多元章—因子

1、因子分析因子分析可以認為是主成分分析的逆問題。主成分分析是將原指標綜合;因子分析是將原指標分解。用矩陣表示為：主成分分析：iaii312BprXi、y2a21322a2pX2S1.-15丿3p2appJJXp丿yi=aix,(i-1,2,P)即y=Ax因子分析：x=Af亠*看一個實際例子。設有n個學生，每個學生考5門課：語文、外語、數(shù)學、物理、化學，第i個學生第j門課的成績用召表示，于是，n個學生的成績組成一個矩陣，ZXiiX12X15X21X22a25Xn1Xn2Xn5丿考試成績反映了學生的素質(zhì)能力，這些成績是由學生的理解能力、記憶能力、(對文字、符號、概念的)反映速度所決定的。若將理解能力

2、、記憶能力、反映速度稱為因子。則因子分析就是要從考試成績中尋找出這些因子，以及成績與這些因子的關系。用Fx=XLX2.X3.X4.X5表示5門課的考試成績，用Ff=lfl,f2,f3表示3個因子。顯然，每門課程都與f(理解能力、記憶能力、反映速度)有關(稱為公共因子)，并假定它們之間是線性關系x二Af亠：.為=aiifi+ai2f2+ai3f3+1X2=a?ifi+a?2彳2+玄23f3十2X5=a51f1a52f2ap3f3*；5其中，；=(1，；2,，；5)是X中不能完全被Af(理解能力、記憶能力、反映速度)解釋的部分，稱為特殊因子。1因子模型實踐證明，因子分析有著廣泛的應用。但是，因子分

3、析的模型和理論還很不完善，從數(shù)學上看還存在許多問題。因子分析模型不像主成分分析有明確的數(shù)學背景和幾何意義，因此理解起來比較困難。一、數(shù)學模型設有可觀測的p維隨機向量X=(為公2,，Xp)，(不妨假定)其均值向量E(x)=0，協(xié)差陣為V(x)=3=(Gj)，f=(fl,f2,，fm)和；(；1,；2,，；p)都是不可觀測的隨機向量(m:：p)。若E(f)=0；E(；)=0；V(f)=diag(1,1,1)=1，即仁，fm互不相關；V()二D=diagC；,，；蔦)，即；仆p互不相關；Cov(f,0=0，即f與；互不相關。則模型Xpap1f1ap2f2apmfmpX1=a11f1+a12f2+a1

4、mfm+s1X2=a21f1+a22f2+a2mfm七2稱為因子模型，用矩陣表示為簡記為x二Af亠：.其中，f=(fi,彳2,，fm)稱為公共因子向量，；=(1,；2,，；p)稱為特殊因子向量，aj稱為因子載荷，A=(q)稱為因子載荷矩陣。、因子載荷的統(tǒng)計意義1、A的元素aj因為xaMfiai2f2aipfppot二所以pCov(x,fj)=ai:.Cov(ffj)Cov(牛fj)=aijg即,因子載荷aj是原始變量Xi與公因子fj的協(xié)方差。若x為已標準化的隨機變量，則aij是原始變量Xi與公因子fj的相關系數(shù)，它度量了原始變量Xi在公因子fj中的相對重要性。由于歷史的原因心理學家稱其為“載荷

5、”，即變量Xi在公因子fj中的負荷。2、A的行元素平方和因子載荷矩陣A=(可)中第i行元素的平方和h2=a2+a$+am=Zafj稱為洛的共性方差(共同度)。m對Xi=瓦屜如+勺的兩邊取方差一一V(Xi)二Waai2f2aimfm；i)=aiW(fi)ai；V(f2)amv(fm)V=a+a+am+?（i=1,2,m）代替八ti（i=1,2,m）。A中小ti（i=1,2；,m）也分別用?、?（i=1,2，m）代替，在不致于混淆的情況下，仍用A表示。因此s：AAD?其中A?乂?t?,.?X）mD=diag（；?工?2,），謁二aj，i=1,2/,p結論2主成分解的近似程度由殘差矩陣S_（AAD）

