2022年專題歸納與猜想

1、專題 29 歸納與猜想閱讀與思考當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況人手，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn) 單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑或方法，這種研究問(wèn)題的方法叫歸納猜想法 . 歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開(kāi)始的，觀察是解決問(wèn)題的先導(dǎo)，解 題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑：1數(shù)與式的特征觀察2幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察3通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況 . 需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗 的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫(xiě)成無(wú)懈可擊的證明【例 1】下圖

2、是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中 字是 _. A，B，C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“ ？” 處的數(shù)（“ 東方航空杯” 上海市競(jìng)賽試題）(A) (B) (C) 解題思路： 認(rèn)真觀察 A，B，C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷?！纠?2】如圖，依次連結(jié)第一個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，再依次連結(jié)第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 _1，則第 n 個(gè)正方形的面積是（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）解題思路 ：從觀察分析圖形的面積入手，先考察 n1，2，3，4 時(shí)的簡(jiǎn)單情形，進(jìn)而作出猜想【例 3】如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD

3、 ，OE ，OF，從射線 OA 開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字 1，2，3，4，5，6，7， (1)“ 17” 在射線 _上(2) 請(qǐng)任意寫(xiě)出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律(3)“ 2 007” 在哪條射線上？（貴州省貴陽(yáng)市中考試題）解題思路： 觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以 6 的余數(shù)相同【例 4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：1，1 2，2 1，1 3，2 2，3 1， 1 4，2 3，3 2，4 1， 1 5，2 4，3 3，4 2，5 1，1 6， ( ) c(1)在( )中，從左起第m 個(gè)數(shù)記為 F(m)，當(dāng) F(m)2 2001時(shí)，求 m 的值和這 m 個(gè)數(shù)的積(2)在( )中，未經(jīng)約分

4、且分母為2 的數(shù)記為c它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)和 d，使 cd2 001 000? 如果存在，求出c 和 d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解題思路 ：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對(duì)原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個(gè)數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2 的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵，7 2和【例 5】在 2,3 兩個(gè)數(shù)之間， 第一次寫(xiě)上235，第二次在 2.5 之間和 5，3 之間分別寫(xiě)上251 253 24，如圖所示：第 k 次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)之間寫(xiě)上這兩個(gè)數(shù)的和的1 k(1)請(qǐng)寫(xiě)出第 3 次操作后所得到的9 個(gè)數(shù)，并求出它們的和(2)經(jīng)過(guò) k

5、次操作后所有的數(shù)的和記為 Sk，第 k1 次操作后所有數(shù)的和記為Sk1，寫(xiě)出 Sk1與 Sk之間的關(guān)系式(3)求 S6的值（“ 希望杯” 邀請(qǐng)賽試題）解題思路 ：(1)先得出第 3 次操作后所得到的9 個(gè)數(shù)，再把它們相加即可(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個(gè)數(shù)的時(shí)候，除了頭尾兩個(gè)數(shù) 2 和 3 之外，中間的n2 個(gè)數(shù)均重復(fù)計(jì)算了 2 次，用 Sk表示出 Sk1(3)根據(jù) (1)，(2)可算出 S6的值能力訓(xùn)練1有數(shù)組 (1，1， 1)，(2，4， 8)，(3，9，27)， ，則第100 組的三個(gè)數(shù)之和為（廣東省廣州市競(jìng)賽試題）2如圖有一長(zhǎng)條型鏈子，其外形由邊長(zhǎng)為 1 cm 的正六邊形排列而成其中每

6、個(gè)黑色六邊形與 6 個(gè)白色六邊形相鄰，若鏈子上有 35 個(gè)黑色六邊形，則此鏈子有 _個(gè)白色六邊形（2013 年“ 實(shí)中杯” 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）3按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)：1 1 3，2 3， 3 3，1 5， 2 5，3 5， 4 5，5 5， 1 7，2 7， 3 7， 中，第 98 個(gè)數(shù)是 _. （山東省競(jìng)賽試題）4給出下列麗列數(shù)2，4，6，8，10, ， 1 994 6，13, 20, 27, 34, ， 1 994 則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個(gè)數(shù)是( )C284 A 142 B 143 （浙江省競(jìng)賽試題）5如圖， AOB45 ，對(duì) OA 上到點(diǎn) 的距離分別為1， 3，5，7， 9，11， 的點(diǎn)

7、作OA 的垂線且與 OB 相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，面積分別為S1，S2，S3， ，則 S10. 6一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為 部分，則 n 等于 ( ) 4 部分，設(shè)五條直線最多分平面為A 16 B 18 24 D31 （北京市“ 迎春杯” 競(jìng)賽試題）7觀察下列正方形的四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律那么2013 這個(gè)數(shù)標(biāo)在 ( )A第 503 個(gè)正方形的左下角 C第 504 個(gè)正方形的左下角B第 503 個(gè)正方形的右下角 D第 504 個(gè)正方形的右下角（2013 年浙江省衢江市競(jìng)賽試題）8自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：(1)求上起第 10 行，左起第 13 列的數(shù)(2)數(shù) 1

8、27 應(yīng)在上起第幾行，左起第幾列（北京市“ 迎春杯” 競(jìng)賽試題）9一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是 1， 1，2，3，5，8，13，21，34，55問(wèn)：這串?dāng)?shù)的前 100 個(gè)數(shù)中（包括第 100 個(gè)數(shù)）有多少個(gè)偶數(shù)？（“ 華羅庚金杯” 競(jìng)賽試題）10.將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于 50 個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由（“ 五羊杯” 競(jìng)賽試題）11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第 1 個(gè)數(shù)：1 2(11 2 )；12113；14115；第 2 個(gè)數(shù)：1 311 2134第 3 個(gè)數(shù)：1 411 211211313456第 n 個(gè)數(shù)：那么，在第n1111112113112n12342 n10 個(gè)數(shù)，第 11 個(gè)數(shù)，第 12 個(gè)數(shù)，第 13 個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個(gè)？12.有依次排列的 3 個(gè)數(shù)： 3， 9，8對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