埃爾米特多項(xiàng)式

1、埃爾米特多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)中，埃爾米特多項(xiàng)式是一種經(jīng)典的正交多項(xiàng)式族，得名于法國(guó)數(shù)學(xué)家夏 爾埃爾米特。概率論里的埃奇沃斯級(jí)數(shù)的表達(dá)式中就要用到埃爾米特多項(xiàng)式。 在組合數(shù)學(xué)中，埃爾米特多項(xiàng)式是阿佩爾方程的解。物理學(xué)中，埃爾米特多項(xiàng)式 給出了量子諧振子的本征態(tài)。定義埃爾米特多項(xiàng)式有兩種常見定義。第一種是:心=(-1)%如法i這是概率論中較為常用的形式（記作：!：*廠）。有時(shí)也會(huì)使用另一種定義:(2)乩=(-iyv-孫L這是物理學(xué)中較為常用的形式（記作：/七：。這兩種定義并不是完全等價(jià) 的。它們之間的關(guān)系是：下文中一般會(huì)使用第一種定義，也是概率學(xué)家偏好的定義。因?yàn)槭菢?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（數(shù)學(xué)期望等于0，標(biāo)準(zhǔn)差

2、等于1）的概率密度函數(shù)前六個(gè)概率學(xué)的埃爾米特多項(xiàng)式的表達(dá)式為:概率學(xué)和物理學(xué)中的埃爾米特多項(xiàng)式序號(hào)概率學(xué)物理學(xué)時(shí)）11?。2x時(shí)）t21JL- 14t2-2工區(qū)-3jc既12工也3)工 4 一6 + 316按一 48工+ 12瑚彳r5 10t3 + 15j32 160 + 120/前六個(gè)（概率論中的）埃爾米特多項(xiàng)式的圖像。前六個(gè)（物理學(xué)中的）埃爾米特多項(xiàng)式的圖像。性質(zhì)多項(xiàng)式H是一個(gè)n次的多項(xiàng)式。概率論的埃爾米特多項(xiàng)式是首一多項(xiàng)式（最高 次項(xiàng)系賀等于1）,而物理學(xué)的埃爾米特多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)等于2n。正交性多項(xiàng)式H的次數(shù)與序號(hào)n相同，所以不同的埃爾米特多項(xiàng)式的次數(shù)不一樣。對(duì) 于給定時(shí)權(quán)函數(shù)w，埃爾米特多項(xiàng)式的序列將會(huì)是正交序列。/ 垠2/2L-（對(duì)于概率論的埃爾米特多項(xiàng)式）_ 2L（對(duì)于物理學(xué)的埃爾米特多項(xiàng)式）也就是說，當(dāng)m豐n時(shí)：/OO丑（工）乩（工）口3）/2?X（對(duì)于概率論的埃爾米特多項(xiàng)式）Hn（x）Hn（x） ex dx =血 2nv-/ X（對(duì)于物理學(xué)的埃爾米特多項(xiàng)式）完備性在所有滿足2|f3）| dx odfx)gx)wx)dx的