數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)課件

1、第十三章 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的重要組成部分，它在函數(shù)表示、數(shù)值計(jì)算、研究函數(shù)性質(zhì)、微分方程的求解等諸多方面，都有著不可替代的作用。無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)理論本身，還是在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用中，無(wú)窮級(jí)數(shù)都是一個(gè)有效的工具。本章內(nèi)容由常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)三部分組成。主要介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)、斂散性的審斂法、冪級(jí)數(shù)以及將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)的方法及其應(yīng)用。2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.柯西(cauchy)收斂準(zhǔn)則1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)若有一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 u1，u2，u3，un，此無(wú)窮數(shù)列構(gòu)成下列表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)稱(chēng)以上表

2、達(dá)式為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為1.無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念其中第n項(xiàng)un叫作級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng). 由上我們便得到一個(gè)數(shù)列,從形式上=與發(fā)散,進(jìn)而就不難得出級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。不難知道，以前我們學(xué)過(guò)數(shù)列的收斂換而言之，有限個(gè)數(shù)相加為一數(shù),無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加是否仍為一個(gè)數(shù)呢？問(wèn) 題則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù) 收斂.s稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的和.且有若 無(wú)極限，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù) 發(fā)散.定義1 若級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列 收斂，設(shè)其極 限值為無(wú)窮多項(xiàng)求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)列sn的極限問(wèn)題注意1:稱(chēng)為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)， 為 代替s所產(chǎn)生的誤差 .注意2: 到目前為止，已了解的級(jí)數(shù)的基本概念，特別了解了級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性(斂散性)是由其部分和

3、數(shù)列 的斂散性所決定的。 確切地說(shuō)，兩者斂散性是相同的 解:(1)若 ,則部分和則級(jí)數(shù)發(fā)散。則級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)， sn為a或0，則 的極限不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散.小結(jié): 等比級(jí)數(shù)的公比 ，級(jí)數(shù)收斂, ，級(jí)數(shù)發(fā)散.例3 證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.證: 為估計(jì)調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和sn，我們?cè)趨^(qū)間1,+上引入函數(shù)對(duì)于任一x屬于1,+，存在自然數(shù)k，使得，于是對(duì)上式兩端在區(qū)間k，k+1上取定積分當(dāng)時(shí),.顯然不存在. 故原級(jí)數(shù)發(fā)散.性質(zhì)1:(收斂的必要條件)如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng) 趨于零，即2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本性質(zhì)注1: 若反之，則不一定成立。，原級(jí)數(shù)不一定收斂。 發(fā)散，但.如調(diào)和級(jí)數(shù)即注2: 收斂的必要條件

4、常用來(lái)證明級(jí)數(shù)發(fā)散。，則原級(jí)數(shù)一定不收斂.即若性質(zhì)2 若級(jí)數(shù) 收斂于和s，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k,所得的級(jí)數(shù) 也收斂,且其和為ks.級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不變性質(zhì)3 如果級(jí)數(shù) , 分別收斂于 ,即兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍為收斂級(jí)數(shù)注1: 稱(chēng)為級(jí)數(shù)與注2: 若級(jí)數(shù)和發(fā)散。（證明）的和與差.之中有一個(gè)收斂，另一個(gè)發(fā)散，則問(wèn)：若兩個(gè)都發(fā)散，情況又如何呢？（思考） 性質(zhì)4 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù) 的斂散性，但其和可能改變. 只是當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，加上有限項(xiàng)或去掉有限項(xiàng)，一般會(huì)改變級(jí)數(shù)的和.性質(zhì)5: 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后(不改變各項(xiàng)順序)所產(chǎn)生 的級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)級(jí)數(shù)的和.注

5、1: 這里所謂加括號(hào),就是在不改變各項(xiàng)的順序的情 況下,將其某項(xiàng)放在一起作為新的項(xiàng),而產(chǎn)生的 級(jí)數(shù).當(dāng)然,加括號(hào)的方法是有無(wú)窮多種的.是發(fā)散的,是收斂的.注2: 若級(jí)數(shù)在加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)散,那么原級(jí) 數(shù)發(fā)散.但是,某級(jí)數(shù)在加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)收 斂,則原級(jí)數(shù)未必收斂.也就是說(shuō):發(fā)散的級(jí)數(shù) 加括號(hào)后可能產(chǎn)生收斂的級(jí)數(shù).例如: 但 例4 判別級(jí)數(shù) 的斂散性。解：由于級(jí)數(shù) 是公比為 的幾何級(jí)數(shù)，且 所以 收斂 由性質(zhì)2可知 也收斂例5 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: 因級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù) 均收斂 由性質(zhì)3可知 收斂. 3.柯西(cauchy)收斂準(zhǔn)則所以對(duì)于任一給定的正數(shù)，取自然數(shù)則當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)p,都有

6、成立由柯西收斂定理，級(jí)數(shù) 收斂2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判別法3.絕對(duì)收斂與條件收斂4.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法13.2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法 前面所講的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，各項(xiàng)均可是正數(shù)，負(fù)數(shù)或零。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是其中一種特殊情況。如果級(jí)數(shù)中各項(xiàng)是由正數(shù)或零組成，這就稱(chēng)該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。同理也有負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都乘以后即變成正項(xiàng)級(jí)數(shù)，兩者有著一些相仿的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)中占有很重要的地位。很多級(jí)數(shù)的斂散性討論都會(huì)轉(zhuǎn)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.定義 設(shè)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 顯然,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和sn數(shù)列是單調(diào)增加的， 即1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法定理 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂有界.證: “” 收斂收斂有界.有界,又是一個(gè)單調(diào)上升數(shù)列存在收斂.“” 證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其部分和為:故sn有界，所以原級(jí)數(shù)收斂.定理1(比較判別法) 設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 且 那么 （1）如果 收斂，則收斂。（2）如果 發(fā)散，則發(fā)散。 證: 設(shè)和分別表示和的部分和，顯然由(1) 收斂有界有界也收