自動(dòng)控制理論：8第八章離散控制系統(tǒng)-1

1、1第八章采樣控制系統(tǒng)第8章 采樣控制系統(tǒng)8-1 采樣過(guò)程與采樣定理8-7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8-2 保持器8-3 差分方程8-4 z變換8-5 脈沖傳遞函數(shù)8-6 線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析返回主目錄3基 本 要 求正確理解采樣過(guò)程，采樣定理，信號(hào)復(fù)觀和零階保持器的作用, 了解采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。Z變換和Z反變換，熟練掌握幾種典型信號(hào)的Z變換和通過(guò)部分分式分解進(jìn)行反變換, 了解用Z變換法解差分方程的主要步驟和方法。返回子目錄4 正確理解脈沖傳遞函數(shù)的概念，熟練掌握簡(jiǎn)單采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算方法, 掌握典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式。熟練掌握Z(yǔ)域穩(wěn)定性

2、的判別方法。熟練掌握采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法，正確理解終值定理的使用條件、積分環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的型別的關(guān)系。5圖8-1 機(jī)載火力控制系統(tǒng)原理圖基本概念信號(hào)的劃分連續(xù)信號(hào)：時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的信號(hào)離散信號(hào)：在時(shí)間上離散的脈沖序列數(shù)字信號(hào)：數(shù)字化的離散信號(hào)，即幅值經(jīng)過(guò)量化編碼。如二進(jìn)制代碼6采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖7圖8-2 采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖脈沖控制器被控對(duì)象保持器反饋環(huán)節(jié)r(t)e(t)c(t)e*(t)-T88-1 采樣過(guò)程與采樣定理一、采樣過(guò)程將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)的過(guò)程該過(guò)程可以看成是一個(gè)信號(hào)的調(diào)制過(guò)程，如圖8-3 所示，其中載波信號(hào) 是一個(gè)周期為T，寬度為 )，的脈沖序列，如圖8-

3、3（b）所示。幅值為幅值正比于采樣瞬時(shí)值的脈沖序列，如圖8-3（c）所示。 調(diào)制后得到的采樣信號(hào)是一個(gè)周期為T，寬度為返回子目錄(9圖8-3 信號(hào)的采樣過(guò)程10實(shí)現(xiàn)上述采樣過(guò)程的裝置稱為采樣開關(guān) 可用圖8-3（d）所示的符號(hào)表示。（8-1）由于載波信號(hào)是周期函數(shù)，故可以展成如下Fourier級(jí)數(shù)（8-2）11則采樣信號(hào) 可以表示為（8-4）（8-3）其中， 為采樣頻率，F(xiàn)ourier系數(shù) 由下式給出12 若連續(xù)信號(hào)的Fourier變換為 ，則采樣信號(hào)的Fourier變換為連續(xù)信號(hào) 與離散信號(hào) 的頻譜曲線如圖8-4所示。 （8-5）13圖8-414香農(nóng)（Shannon）采樣定理 若存在一個(gè)理想的

4、低通濾波器，其頻率特性如圖8-5所示，便可以將采樣信號(hào)完全恢復(fù)成原連續(xù)信號(hào)。由此可得如下著名的 ： 圖8-5香農(nóng)（Shannon）采樣定理15如果采樣頻率 滿足以下條件式中 為連續(xù)信號(hào)頻譜的上限頻率 則經(jīng)采樣得到的脈沖序列可以無(wú)失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)。（8-6）16二、理想采樣過(guò)程為了簡(jiǎn)化采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述，引入如下理想采樣開關(guān)的概念 。載波信號(hào) 可以近似成如下理想脈沖序列（ ）（8-7）17再設(shè)當(dāng) 時(shí)， 則采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述為 此時(shí)，采樣過(guò)程如圖8-6所示。 理想采樣開關(guān)的輸出是一個(gè)理想脈沖序列。 （8-8）18圖8-6 理想采樣開關(guān)的采樣過(guò)程19 同樣， 可以展成如下Fourier級(jí)數(shù) 其

5、中（8-10）則有（8-11）和（8-12）20圖8-7 連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)的頻譜21注 意 ： 上述香農(nóng)采樣定理要求滿足以下兩個(gè)條件： 頻譜的上限頻率是有限的； 存在一個(gè)理想的低通濾波器。但可以證明理想的低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，在實(shí)際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來(lái)代替理想的低通濾波器； 228-2 保持器信號(hào)的恢復(fù)是指將采樣信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過(guò)程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過(guò)程的裝置稱為保持器。 可將展成如下泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，（8-13）返回子目錄23各階導(dǎo)數(shù)的近似值 由此類推，計(jì)算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知n+1個(gè)采樣時(shí)刻的瞬時(shí)值。若式（8-13）的右邊只取前n+1項(xiàng)，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

