初高中銜接教材之--因式分解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)二、因式分解2-1因式與倍式 如同因子與倍數(shù)的概念，如果代數(shù)式A可以寫成代數(shù)式B與代數(shù)式C的乘積，即AB C。此時(shí)，我們說B與C是A的因式，而A是B與C的倍式。例如：由，可知與皆為的因式，而為與的倍式；由，可知與皆為的因式，而為與的倍式。下面就讓我們先從多項(xiàng)式的除法來認(rèn)識(shí)因式與倍式?！径囗?xiàng)式的除法】 413）58 52 6在小學(xué)時(shí)，我們會(huì)以下列的長(zhǎng)除法（直式算法）來求出58除以13的商數(shù)為4，余數(shù)6：同時(shí)，我們也知道：5813 46類似于自然數(shù)的除法，多項(xiàng)式的除法運(yùn)算也

2、有直式算法（長(zhǎng)除法）；為了簡(jiǎn)化計(jì)算，也常使用分離系數(shù)法。事實(shí)上，這兩種方法的差別在于計(jì)算過程中，有沒有將文字符號(hào)寫出來而已?！痉独?】求的商式及余式?！窘狻?方法一：直式算法 方法二：分離系數(shù)法 x3x1 ）x24x2 x2x 3x2 3x3 1 1311 ）142 11 32 33 1x (x1)3 (x1) 答：商式為，余式為。在自然數(shù)的除法，我們有下列的規(guī)則： 被除數(shù) 除數(shù) 商數(shù)余數(shù)，其中，商數(shù)和余數(shù)為非負(fù)整數(shù)，且余數(shù)小于除數(shù)。同樣的，在多項(xiàng)式的除法中，我們也有類似的規(guī)則： 被除式 除式 商式余式，其中，除式不為零多項(xiàng)式，商式的次數(shù)等于被除式的次數(shù)減去除式的次數(shù)，且余式的次數(shù)要小于除式的

3、次數(shù)或?yàn)榱愣囗?xiàng)式。在完成多項(xiàng)式的除法后，為了驗(yàn)證所得結(jié)果是否正確，除了重新檢視運(yùn)算過程外，也常用上述被除式 = 除式 商式余式的概念來驗(yàn)算。例如： （除式商式余式）（被除式） 21112 ）2515 24 11 12 15 12 7【范例2】求的商式及余式?！窘狻看穑荷淌綖?x2x1，余式為7。使用分離系數(shù)法時(shí)，當(dāng)除式或被除式缺項(xiàng)時(shí)，需要補(bǔ)0?！痉独?】 求(3x22)(2x1)的商式及余式?！窘狻?因?yàn)?，所以?02來表示3x22。 21 ）3 0 2 3 2 答：商式為x，余式為。【范例4】 求的商式及余式。 23312 ）6748 624 908 936 32【解】答：商式為2x3，余式

4、為3x2?！痉独?】 求(3x38x27x2)(x22x1)的商式及余式。 32121）3872 363 242 242 0【解】答：商式為3x2，余式為0?！绢愵}練習(xí)1】求下列各除法運(yùn)算的商式及余式：(1) (2) (3) (4) 當(dāng)余式為零多項(xiàng)式時(shí)，我們稱除式整除被除式，例如：在范例5中，x22x1整除3x38x27x2。這時(shí)，x22x1與3x2為3x38x27x2的因式，而3x38x27x2為x22x1與3x2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x2不為零多項(xiàng)式，所以與2x3都不是的因式。我們知道兩個(gè)x的一次式乘積展開后成為x的二次多項(xiàng)式。反過來說，如果能將一個(gè)x的二次式寫成兩個(gè)x的一次

5、式的乘積，我們稱這樣的過程為這個(gè)二次式的因式分解。因式分解乘積展開在高中的課程中，我們也會(huì)將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)一次或二次的多項(xiàng)式的連乘積，這樣的過程也稱為這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解。例如：因式分解乘積展開= 在國(guó)中階段做因式分解時(shí)，我們只考慮因式的系數(shù)為有理數(shù)（整數(shù)或分?jǐn)?shù)）的情形。但從此以后，我們將不再要求因式的系數(shù)一定是有理數(shù)。在2-2至2-4節(jié)中，我們將介紹幾個(gè)常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5節(jié)中補(bǔ)充利用配方法做因式分解。【重點(diǎn)整理】1. 判別兩多項(xiàng)式是否為因倍式關(guān)系時(shí)，可使用除法所得余式是否為0來判斷?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1. 求下列各除法運(yùn)算的商式及余式：

6、eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) 2. 已知，求a、b的值。3. 已知某多項(xiàng)式除以，可得商式，余式3，求此多項(xiàng)式。4. 已知可被整除，求k的值。5. 已知一長(zhǎng)方體的體積為、長(zhǎng)為且寬為，求此長(zhǎng)方體的高。進(jìn)階題6. 若多項(xiàng)式A除以得商式B，余式為3；多項(xiàng)式B除以得余式為，求多項(xiàng)式A除以所得的余式。7. 求以除所得的余式。2-2 提公因式作因式分解【從各項(xiàng)提公因式】如果發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有共同的因式時(shí)，我們可先將此公因式提出?！痉独?】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) (2) (3) 【解】 (1) (2)