6、度量。當殘差矩陣非對角線上的元素很小時，可認為取m個因子的模型很好地擬合了原始數(shù)據(jù)。A的主成分解A是一個近似解。其近似程度可由S-（AA：D）決定，稱其為殘差矩陣。S-（AAD）的主對角線上的元素為0，當非對角線上的元素很小時，可認為取m個因子的模型很好地擬合了原始數(shù)據(jù)。結論3對于主成分解，有S-（AA：D）的元素平方和：（譜分解法可證）因此，當略去的特征根的平方和較小時，表明因子模型的擬合較好。三、主因子法主成分法是從從匕出發(fā)求解A的由x的協(xié)方差陣匕的分解式可知，若x的各分量已被標準化，貝U匕=R，則由此可看出，也可從R-D出發(fā)求解A。令R*二RD若已對x作了標準化變換，則上式為二AA稱R*

7、為約相關矩陣。因為_1r21_1r21ri21Irp2-12r21r1217；pi”2Zphi2=1根據(jù)因子載荷陣的統(tǒng)計意義:2i,i=1,2,p。,i=1,2,p為初始估計。設R*的前212R*的對角線上的元素為：h2=1-m個特征根依次為以?=1一（?2爲蘭m0，相應的正交單位特征向量為t1,t2，,tm，則A的主因子解為f*仁*A=C.乙，12七2,mtm)在此基礎上，可重新估計特殊方差?是對角陣注意：對最大似然解，當因子數(shù)增加時，原因子的估計載荷及對x的貢獻將發(fā)生變化，這與主成分解及因子解不同。五、例100m200m400m800m1500m5000m10000mmaargentin1

8、0.3920.8146.841.813.714.0429.36137.72australi10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.3austria10.4420.8146.821.793.613.2627.72135.9belgium10.3420.6845.041.733.613.2227.45129.95bermuda10.2820.5845.911.83.7514.6830.55146.62brazil10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13burma10.6421.5514.4530.2813

9、9.95canada10.1720.2245.681.763.6313.5528.09130.15chile10.3420.846.21.793.7113.6129.3134.03china10.5121.0447.31.813.7313.929.13133.53Columbia10.4321.0546.11.823.7413.4927.88131.35cookis12.1823.252.942.024.2416.735.38164.7costa10.9421.948.661.873.8414.0328.81136.58czech10.3520.6545.641.763.5813.4228.1

10、9134.32denmark10.5620.5245.891.783.6113.528.11130.78domrep10.1420.6546.81.823.8214.9131.45154.12finland10.4320.6945.491.743.6113.2727.52130.87france10.1120.3845.281.733.5713.3427.97132.3gdr10.1220.3344.871.733.5613.1727.42129.92frg10.1620.3744.51.733.5313.2127.61132.23gbni10.1120.2144.931.73.5113.01

11、27.51129.13greece10.2220.7146.561.783.6414.5928.45134.6guatemal10.9821.8248.41.893.814.1630.11139.33hungary10.2620.6246.021.773.6213.4928.44132.58india10.621.4245.731.763.7313.7728.81131.98indonesi10.5921.4947.81.843.9214.7330.79148.83ireland10.6120.9646.31.793.5613.3227.81132.35israel10.712147.81.7

12、73.7213.6628.93137.55italy10.0119.7245.261.733.613.2327.52131.08japan10.3420.8145.861.793.6413.4127.72128.63kenya10.4620.6644.921.733.5513.127.38129.75korea10.3420.8946.91.793.7713.9629.23136.25dprkorea10.9121.9447.31.853.7714.1329.67130.87luxembou10.3520.7747.41.823.6713.6429.08141.27malaysia10.420