6、（8-14）24圖8-8 信號(hào)的采樣與保持過(guò)程零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （8-16）25零階保持器的輸入輸出特性t0e*(t)T3T5Tt0eh(t)T3T5T零階保持器e*(t)eh(t)圖8-9 零階保持器的輸入輸出特性零階保持器的單位脈沖響應(yīng)為26t10gh(t)Tt10gh(t)T-1它是一個(gè)高度為1，持續(xù)時(shí)間為T的矩形方波，可以分解為兩個(gè)階躍函數(shù)疊加圖8-9 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)27上式即是零階保持器的 (8-20)傳遞函數(shù)其拉氏變換28零階保持器的頻率特性為29 相頻特性為(8-22)(8-23)其幅頻特性為30零階保持器的頻率特性曲線如圖8-9所示，對(duì)比圖8-4可知零階保持器

7、是一個(gè)低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號(hào)的主頻譜分量通過(guò)外，還允許部分高頻分量通過(guò)。31圖8-9 零階保持器的頻率特性曲線328-3 z變換與z反變換一、z變換連續(xù)信號(hào) 經(jīng)采樣后得到的脈沖序列為對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換，得（8-25）（8-26）返回子目錄33引入一個(gè)新的復(fù)變量將式上式代入式（8-26）可得 z變換的定義式如下稱 為 的z變換，記作 或 由此可看出 是關(guān)于復(fù)變量 的冪級(jí)數(shù) 。（8-28）34例8-1 求單位脈沖信號(hào)的z變換。 解：設(shè) ，則 由于 在時(shí)刻 的脈沖強(qiáng)度為1，其余時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度均為零，所以有35例8-2 求單位階躍信號(hào)的z變換。 解： 設(shè) ，則 該

8、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，在該收斂域內(nèi)，上式可以寫成如下閉合形式36例8-3 求單位斜坡信號(hào)的z變換。 設(shè) ，則上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得上式兩邊同乘 ，便得單位斜坡信號(hào)的z變換 解：37例8-4 求指數(shù)函數(shù)的z變換。解：設(shè) ，則38例8-5設(shè) ，求 的z變換。解：上式兩邊求Laplace反變換，得再由例8-2和例8-4有39注意：不能直接將 代入 來(lái)求 ，因?yàn)槭轻槍?duì)采樣信號(hào) 進(jìn)行z變換。40二、z變換的基本定理其中 和 為任意實(shí)數(shù)。1線性定理：（8-30）若 和 z變換為 和 ，則41證明：422實(shí)數(shù)位移定理若 的z變換為 ，則（8-31）（8-32）43證明：證明式（8-31）由于

9、當(dāng) 時(shí)， ，所以有44證明式（8-32）453復(fù)位移定理已知 的z變換函數(shù)為 ，則證明：464Z域尺度定理若已知 的z變換函數(shù)為 ，則證明：其中， 為任意常數(shù)。 （8-34）47三、z反變換z反變換是z變換的逆運(yùn)算。其目的是由象函數(shù) 求出所對(duì)應(yīng)的采樣脈沖序列 （或 ），記作 （8-35） z反變換只能給出采樣信號(hào) ，而不能給出連續(xù)信號(hào) 。 注意481 部分分式法若象函數(shù) 是復(fù)變量z的有理分式，且 的極點(diǎn) 互異，則 可展成如下形式：上式兩邊同乘z，再取z反變換得（8-36）（8-37）（8-38）49例8-6 已知z變換函數(shù)求其z反變換。50解：首先將 展成部分分式 512 長(zhǎng)除法對(duì)比式（8-29）可知 若z變換函數(shù) 是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將 展成 的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即（8-40）（8-41）52例8-7 已知z變換函數(shù)為求其z反變換。53解：由運(yùn)用長(zhǎng)除法得由此得于是脈沖序列可以寫成543 留數(shù)計(jì)算法由z變換的定義可知（8-43）55設(shè) 的極點(diǎn)為 ，則包圍了的所有極點(diǎn) （8-48）56例8-8 已知z變換函數(shù)為試用圍線積分方法求z反變換。57解：上式有兩個(gè)極點(diǎn) 和 ，且 所以58四 初值定理和終值定理1 初值定理： 設(shè) 的z變換為 ，并且有極限 存在， 則 （8-49 ）592 終值定理： 設(shè) 的z變換為 ，且 的極點(diǎn)均在z平面的單位圓內(nèi)，則（8-50）60五