高二數(shù)學(xué)知識點：排列與組合

1、6/6高二數(shù)學(xué)知識點：排列與組合排列組合公式/排列組合計算公式排列P和順序有關(guān)組合C不牽涉到順序的問題排列分順序 ,組合不分例如把5本不同的書分給3個人 ,有幾種分法.排列把5本書分給3個人 ,有幾種分法組合1.排列及計算公式從n個不同元素中 ,任取m(mn)個元素按照一定的順序排成一列 ,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù) ,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù) ,用符號p(n ,m)表示.p(n ,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).2.組合及計算公式從n個不同元素中 ,任取m(m

2、n)個元素并成一組 ,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù) ,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號c(n ,m)表示.c(n ,m)=p(n ,m)/m!=n!/(n-m)!*m!);c(n ,m)=c(n ,n-m);3.其他排列與組合公式從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n ,r)/r=n!/r(n-r)!.n個元素被分成k類 ,每類的個數(shù)分別是n1 ,n2 ,.nk這n個元素的全排列數(shù)為n!/(n1!*n2!*.*nk!).k類元素 ,每類的個數(shù)無限 ,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1 ,m).排列(

3、Pnm(n為下標(biāo) ,m為上標(biāo))Pnm=n(n-1)(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!;0!=1;Pn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n組合(Cnm(n為下標(biāo) ,m為上標(biāo))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1;Cn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n;Cnm=Cnn-m2019-07-0813：30公式P是指排列 ,從N個元素取R個進(jìn)行排列。公式C是指組合 ,從N個元素取R個 ,不進(jìn)行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘 ,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個

4、 ,表達(dá)式應(yīng)該為n*(n-1)*(n-2).(n-r+1);因為從n到(n-r+1)個數(shù)為n-(n-r+1)=r舉例：Q1：有從1到9共計9個號碼球 ,請問 ,可以組成多少個三位數(shù)?A1：123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的 ,既屬于“排列P計算范疇。上問題中 ,任何一個號碼只能用一次 ,顯然不會出現(xiàn)988 ,997之類的組合 ,我們可以這么看 ,百位數(shù)有9種可能 ,十位數(shù)那么應(yīng)該有9-1種可能 ,個位數(shù)那么應(yīng)該只有9-1-1種可能 ,最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=P(3 ,9)=9*8*7 ,(從9倒數(shù)3個的乘積)Q2：有從1到9共計9個號碼球 ,請問 ,如果三個一

5、組 ,代表“三國聯(lián)盟 ,可以組合成多少個“三國聯(lián)盟?A2：213組合和312組合 ,代表同一個組合 ,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的 ,屬于“組合C計算范疇。上問題中 ,將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3 ,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例1設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組.(1)每名學(xué)生都只參加一個課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個課外小組 ,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加.各有多少種不同方法?解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個 ,而不限制每個課外小組的人數(shù) ,因此共有種不同方法.(2)由于每名學(xué)生都只

6、參加一個課外小組 ,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加 ,因此共有種不同方法.點評由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組 ,故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算.例2排成一行 ,其中不排第一 ,不排第二 ,不排第三 ,不排第四的不同排法共有多少種?解依題意 ,符合要求的排法可分為第一個排、中的某一個 ,共3類 ,每一類中不同排法可采用畫“樹圖的方式逐一排出：符合題意的不同排法共有9種.點評按照分“類的思路 ,此題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律 ,“樹圖是一種具有直觀形象的有效做法 ,也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型.例3判斷以下問題是排列問題還是組合問題?并計算出結(jié)果.(1)高三年級學(xué)生會有11人：每兩人互通

7、一封信 ,共通了多少封信?每兩人互握了一次手 ,共握了多少次手?(2)高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長 ,共有多少種不同的選法?從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽 ,有多少種不同的選法?(3)有2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19八個質(zhì)數(shù)：從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?從中任取兩個求它的積 ,可以得到多少個不同的積?(4)有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆 ,有多少種不同的選法?從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?分析(1)由于每人互通一封信 ,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信 ,所以與順序有關(guān)是排列;由于每兩人互握一次手 ,甲

8、與乙握手 ,乙與甲握手是同一次握手 ,與順序無關(guān) ,所以是組合問題.其他類似分析.(1)是排列問題 ,共用了封信;是組合問題 ,共需握手(次).(2)是排列問題 ,共有(種)不同的選法;是組合問題 ,共有種不同的選法.(3)是排列問題 ,共有種不同的商;是組合問題 ,共有種不同的積.(4)是排列問題 ,共有種不同的選法;是組合問題 ,共有種不同的選法.例4證明.證明左式右式.等式成立.點評這是一個排列數(shù)等式的證明問題 ,選用階乘之商的形式 ,并利用階乘的性質(zhì) ,可使變形過程得以簡化.例5化簡.解法一原式解法二原式點評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式 ,并利用階乘的性質(zhì);解法二選用了組合數(shù)的兩個

9、性質(zhì) ,都使變形過程得以簡化.例6解方程：(1);(2).解(1)原方程解得.(2)原方程可變?yōu)樵匠炭苫癁?即 ,解得第六章排列組合、二項式定理一、考綱要求1.掌握加法原理及乘法原理 ,并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.2.理解排列、組合的意義 ,掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì) ,并能用它們解決一些簡單的問題.3.掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì) ,并能用它們計算和論證一些簡單問題.二、知識結(jié)構(gòu)三、知識點、能力點提示其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。(一)加法原理乘法原理單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