13、.9246.31.823.814.6431.01154.1mauritiu11.1922.4547.71.883.8315.0631.77152.23mexico10.4221.3513.4627.95129.2netherla10.5220.9545.11.743.6213.3627.61129.02nz10.5120.8846.11.743.5413.2127.7128.98norway10.5521.1646.711.763.6213.3427.69131.48png10.9621.78114.7231.36148.22philippi10.782

14、1.6446.241.813.8314.7430.64145.27poland10.1620.2445.361.763.613.2927.89131.58portugal10.5321.1746.71.793.6213.1327.38128.65rumania10.4120.9845.871.763.6413.2527.67132.5singapor10.3821.2847.41.883.8915.1131.32157.77spain10.4220.7745.981.763.5513.3127.73131.57sweden10.2520.6145.631.773.6113.2927.94130

15、.63switzerl10.3720.4645.781.783.5513.2227.91131.2taipei10.5921.2946.81.793.7714.0730.07139.27thailand10.3921.0947.911.833.8415.2332.56149.9turkey10.7121.4347.61.793.6713.5628.58131.5usa9.9319.7543.861.733.5313.227.43128.22ussr10.072044.61.753.5913.227.53130.55wsamoa10.8221.86492.024.2416.2834.71161.

16、833因子旋轉（目的）當因子模型中的公共因子含義不清或沒有合理的解釋時，可對因子載荷陣進行旋轉，使因子載荷陣的結構簡化，以便于對公共因子進行解釋。（理論基礎）因子載荷不惟一（匸=AAD=ACCAD=（AC）（AC）D）（形式上）結構簡化是使部分變量在公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷較小變換因子載荷陣的方法稱為因子旋轉。因子旋轉有正交旋轉和斜交旋轉。常用的是正交旋轉。、當m=2時因子載荷陣ai2a2ia22apiap2j選擇T對A進行正交旋轉T可表示為cos日sin-sin日coS)其中二為坐標平面上因子軸/a)1cos日+a12sin日-a11sin+氐cos日/*an*、a1

17、2a21cos&+a22sin&*-a21sin+a22cos=*a21a*a22iap1cos日+ap2sin-ap1sin+a2cos日*lap1*ap2丿按逆時針方向旋轉的角度。A=AT=為了度量旋轉質(zhì)量的好壞引入一下概念（度量方法）我們將A*的第j（j=1,2）列元素平方的相對方差定義為1p-Vj二丄（di2-dj）2Pi=1其中djp/hidjp/hidjdi：Pi二(?),選擇上式中將a*除以hi是為了消除各原始變量方差貢獻差異的影響hi是因為正交旋轉不改變共性方差(AA=atta=aa),取dj：是為了消除dj的符號的影響。只要求出了二，也就求出了T。旋轉的目標是：使得因子載荷陣

18、的結構簡單，結構簡單的含義是：公共因子的貢獻越分散越好，或者說是因子載荷陣每一列元素的平方值向0和1兩極分化。這實際上是希望將原始變量分成兩部分，一部分主要與第1公共因子有關，另一部分主要與第2公共因子有關，因此，要*求(an，a2i,，apj(弘旦：,ap2)r的萬差y和V2盡可能地大。因此，正交旋轉的角度v必須使旋轉后因子載荷陣的總方差V=V1V2達到最大值，即使2_1P221TOCo1-5hzV=V：V2八、(dj-dj)dPy21p*21p*2Ij/hipid：j/hipid：遼佝和-一(aj/hi)卜j生Pi生|f其中其中達到最大值。根據(jù)微積分求極值原理，將V對d求導，并令其為零，得

19、C4-2c：c2/p22C3-(C：-C2)/pppppC-二Ui,C2:八Vi，C3=為(Ui2Vi2),c4=2二uviAi占iid3i12ai1ai2Ui,Vi-2u2hi5、當m2時當m2時，可逐次對因子進行上述的旋轉。對因子fh和fk進行旋轉，就是對A的第h列和第k列正交旋轉一個角度nhk，即旋轉角度九應使得旋轉后的因子載荷陣的總方差達到最大。這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余各列不變。即ana12a1ma；*a12*a1ma21aa22-*.a2pa，AT=A=*a21a*a22.*a2malap1ap2app丿*lap1*ap2*apmA二mm1P2_2=HI送(dij