7、 (ab)( ab)2( ab) (ab)(ab)2 (ab)(ab2)(3) 【類題練習(xí)1】因式分解下列多項(xiàng)式： (1) (2) (3) 【分組提公因式】當(dāng)各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，可嘗試分組或去括號(hào)重新分組，使得每組之間有公因式。【范例2】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) (2) (3) (4) 【解】 (1) (2) 方法一：方法二：（交換律）(3) 方法一：方法二：(4) 可嘗試去括號(hào)展開后，再重新分組?！绢愵}練習(xí)2】因式分解下列多項(xiàng)式： (1) (2) (3) (4) 從前面的例子我們可以看出，某些多項(xiàng)式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。【重點(diǎn)整理】若代數(shù)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，先將此公因式提出來做

8、因式分解。若代數(shù)式各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，可嘗試分組或去括號(hào)重新分組，再提公因式來做因式分解。【家庭作業(yè)】基礎(chǔ)題1. 因式分解下列多項(xiàng)式： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) 進(jìn)階題2. 因式分解下列多項(xiàng)式： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) 2-3十字交乘法作因式分解在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)過，其中各項(xiàng)的系數(shù)可以用十字交乘的方式來求得bdacadbc a b c d 常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)x項(xiàng)系數(shù)因此，我們可以嘗試?yán)蒙厦娴姆椒▉硪蚴椒纸舛味囗?xiàng)式?！痉独?/p>

9、1】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) (2) 【解】 (1) (2) 【類題練習(xí)1】因式分解下列多項(xiàng)式： (1) (2) 【范例2】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) (2) 【解】 (1) 方法一: 方法二: (2) 在范例2第(1)題中，和都是的因式分解。事實(shí)上，在范例2第(2)題中，、和都是的因式分解。換句話說，若多項(xiàng)式的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時(shí)，可將原多項(xiàng)式改寫成的形式，其中a、b、c、d為整數(shù)，再對(duì)做因式分解?！绢愵}練習(xí)2】因式分解下列多項(xiàng)式： (1) (2) 【重點(diǎn)整理】bdacadbc a b c d 我們可嘗試引用十字交乘來做因式分解?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1. 因式分解下列多項(xiàng)式： eq oac(,1)

10、eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) eq oac(,7) eq oac(,8) 進(jìn)階題2. 因式分解下列多項(xiàng)式： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) 2-4利用乘法公式做因式分解對(duì)于某些多項(xiàng)式，我們可直接利用乘法公式來作因式分解?！就耆椒焦健俊痉独?】利用完全平方公式，因式分解下列各式： (1) (2) (3) (4) 【解】 (1) (2) (3) （或?qū)懗桑?4) 【類題練習(xí)1】利用完全平方公式，因式分解下列各式： (

11、1) (2) (3) (4) 【平方差公式】【范例2】利用平方差公式，因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【解】 (1) (2) (3) 【類題練習(xí)2】利用平方公式，因式分解下列各式： (1) (2) (3) (4) 【完全立方公式】【范例3】利用完全立方公式，因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【解】 (1) (2) (3) 【類題練習(xí)3】完全立方公式，因式分解下列各式： (1) (2) (3) (4) 【立方差與立方和】【范例4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【解】 (1) (2) (3) 【類題練習(xí)4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各

12、式： (1) (2) (3) (4) 在范例4的第(3)題中，也可以將寫成，因此得到：事實(shí)上，可以再分解，我們將在下一個(gè)單元里，介紹它的分解方法。【重點(diǎn)整理】1. 我們可嘗試?yán)孟铝械某朔ü剑骸就耆椒焦健?；【平方差公式】 ；【完全立方公式】 ；【立方和、差公式】 ，來做因式分解。【家庭作業(yè)】基礎(chǔ)題1. 因式分解下列各式： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) eq oac(,7) eq oac(,8) 進(jìn)階題2. 因式分解下列各式： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,

13、3) eq oac(,4) eq oac(,5) eq oac(,6) 3. 已知，求下列各式的值： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) 2-5利用配方法作因式分解利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項(xiàng)式的因式分解，這里需要一些拆項(xiàng)(分項(xiàng))或補(bǔ)項(xiàng)(加減項(xiàng))的技巧，要多練習(xí)?！就耆椒焦健?【平方差公式】 【完全立方公式】 【立方和、差公式】 【范例1】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) (2) (3) (4) 【解】 (1) (2) (3) (4) 事實(shí)上，在范例1的第(3)題中，所見到的也是一個(gè)常見的乘法公式?！绢愵}練習(xí)

14、1】 因式分解下列各式： (1) (2) (3) (4) 【范例2】因式分解下列多項(xiàng)式： (1) (2) 【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解，我們也可以用補(bǔ)項(xiàng)的概念來因式分解。(2) 很顯然，無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補(bǔ)項(xiàng)的方法來克服困難。 在國(guó)中時(shí)期，因?yàn)槲覀円笠蚴椒纸夂蟮母鱾€(gè)因式的系數(shù)皆為有理數(shù)，所以有些二次式無法分解。如果允許因式的系數(shù)可為任意實(shí)數(shù)，那么我們就可以用配方法來分解它?！痉独?】因式分解?！窘狻?【類題練習(xí)2】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【重點(diǎn)整理】我們可以用拆項(xiàng)或補(bǔ)項(xiàng)的概念將多項(xiàng)式配成某些乘法公式的形式來做因式分解。在配方法中，常引用的乘法公式有：【完全平方公式】 ；【平方差公式】 ；【完全立方公式】 ；【立方和、差公式】 ?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1. 利用配方法因式分解下列各式： eq oac(,1) eq oac(,2) e