§312傳染病模型

1、3.12傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內(nèi) 被消滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制。但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危 害人們的健康和生命。在發(fā)展中國家，傳染病的流行仍十分嚴(yán)重；即使在發(fā)達(dá)國 家，一些常見的傳染病也未絕跡，而新的傳染病還會出現(xiàn)，如愛滋病（AIDS）等。 有些傳染病傳染很快，導(dǎo)致很高的致殘率，危害極大，因而對傳染病在人群中傳 染過程的定量研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。傳染病流行過程的研究與其他學(xué)科有所不同，不能通過在人群中實(shí)驗(yàn)的方式 獲得科學(xué)數(shù)據(jù)。事實(shí)上，在人群中作傳染病實(shí)驗(yàn)是極不人道的。所以有關(guān)傳染病 的數(shù)據(jù)、資料只能從已有的傳染病流行的報(bào)告中獲

2、取。這些數(shù)據(jù)往往不夠全面， 難以根據(jù)這些數(shù)據(jù)來準(zhǔn)確地確定某些參數(shù)，只能大概估計(jì)其范圍?；谏鲜鲈颍?利用數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)仿真便成為研究傳染病流行過程的有效途徑之一。1）問題提出上世紀(jì)初，瘟疫還經(jīng)常在世界的某些地區(qū)流行，被傳染的人數(shù)與哪些因素有 關(guān)？如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來？為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳 染的人數(shù)大致不變？2）問題分析社會、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因 素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能 力、免疫能力等，在建立模型時(shí)不可能考慮所有因素，只能抓住關(guān)鍵的因素，采 用合理的假設(shè)，進(jìn)行簡化。我們把傳染病流行

3、范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible）， 指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者 （Infective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者 （Removal），指被隔離，或因病愈而具有免疫力的人。3）建立模型（1）SI模型1SI模型是指易感者被傳染后變?yōu)楦胁≌咔医?jīng)久不愈，不考慮移出者，人員流動 圖為：Sf I。假設(shè)每個病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)為常數(shù)k0。一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡。記時(shí)刻t的得病人數(shù)為i ()，開始時(shí)有，個傳染病人，則在A t時(shí)間內(nèi)增加的病 人數(shù)為于是得:di (t)亍=k 0 i (t)

4、i (0) = i0模型分析與解釋：這個結(jié)果與傳染病初期比較吻合，但它表明病人人數(shù)將按指數(shù) 規(guī)律無限增加，顯然與實(shí)際不符。事實(shí)上，一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)大致可視為常數(shù)(不 考慮傳染病傳播時(shí)期出生和遷移的人數(shù))，在傳染病傳播期間，一個病人單位時(shí) 間內(nèi)能傳染的人數(shù)k 0則是在改變的。在初期，k 0較大，隨著病人的增多，健康 者減少，被傳染機(jī)會也將減少，于是k0就會變小。(2) SI模型2記時(shí)刻t的健康者人數(shù)為s(t)，假設(shè)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n，且i(t) + s(t) = n。2.單位時(shí)間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)度)。一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡?？傻?/p>

5、方程:di (t)- = ks (t) i (t) dtdi (t)=ks (n 一 i) dt即 I (0) = i0 (0) = i0ni (t) =n解得：1 + ( - 1) e -knti0nln( - 1) dii模型分析：可以解得的極大值點(diǎn)為：廣kn 。這可以表示傳染病高峰時(shí)刻。當(dāng)傳染強(qiáng)度k增加時(shí)，匕將變小，即傳染高峰來得快，這與實(shí)際情況吻合。 但當(dāng)/ T3時(shí)，i() - n，這意味著最終人人都將被傳染，顯然與實(shí)際不符。(3)帶宣傳效應(yīng)的SI模型(3)。假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)正常人被傳染的比率為常數(shù)S一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡。di()(.、=r (n i)開始，開展一場

6、持續(xù) 的宣傳運(yùn)動，宣傳強(qiáng)度為1，則所得的數(shù)學(xué)模型為：di1 其中:時(shí))*0t t0t t0為 Heaviside 函數(shù)。求得：i(t) =n1(1i-0-nan)e -坦H (t - t )1 - e -r仃-=r (n i) anH (t t )alim i (t) = n (1 ) n，這表明持續(xù)的宣傳是起作用的，最終會使發(fā)病率減少。如果宣傳運(yùn)動是短暫進(jìn)行的，這在日常生活中是常見的，例如僅僅是聽一 個報(bào)告，或街頭散發(fā)傳單等，即在t = t1,t2,tm等m個時(shí)刻進(jìn)行m次宣傳，宣傳 強(qiáng)度分別為官2,，九，則模型變?yōu)椋篸ir (n 一 i) 一 n Z 5 (t 一 t )i (0) = i0

7、i(t) = i e -rt + n1 一 e -rt 一 n 農(nóng) a H (t 一 t )e -r (卻 解得：07=1j /lim i (t) = nt T +9這表明短暫的宣傳是不起作用的，最終還是所有的人都染上了疾病。(4) SIS模型SIS模型是指易感者被傳染后變?yōu)楦胁≌?，感病者可以被治愈，但不會產(chǎn)生免疫 力，所以仍為易感者。人員流動圖為：SIS。有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定無免疫性。于是痊 愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是說痊愈的感染者將再次進(jìn)入易感者的人 群。假定: 1.總?cè)藬?shù)為常數(shù)n，且i(t) + s(t) = n。單位時(shí)間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)

8、時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)度)。3.感病者以固定的比率h痊愈，而重新成為易感者。我們可得模型:di (t)-= ki (t) s (t) - hi (t)1時(shí)，nk 一 hlim i (t)=t T 9knk一 0 0r (0) = r = 0i0=巳_ i p = i = p In - s + n模型分析：由以上方程組得：ds sk，所以s0，容易得出巧訊=0；而當(dāng)s 0 時(shí)，i (t)單調(diào)下降趨于零；s 0 P時(shí)，i (t)先單調(diào)上 t 700升到最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：P是一個 門檻。從P的意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高恢復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療