20、-dj)j4|Lpi1Jj*21卩*2ij/hiaijEP達到最大，其中正交變換矩陣為(1sin1cos1cost其中未標明的元素均為A經(jīng)變換后，Aaihaikaih0o*=AThk中的元素為aihcos寸aiksin寸Pkcosaiksin二am(h=k,j)i72,p其中旋轉角仍按下式求得tg4八亠輕dC3-(C1-C2)/pm個因子，每次兩個配對旋轉，共需旋轉C；二m(m-1)/2次,稱其為完成第一輪旋轉。記第一輪旋轉后的因子載荷陣為A，則m-1mA=AT12丁詢T(m4)m=A|丨|1Tkj=AC1k=1j=k十由A算出的方差記為Vo若第一輪旋轉后的因子載荷陣A未達到要求，則對A進行第

21、二輪旋轉第二輪需進行C；次配對旋轉。設第二輪旋轉后的因子載荷陣為A，則mJmA二AT12T1m_T(m切二A：:Tkj=A(1)C2二AC1C2kj土卡由A算出的方差記為v（2）如此重復旋轉，得到V的一個非降序列V蘭V蘭V蘭V蘭因為因子載荷的絕對值不大于1,故此序列有上界，序列有極限，記為因此，只要循環(huán)次數(shù)k充分大，就有V7?J?)4?4(xX)結論1回歸法因子得分為證明在因子模型x=卩+Af+Sf中，假設1服從(m+p)維的正態(tài)分布，由條件乜丿E(f)=OE()=4V(f)=diag(1,1,，1)=1Ve)=D=diag(S2F；Fp)Cov(f)=0(07”f、V=E口f，(x-卩門1、

22、x-打7”f、V=E口f，(x-卩門1、x-打=E(x丿iE(x)丿屮丿;frf(x巧(x_4)f，(x_4)(x_yE(ff)Ef(xA)A=.E(x曰口E(x-當(x嘰jiEf(Af乙E(Af+g)fl工J_廣IA八J.由正態(tài)分布的剖分性質(zhì)可知，在x給定的條件下，f的條件數(shù)學期望為f=E(fx)=A匕(x-二)再由協(xié)差陣的分解式=AAD，有f二A(AAD)(x-)111=(IADA)AD(x-J或者f=(iada)ad(x7)f即為回歸法得到的因子得分，也稱為湯姆森(Thompson，佃51得分在實際應用時：用估計值xA、S分別代替人A、匕；或者用x、A、療分別代替丿、A、D即可得到的因子

23、得分f。但傾向于用前者。結論2回歸法因子得分?是f的(條件期望意義下的)有偏估計,即E(f|f)=f_(I+八。卞)十工f證明假定f與；相互獨立，由回歸法因子得分f的估計式E(f|f)=(l+ADA)AQADE(Af+町f1=(lADJA)JADJADJAf=(lADA)(ADJAI-l)f二f一(1ADJA)Jf得證。結論3回歸法因子得分?的平均估計誤差為E(?-f)(?-f)，(lADA)證明因為?-f=(lAD，A)AD，(Af；)-f=(lADA)AD；-(1ADA)f所以E(1?-f)(?-f):=(lAD，A)ade(二)DA(IADJA)J(lADA)E(ff)(1AD，A)=(

