公開課：抽象函數(shù)專題

1、高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用補(bǔ)充專題一：抽象函數(shù)制作： 八仙中學(xué) 朱 俊合作軟件： 幾何畫板 數(shù)學(xué)編輯器第一輪復(fù)習(xí)的策略： 1.全面復(fù)習(xí)，突出重點(diǎn) 全面、系統(tǒng)地掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，深刻理解基本概念，正確掌握定理、原理、法則、公式，并形成記憶、形成技能；把相關(guān)的知識(shí)相連結(jié)，融會(huì)貫通、著眼聯(lián)系、互相滲透、靈活應(yīng)用2.夯實(shí)基礎(chǔ)，提煉方法 數(shù)學(xué)思想和方法的是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解；強(qiáng)化對(duì)通性通法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，淡化特殊的技巧，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的掌握。 3.加強(qiáng)聯(lián)系、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 加強(qiáng)課本上各知識(shí)點(diǎn)

2、的聯(lián)系，對(duì)知識(shí)系統(tǒng)化網(wǎng)絡(luò)化，加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，避免簡單的重復(fù)和機(jī)械的記憶，把所學(xué)的知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)化，形成體系，基本達(dá)到綜合、靈活應(yīng)用的水平。抽象函數(shù)如水無形，卻處處存在！抽象函數(shù)在數(shù)學(xué)教材中并沒有給出具體的概念和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)問題的解決方法，但是在高考中卻經(jīng)常存在，且以多種考察形式出現(xiàn)，所以對(duì)抽象函數(shù)歸納和補(bǔ)充復(fù)習(xí)對(duì)于使函數(shù)知識(shí)系統(tǒng)化網(wǎng)絡(luò)化尤為重要。抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征。例如蘋果、香蕉、梨、葡萄、桃子等，它們共同的特性就是水果。得出水果概念的過程，就是一個(gè)抽象的過程。要抽象，就必須進(jìn)行比較，沒有比較就無法找到在本質(zhì)上共同的部分。一. 抽象

3、數(shù)學(xué)中我們通過把基本函數(shù)的共同特性抽取得出來，且沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。例如：f(x1x2)f(x1)f(x2)是正比例函數(shù)型抽象函數(shù).抽象函數(shù)沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與大學(xué)高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，從而也就成為了高考中的一個(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)。大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得。由于這類問題可以全面考查對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現(xiàn)。二.抽象函數(shù)1滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函數(shù)型抽象函數(shù)2

4、滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)3滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù) 4滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的冪函數(shù)型抽象函數(shù) 抽象函數(shù)往往有它所對(duì)應(yīng)的具體的函數(shù)模型： 當(dāng)然，也有的時(shí)候并沒有我們比較熟悉的函數(shù)模型，而是新定義的一種函數(shù)。抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法（如賦值法，圖像性質(zhì)法、恒等變形等）。高考題和平時(shí)的模擬題中經(jīng)常出 現(xiàn) 。 抽象性較強(qiáng)；綜合性強(qiáng)； 靈活性強(qiáng)； 難度大。 沒有具體給出函數(shù)解析式但給出某些函數(shù)特性或相應(yīng)條件的函數(shù)三.高考中的抽象函數(shù)概念題型特點(diǎn)解題思路

5、2014年陜西數(shù)學(xué)高考題（理）四.抽象函數(shù)問題的解決策略解答抽象函數(shù)題目的基礎(chǔ)是熟悉函數(shù)的基本知識(shí)。如果連基本的函數(shù)知識(shí)都沒有掌握，解決抽象函數(shù)問題只能是空談。具體說，學(xué)好函數(shù)要掌握常見函數(shù)的性質(zhì)。例如，中學(xué)涉及的函數(shù)性質(zhì)一般有單調(diào)性、奇偶性、有界性（最值）、對(duì)稱性及周期性；常見的基本函數(shù)有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)（ ）等.1.特殊值法特殊值法是處理抽象函數(shù)選擇題的有力方法。根據(jù)抽象函數(shù)具有的性質(zhì)，選擇一個(gè)熟悉的函數(shù)作為特殊值代入驗(yàn)證，可以解決大部分選擇題。（1）求證： ；（2）求證：為偶函數(shù)；例題1、設(shè)函數(shù) （，且任意實(shí)數(shù)滿足），對(duì)證明

6、：（1）令再令（2）令再令，即為偶函數(shù)。2.圖像性質(zhì)法抽象函數(shù)雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質(zhì)圖象直接來解題。【解析】 （圖解法）據(jù)題設(shè)條件作 y=f (x)草圖(右). 在圖中找出 f(x)與x異號(hào)的部分,可以看出 x f(x) 0的解集為 x|0 x 3或 -3 x 0，選D. 【例2】 若奇函數(shù) f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，又 f (-3)=0，則 x| x f(x) 3 或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或 x 3或 x -3 D. x|0 x 3或 -3 x 0【解題反思】 f (x)是個(gè)抽象函數(shù)，千萬不要去想 f (x)的解析式. 思維取向不能先考慮一般，而是在

7、一些特殊條件上“不擇手段”.2022年7月12日163.遞推法解決抽象函數(shù)的方法和技巧多種多樣，除了合理賦值，整體思考，借助特殊點(diǎn)，還可以利用遞推式法來逐步遞推來求解，有的時(shí)候需要運(yùn)用多種方法和手段.2022年7月12日17分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出 （T為非零常數(shù)）則 為周期函數(shù)，且周期為T。例3、設(shè)定義在R上且對(duì)任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。2022年7月12日18 證明：已知得由（3）得由（3）和（4）得上式對(duì)任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。2函數(shù) f(x)滿足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，則 f(99)（ ）13C.22D.13A13B2C課內(nèi)練習(xí)1. 設(shè) 定義在(0,+)上的增函數(shù),且則 03.鑒于時(shí)間關(guān)系和所復(fù)習(xí)的進(jìn)度本節(jié)課就講這些。關(guān)于抽象函數(shù)的內(nèi)容還有很多，希望大家今后善于思考、善于積累，學(xué)習(xí)取得大得進(jìn)步！內(nèi)容小結(jié) 以上列舉了求解抽象型函數(shù)問題的常規(guī)解題思想，當(dāng)然對(duì)于用常規(guī)思想難以解決的 數(shù)學(xué)問題，若利