用等價無窮小代換求冪指函數(shù)的極限

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)用等價無窮小代換求冪指函數(shù)的極限作者：楊鳳來源：科技視界2013年第34期【摘 要】本文討論了冪指函數(shù)求極限的方法，重點(diǎn)探討了00，0，1型冪指函數(shù)在求極限的過程中利用等價無窮小代換的問題，并提出了相應(yīng)的定理，給出了證明以及實(shí)例?！娟P(guān)鍵詞】冪指函數(shù)；等價無窮小；極限Research on the Limit of Power-Exponential Function by Equivalent InfinitesimalYANG Feng（Hubei Universit

2、y of Arts and Science， College of Mathematical and Computer Science， Xiangyang Hubei ）【Abstract】How to solve the limit of the power-exponential function has been discussed. The methods and examples are showed as to how to apply the methods to calculate limit， especially by the replacement of equival

3、ent infinitesimal. The theorems have been provided and proofed.【Key words】The power-exponential function；Equivalent infinitesimal；Limit1 問題提出在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中，對于冪指函數(shù)求極限的問題，共有兩處提到，包括重要極限和洛必達(dá)法則。但是，關(guān)于等價無窮小代換求冪指函數(shù)極限的問題大多都沒有特別講解。一般得，只針對于分式型的函數(shù)如何用等價無窮小代換求極限做了講解。在教學(xué)過程中，有學(xué)生在一開始的學(xué)習(xí)中就遇到較為復(fù)雜的冪指函數(shù)求極限的問題，就不知道如何計算了。課本中有一道

4、極限求解題目，具體如下：（）這是一個典型的1型的冪指函數(shù)求極限問題。大多數(shù)學(xué)生在這里第一反應(yīng)就是用重要極限來求解，但此題用重要極限不太容易看出來。如果了解等價無窮小的相關(guān)定理，那么這道題就迎刃而解了。鑒于此種情況，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)了冪指函數(shù)的求極限的方法，著重提出了等價無窮小求解冪指函數(shù)極限的看法。2 冪指函數(shù)求極限的其他方法冪指函數(shù)的極限類型很多，有確定型和不定式之分。對于確定型的冪指函數(shù)可以直接底數(shù)與指數(shù)求極限。而對于不定式型的冪指函數(shù)，通常采用重要極限和洛必達(dá)法則兩種方法。2.1 重要極限對1型的冪指函數(shù)極限問題，考慮利用重要極限（1+）x=e及其變形公式（1+x）=e求極限

5、。例1 求極限（cosx）csc2x.解：（cosx）csc2x=1+（cosx-1）=1+（cosx-1）=e=e2.2 洛必達(dá)法則另外，對00型，0型，1型冪指函數(shù)的極限，可以通過將冪指函數(shù)化為對數(shù)恒等式y(tǒng)=elny的形式，轉(zhuǎn)換為型或型不定式，然后再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。例2 求極限（1+）x.解：（1+）x=e=e因?yàn)椋?+）=0，=0由洛必達(dá)法則，得：（1+）=e=e=e3 用等價無窮小代換求冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)00型，0型，1型這三種類型不定式的求極限問題，除了運(yùn)用前兩種方法外，還可以使用等價無窮小的代換。這里對這三種類型不定式進(jìn)行全面探討，將局限于分式型不定式的等價無窮小代換原

6、理，推廣到冪指函數(shù)求極限問題中去，從而在理論上較系統(tǒng)的解決了冪指函數(shù)求極限的問題。3.1 00型的等價無窮小代換引理1 設(shè) 0， 0為某變化過程中的無窮小。若 ，則.證明：，所以lim=lim=lim=1，從而有定理1 0，0和，均為某變化過程中的無窮小。若，且lim=A，則有l(wèi)im=lim=A證明：因?yàn)椋?所以然后就有l(wèi)imln=lim=lim=limlnlim=lime ln =lime ln =lim=A此定理1說明，當(dāng)lim=A時， lim中的和均可代換為等價無窮小和。例3 求（sin x）tan.（00型）分析：因?yàn)閟in x=0，tan2x=0，即極限呈00型。解：當(dāng)x0+時，si

7、nxx，tan2x2x由定理1，得：（sin x）=x2x=e=e=e0=13.2 0型的等價無窮小代換0型的極限可寫為lim=lim，其中0和均為某變化過程中的無窮小。定理2 0，0和，均為某變化過程中的無窮小。若，且lim=A，則lim=lim=A由定理1可得定理2。此定理2說明，當(dāng)lim=A時，和均可代換為等價無窮小和。例4 求（0型）分析：因?yàn)?，sin x=0，即極限呈0型。解： 當(dāng)x0時，ln（1+x）x，sinxx由定理2，得：=（）=e=e0=13.3 1型的等價無窮小代換1型的極限可寫為lim（1+），其中，均為某變化過程中的無窮小。引理2 設(shè)，為某變化過程中的無窮小。若li

8、m=A，則有l(wèi)im（1+）=e=eA證明：lim（1+）=lime=eln（1+）就有l(wèi)im（1+）=e=e=eA所以，剛剛文章一開始的那道求極限的題目，可以按照等價無窮小代換來求解。例5 求極限（）（1型）.解：當(dāng)x0，1，時，（）=1+（-1）=1+=.由引理2，得：（）=e定理3 設(shè)，均為某變化過程中的無窮小。若，且lim=A，則有l(wèi)im（1+）=lim（1+）=eA證明：因?yàn)閘im=A，由等價無窮小代換原理，得：lim=limlim（1+）=e=e=lim（1+）=eA這說明，當(dāng)lim=A時，lim（1+）中的無窮小量，可代換為等價無窮小，。例6 （1+tan x）求極限（1型）.分析：因?yàn)椋?+tan x）=1，=，即極限呈1型。解： 當(dāng)x0+，tanxx，ln（1+x）x時，=1，由定理3，得：（1+tan x）=e【參考文獻(xiàn)】1華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.4版.北京：人民教育出版社，2011，9.2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）M.6版.高