沒有實數(shù)根，即164a4.13能夠說明“存在兩個不相等的正數(shù)a，b，使得abab”是真命題的一組有序數(shù)對(a，b)為_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,3)(答案不唯一)解析存在兩個不相等的正數(shù)a，b，如aeq f(1,2)，beq f(1,3)，此時abab是真命題14已知命題p：“xR，(a3)x10”是真命題，則實數(shù)a的取值集合是_答案a|a3，aR解析因為“xR，(a3)x10”是真命題，所以關(guān)于x的方程(a3)x10有實數(shù)解，所以a30，即a3，所求實數(shù)a的取值集合是a|a3，aR15已知Ax|1x2，命題“xA，x2a0”是真命題的一個充分不必要條件是()Aa4 Ba4Ca5 Da5答案C解析當(dāng)該命題是真命題時，只需a(x2)max，