2022年專題歸納與猜想

1、專題 29 歸納與猜想閱讀與思考當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡 單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法 . 歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導，解 題中的觀察活動主要有三條途徑：1數(shù)與式的特征觀察2幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察3通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況 . 需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗 的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明【例 1】下圖

2、是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中 字是 _. A，B，C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“ ？” 處的數(shù)（“ 東方航空杯” 上海市競賽試題）(A) (B) (C) 解題思路： 認真觀察 A，B，C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷?！纠?2】如圖，依次連結(jié)第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結(jié)第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為 _1，則第 n 個正方形的面積是（湖北省武漢市競賽試題）解題思路 ：從觀察分析圖形的面積入手，先考察 n1，2，3，4 時的簡單情形，進而作出猜想【例 3】如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD

3、 ，OE ，OF，從射線 OA 開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字 1，2，3，4，5，6，7， (1)“ 17” 在射線 _上(2) 請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律(3)“ 2 007” 在哪條射線上？（貴州省貴陽市中考試題）解題思路： 觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以 6 的余數(shù)相同【例 4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：1，1 2，2 1，1 3，2 2，3 1， 1 4，2 3，3 2，4 1， 1 5，2 4，3 3，4 2，5 1，1 6， ( ) c(1)在( )中，從左起第m 個數(shù)記為 F(m)，當 F(m)2 2001時，求 m 的值和這 m 個數(shù)的積(2)在( )中，未經(jīng)約分

4、且分母為2 的數(shù)記為c它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)和 d，使 cd2 001 000? 如果存在，求出c 和 d；如果不存在，請說明理由解題思路 ：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2 的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵，7 2和【例 5】在 2,3 兩個數(shù)之間， 第一次寫上235，第二次在 2.5 之間和 5，3 之間分別寫上251 253 24，如圖所示：第 k 次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的1 k(1)請寫出第 3 次操作后所得到的9 個數(shù)，并求出它們的和(2)經(jīng)過 k

5、次操作后所有的數(shù)的和記為 Sk，第 k1 次操作后所有數(shù)的和記為Sk1，寫出 Sk1與 Sk之間的關(guān)系式(3)求 S6的值（“ 希望杯” 邀請賽試題）解題思路 ：(1)先得出第 3 次操作后所得到的9 個數(shù)，再把它們相加即可(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù) 2 和 3 之外，中間的n2 個數(shù)均重復計算了 2 次，用 Sk表示出 Sk1(3)根據(jù) (1)，(2)可算出 S6的值能力訓練1有數(shù)組 (1，1， 1)，(2，4， 8)，(3，9，27)， ，則第100 組的三個數(shù)之和為（廣東省廣州市競賽試題）2如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為 1 cm 的正六邊形排列而成其中每

6、個黑色六邊形與 6 個白色六邊形相鄰，若鏈子上有 35 個黑色六邊形，則此鏈子有 _個白色六邊形（2013 年“ 實中杯” 數(shù)學競賽試題）3按一定規(guī)律排列的一串數(shù)：1 1 3，2 3， 3 3，1 5， 2 5，3 5， 4 5，5 5， 1 7，2 7， 3 7， 中，第 98 個數(shù)是 _. （山東省競賽試題）4給出下列麗列數(shù)2，4，6，8，10, ， 1 994 6，13, 20, 27, 34, ， 1 994 則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是( )C284 A 142 B 143 （浙江省競賽試題）5如圖， AOB45 ，對 OA 上到點 的距離分別為1， 3，5，7， 9，11， 的點

7、作OA 的垂線且與 OB 相交，得到并標出一組黑色梯形，面積分別為S1，S2，S3， ，則 S10. 6一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為 部分，則 n 等于 ( ) 4 部分，設五條直線最多分平面為A 16 B 18 24 D31 （北京市“ 迎春杯” 競賽試題）7觀察下列正方形的四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律那么2013 這個數(shù)標在 ( )A第 503 個正方形的左下角 C第 504 個正方形的左下角B第 503 個正方形的右下角 D第 504 個正方形的右下角（2013 年浙江省衢江市競賽試題）8自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：(1)求上起第 10 行，左起第 13 列的數(shù)(2)數(shù) 1

8、27 應在上起第幾行，左起第幾列（北京市“ 迎春杯” 競賽試題）9一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是 1， 1，2，3，5，8，13，21，34，55問：這串數(shù)的前 100 個數(shù)中（包括第 100 個數(shù)）有多少個偶數(shù)？（“ 華羅庚金杯” 競賽試題）10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于 50 個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由（“ 五羊杯” 競賽試題）11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第 1 個數(shù)：1 2(11 2 )；12113；14115；第 2 個數(shù)：1 311 2134第 3 個數(shù)：1 411 211211313456第 n 個數(shù)：那么，在第n1111112113112n12342 n10 個數(shù)，第 11 個數(shù)，第 12 個數(shù)，第 13 個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個？12.有依次排列的 3 個數(shù)： 3， 9，8對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