24、lAD，A)(ADA1)(1ADA)11=(lADA)證畢。結論4回歸法的平均估計誤差小于加權最小二乘法平均估計誤差比較兩者的平均估計誤差加權最小二乘法E(?-f)(?-ff=(ADJA)_1回歸法E(?-f)(?-f)=(lADA)，注意到(ADA)-(1ADA)是一正定矩陣，即可得出結論。綜上所述，討論了以下兩種因子得分求法三、注因子得分性質(zhì)平均估計誤差加權最小二乘法Bartlett?tADAADT*-X)無偏(Ada)*回歸法Thompson=A(A?+D)(x-X)=(i+ADaAAD4(xiX)有偏(l+4。)-*因子分析帶有很大的主觀性，實例中都是用較少的公共因子對問題提供了較合理

25、的解釋。但大量的實踐表明，因子分析有時并不能都能給出合理的解釋和有些統(tǒng)計方法一樣，也沒有一個定量的標準判斷因子分析結果的優(yōu)劣。一般來說，若研究者仔細考察了所有結果，滿意地解釋了公共因子的意義，那么這項應用就可以認為是成功的。6因子分析在SPSS中的實現(xiàn)、SPSS中因子分析的計算步驟:Analyze一;DataReduction（數(shù)據(jù)降維）；Factor（因子分析）兒varimaxrotation最大方差旋轉Analyze一DataReduction一;FactorFactorAnalysis因子分析Variables移入想要分析的變量名SelectionVariable受限制的變量Descri

26、ptives扌田述統(tǒng)計里Extraction提?。ü蜃樱┑姆椒≧otation旋轉方式Scores因子得分Option選項Descriptives描述統(tǒng)計量Statistics統(tǒng)計量Univariatedescriptive單變量描述統(tǒng)計量均值、標準差等Initialsolution初始分析結果公因子方差CorrelationMatrixCoefficient系數(shù)一相關系數(shù)矩陣Inverse相關陣的逆矩陣Significancelevel顯者性水平單邊檢驗的水平*Reproduced再生相關陣Determinant相關陣的行列式Anti-image鏡像相關陣KMOandBartletttes

27、tofsphericity給出樣本充足度的Kaisex-Meyer-Olkin測度，檢驗變量間的偏相關是否很??；Bartlett檢驗，檢驗相關陣是否單位陣，因子模型是否合適。*共性方差在“再生相關陣”的對角線上Extraction因子提取F日ctoAnBlysis;ExtBctio門Mlhad;Mlhad;Principalcampgntrnis-Analyze(*Correlationmatrix廣CovariancematrixDisplay|7UnrotatedfactorsolutionCScreeplotContinueCancelMaximumIteratioinsforConve

28、rgence：|25Method方法Principalcomponents主成分法Unweightedleastsquares不加權最小二乘法Generalizedleastsquares普通最小二乘法Maximumlikelihood最大似然法Principalaxisfactoring主因子法Alphafactoring因子法Imagefactoring鏡像因子法Analyze分析CorrelationMatrix根據(jù)相關陣進行分析Covariancematrix根據(jù)協(xié)差陣進行分析Extract因子提取Eigennvaluesover提取大于此數(shù)的特征根Numderoffactors提取特

29、征根的個數(shù)MaximumInterationforConvergence最大收斂的迭代次數(shù)DisplayUnrotatedfactorsolution未旋轉的因子Screeplot碎石圖MaximumIteratioinsforConvergence：|25Method方法Principalcomponents主成分法Unweightedleastsquares不加權最小二乘法Generalizedleastsquares普通最小二乘法Maximumlikelihood最大似然法Principalaxisfactoring主因子法Alphafactoring因子法Imagefactoring鏡

30、像因子法Analyze分析CorrelationMatrix根據(jù)相關陣進行分析Covariancematrix根據(jù)協(xié)差陣進行分析Extract因子提取Eigennvaluesover提取大于此數(shù)的特征根Numderoffactors提取特征根的個數(shù)MaximumInterationforConvergence最大收斂的迭代次數(shù)DisplayUnrotatedfactorsolution未旋轉的因子Screeplot碎石圖Extract燈Eigenvaluesover：廣Numberoffactors：*不加權最小二乘法使觀測陣與再生陣的差的平方和最小RotationRotation因子旋轉Fd

