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1、 給學(xué)生受益一生的教育高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線與方程 學(xué)生版 第 頁第一(dy)講 橢圓題型一 橢圓(tuyun)定義的應(yīng)用定義(dngy):平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓定義的集合語言是解決計(jì)算問題的關(guān)鍵,橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形,以橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的中,若,注意以下公式的運(yùn)用:例1 已知的頂點(diǎn)B,C在橢圓上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則的周長是 例2 已知橢圓C:,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,
2、則= 變式1 已知橢圓(tuyun)的焦點(diǎn)(jiodin)在y軸上,若焦距為4,則m= 題型二 求橢圓(tuyun)的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 標(biāo)準(zhǔn)方程中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求橢圓方程有兩種方法:定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置,可寫出橢圓方程待定系數(shù)法:這種方法是求橢圓的常用方法,一般步驟是:第一步,做判斷,焦點(diǎn)在x軸上,還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能。第二步,設(shè)方程,根據(jù)上述判斷,設(shè)方程或第三步,找關(guān)系,根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,c的方程組第四步,得橢圓(tuyun)方程例3 求過點(diǎn),且與橢圓(tuyun)
3、有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)方程例4 已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在x軸上,離心率,求橢圓E的方程。變式2 已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸圍對(duì)稱軸的橢圓上,點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為,過P作長軸的垂線恰好經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),求此橢圓的方程。題組練習(xí)已知橢圓E:的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為 已知中心在原點(diǎn)的橢圓(tuyun)C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程(fngchng)是 已知橢圓(tuyun)C:的離心率為,雙曲線的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓
4、C的方程為 設(shè)分別是橢圓E:的左右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),若,軸,則橢圓E的方程為 若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)()作圓的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓方程為 已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)求E的方程設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線L與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求L的方程如圖所示,在平面(pngmin)直角坐標(biāo)系xOy中,分別(fnbi)是橢圓的左右(zuyu)焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接B并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連接若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且=,求橢圓的方
5、程若,求橢圓離心率e的值圓的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P求點(diǎn)P的坐標(biāo)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P,且與直線L:交于A,B兩點(diǎn),若的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長為2,離心率為求橢圓(tuyun)C的方程A,B為橢圓(tuyun)C上滿足的面積為的任意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C于點(diǎn)P,設(shè),求實(shí)數(shù)t 的值題型三 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較橢圓的幾何(j h)性質(zhì)分類橢圓(tuyun)本身固有的性質(zhì):長軸長,短軸長,焦距、離心率
6、等與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)(xngzh):頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì),求橢圓的離心率有兩種方法:求出a,c代入公式只要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次式,然后等式兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或的方程,解方程即可得e例5 (1)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是 已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為,焦點(diǎn)為,若四邊形是正方形,則這個(gè)橢圓的離心率e等于 例6 設(shè)e是橢圓(tuyun)的離心率(xn l),且,則實(shí)數(shù)(shsh)k的取值范圍是 變式3 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓上存在一點(diǎn)P,使=,則橢圓離心率的取值范
7、圍是 題組練習(xí)設(shè)橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為,P是C上的點(diǎn),,則C的離心率為 已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF。若,則C的離心率為 橢圓(tuyun)的左右頂點(diǎn)(dngdin)分別是A,B,左右焦點(diǎn)分別是.若成等比數(shù)列(dn b sh li),則此橢圓的離心率為 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為,過作x軸的垂線與C相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)D,若AD,則橢圓C的離心率等于 過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C:相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率是 橢圓T:的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為2c,若直線與橢圓T的一個(gè)交點(diǎn)M滿足,則該橢圓的離心率是 設(shè)分別是橢圓C:的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直,直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N若直線(zhxin)MN的斜率為,求C的離心率(xn l)若直線(zhxin)MN在y軸上的截距為2,且,求a,b設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若直線AP與BP的斜率之積為,求橢圓的離心率若,證明直線OP的斜率k滿足能力再提升規(guī)律1 三角形的三邊長分別是,e為橢圓的離心率例1 過橢圓(tuyun)的左焦點(diǎn)F且斜率為1的直線(zhxin)與橢圓交
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