31、ctoAnBlysi邑：RotationMethodIBJUIB.I76資產(chǎn)負A-.403.501.543.4351.000.451-.3)99獲利數(shù)A-.468.246-.049-.261.4511.000-.4154銷售增A.804-.458-.029-.276-.399-4541.)00資積累A.975-.639-.269-.318-.274-462785表2特征根TotalVarianeeExplainedExtractonMethod:PrineipalComponentAnalysis.InitialEigenvaluesExtractionSuinsofSquaredLoadin

32、gsRotaComponentT)tal%ofVaianceCumulative%Total%ofVarianeeCumlulative%Total14.26153.26053.26i04.26153.26053.2603.0621.77122.14375.4()31.77122.14375.4031.983.97712.2158767.97712.21587.6171.334.6007.50495.1：!1.6007.50495.1211.235.2072.59097.7116.1211.51599.22!675.850E-02.73199.95i883.396E-034.2!45E-021

33、00.0()0從表2可看出，采用4個主成分即可使得貢獻率達到95%以上表3因子載荷矩陣（未旋轉）ComponentMatrixaExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.Component1234凈資產(chǎn)A-.939.215.231-8.93E-02總產(chǎn)報A.861.2711.511E-02.333資積累A-.858.330.313-.124銷售增A-.757.444.219.324資產(chǎn)負A.653.175.626-.355總產(chǎn)周A.601.692.205.283獲利數(shù)A.462-.659.532.102流資周A.571.633-.246-.380a

34、.4componentsextracted.從表3可看出，各主成分不易得到合理的解釋，故進行因子旋轉（采用最大方差旋轉）。表4因子旋轉后的因子載荷RotatedComponentMatrixaExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.Component1234資積累A.937-.274-1.26E-026.688E-02凈資產(chǎn)A.912-.376-.1301.122E-02銷售增A.9089.922E-02-.297-3.88E-02總產(chǎn)周A-1.97E-0

35、2.919.253.235總產(chǎn)報A-.497.807.1624.673E-02資產(chǎn)負A-.171.332.9141.282E-02流資周A-.270.388.306.784獲利數(shù)A-.4281.271E-02.454-.743a.Rotationconvergedin7iterations.aaa從表4可看出，通過因子旋轉：第1公因子可看成是“資本（保值增值）積累率”（.937）、“凈資產(chǎn)收益率”（.912）、“銷售增長率”（.908）的綜合；一效益因子第2公因子可看成是“總資產(chǎn)周轉率”（.919）、“總資產(chǎn)報酬率”（.807）的綜合；一營運因子第3公因子主要反映了“資產(chǎn)負債率”（.914）的

36、信息；一比例因子第4公因子主要反映了“流動資產(chǎn)周轉率”（.784）、“已獲利息倍數(shù)”（-.743）的對比關系；一比例因子表5旋轉矩陣ComponentTransformationMatrixComponent12341-.763.518.383.0602.475.578.062.6613.432.173.710-.5284.076.607-.587-.530ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.表6因子得分總效益運行負債？企業(yè)第1因子得分f1第2因子得分

37、f2第3因子得分f3第4因子得分f46-1.636771.47317.68311.877703-.60642-.38363-1.99181-.7349712-.79999-.165461.56411.379099-.397461.27904.38570-1.353787-.38101-.47074-.65062.549512-.46450-1.29360-.091051.572795-.35433-1.31250.88754-2.0631810.17223-.27193-.71064-.183551.42222.99604-1.14216.440318.58504-.11589-.19243-

38、.08885111.47615-.93657.86716.6646041.984831.20207.39109-.05965表6是各企業(yè)的的4個公因子得分表7各企業(yè)的因子得分排序總效益企業(yè)f141.9848111.476280.585010.4222100.17225-0.35437-0.38109-0.39752-0.46453-0.606412-0.80006-1.6368運行企業(yè)f261.473291.279041.202110.99608-0.115912-0.165510-0.27193-0.38367-0.470711-0.93662-1.29365-1.3125負債企業(yè)f3121

39、.564150.8875110.867260.683140.391190.38572-0.09118-0.19247-0.650610-0.71061-1.14223-1.9918？企業(yè)f421.572860.8777110.664670.549510.4403120.37914-0.05978-0.088910-0.18363-0.73509-1.35385-2.0632綜合排序可采用簡單的辦法：求各企業(yè)的4個因子得分之和，分數(shù)小的排在前。因SPSS中指標名稱只能容納4個漢字，指標名稱簡化了，對照如下：凈資產(chǎn)a凈資產(chǎn)收益率總產(chǎn)報a總資產(chǎn)報酬率總產(chǎn)周a總資產(chǎn)周轉率流資周a流動資產(chǎn)周轉率資產(chǎn)負a

40、資產(chǎn)負債率獲利數(shù)a已獲利息倍數(shù)（1）銷售增a銷售增長率資本（保值增值）積累資積累a率主營利潤主營業(yè)務利潤率贏利現(xiàn)金贏利現(xiàn)金保障倍數(shù)成本費用成本費用利潤率存貨周轉存貨周轉率應收帳款應收帳款周轉率不良資產(chǎn)不良資產(chǎn)比率現(xiàn)金負債現(xiàn)金流動負債比率速動比率速動比率例三經(jīng)濟發(fā)展數(shù)據(jù)x1GDPX2居民消費水平X3固定資產(chǎn)投資X4職工平均工資于秀林p.163。X5貨運周轉量X6居民消費價格指數(shù)X7商品零售價格指數(shù)X工業(yè)總產(chǎn)值1、主成分估計程序與數(shù)據(jù)0全部數(shù)據(jù).xls。王學民例四男子徑賽數(shù)據(jù)八項男子徑賽運動記錄Xi:100米/秒X2:200米/秒X3:400米/秒X4:800米/秒p.251。X5:1500米/秒

41、X:5000米/秒X7:10000米/秒X8:馬拉松/分一、主成分估計1、從相關矩陣求解因子載荷矩陣1、從相關矩陣求解因子載荷矩陣A在“Analyze”中選擇“Correlationmatrix”2、提取2個公共因子一一在“Extract”中選擇2。3、顯示殘差矩陣在“DescriptiveS中選擇“Reproduce”4、其他采用默認值得到如下結果：ComniunalitiefInithlExtractionnun1.00C.360M2001.000.939M01.000J8S2MBOO1.000.300M15D01.000.938M50001.000M100001.000IMA1.00CE

42、xtractionMethod:PirincipdalComponentAnalysis.上表第2列為共性方差ComponentMatrix16Component12M100M200hMNMB00MLEOOMEOOOM10000MAA17蘇7JlfJ49,555,S36,S44JB80.531.432.2331.164E-C2-.131-.292-2&7-.411Extr匚tionMethod:PrinidpalComponentAnlysiEa-2companents電xtra匚t色ch上表第1列為fl的因子載荷，第2列為f2的因子載荷。ReproducedCorrelVivnsEidTiG

43、tiQhIWhadiPrincipalCompflrifintAhlyxiiM100M2WM400M800M1500M5000MiomMARfiproducedlCorrelationM100.3S011-938時1為1.714J&llJ619占01MZQ0戲4.828W劇4.585M400舶斗.a?2B前i.S4S/IDM800.781JB28.371.300*.903期2.830M1500JH刀唇.94S909.898M500D11.730.90S.%eb対M1000QJ&94了97的2.943曲.373.949MA.SOI躺呂710.eoo.mX943*HsiduaPM100專JOBE低它弱雖D2*J.42E-Q28.453EHD31.391