第七課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切（一）

1、- PAGE 4 -第七課時(shí) 二倍角的正弦、余弦、正切(一)教學(xué)目標(biāo)：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明；引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù).教學(xué)過程：.課題導(dǎo)入前一段時(shí)間，我們共同探討了和角公式、差角公式，今天，我們繼續(xù)探討一下二倍角公式.我們知道，和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當(dāng)兩角相等時(shí)，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?請(qǐng)同學(xué)們?cè)囃?先回憶和角公式sin(

2、)sincoscossin當(dāng)時(shí)，sin()sin22sincos即：sin22sincos(S2)cos()coscossinsin當(dāng)時(shí)cos()cos2cos2sin2即：cos2cos2sin2(C2)tan() eq f(tantan,1tantan) 當(dāng)時(shí)，tan2 eq f(2tan,1tan2) .講授新課同學(xué)們推證所得結(jié)果是否與此結(jié)果相同呢?其中由于sin2cos21，公式C2還可以變形為：cos22cos21或：cos212sin2同學(xué)們是否也考慮到了呢?另外運(yùn)用這些公式要注意如下幾點(diǎn)：(1)公式S2、C2中，角可以是任意角；但公式T2只有當(dāng) eq f(,2) k及 eq f(

3、,4) eq f(k,2) (kZ)時(shí)才成立，否則不成立(因?yàn)楫?dāng) eq f(,2) k，kZ時(shí)，tan的值不存在；當(dāng) eq f(,4) eq f(k,2) ，kZ時(shí)tan2的值不存在).當(dāng) eq f(,2) k(kZ)時(shí),雖然tan的值不存在，但tan2的值是存在的，這時(shí)求tan2的值可利用誘導(dǎo)公式：即：tan2tan2( eq f(,2) k)tan(2k)tan0(2)在一般情況下，sin22sin例如：sin eq f(,3) eq f(r(3),2)2sin eq f(,6) 1；只有在一些特殊的情況下，才有可能成立當(dāng)且僅當(dāng)k(kZ)時(shí)，sin22sin0成立.同樣在一般情況下cos2

4、2costan22tan(3)倍角公式不僅可運(yùn)用于將2作為的2倍的情況，還可以運(yùn)用于諸如將4作為2的2倍，將作為 eq f(,2) 的2倍，將 eq f(,2) 作為 eq f(,4) 的2倍，將3作為 eq f(3,2) 的2倍等等.下面，來看一些例子：例1已知sin eq f(5,13) ，( eq f(,2) ，)，求sin2，cos2，tan2的值.解：sin eq f(5,13) ，( eq f(,2) ，)cos eq r(1sin2) eq r(1（ eq f(5,13) ）2) eq f(12,13) sin22sincos2 eq f(5,13) ( eq f(12,13)

5、) eq f(120,169) ， cos212sin212( eq f(5,13) )2 eq f(119,169) ，tan2 eq f(sin2,cos2) eq f(120,169) eq f(169,119) eq f(120,119) .練習(xí)題：1.已知cosm，在第二象限，求sin2，cos2，tan2的值.解：cosm，在第二象限.sin eq r(1cos2) eq r(1m2) sin22sincos2 eq r(1m2) m2m eq r(1m2) cos22cos212m21tan2 eq f(sin2,cos2) eq f(2m eq r(1m2) ,2m21) 或由

6、tan eq f(sin,cos) eq f( eq r(1m2) ,m) tan2 eq f(2tan,1tan2) eq f(2m eq r(1m2) ,2m21) 2.化簡(jiǎn)cos(15)cos(15) eq f(r(3),2)cos2分析：由于觀察到此式中的角出現(xiàn)了15、15與2，另外還出現(xiàn)了二次式，所以要用二倍角余弦公式的變形式達(dá)到降“次”及統(tǒng)一角的目的.解：cos(15)cos(15) eq f(r(3),2)cos2 eq f(1cos2(15),2) eq f(1cos2(15),2) eq f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) cos(230)cos(230) eq

7、 f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) cos2cos30sin2sin30cos2cos30sin2sin30 eq f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) 2cos2cos30 eq f(r(3),2)cos21 eq f(r(3),2)cos2 eq f(r(3),2)cos21評(píng)述：二倍角公式的等價(jià)變形：sin2 eq f(1cos2,2) ，cos2 eq f(1cos2,2) ，可以進(jìn)行“升(降)冪”的變換，即可將“二次式”與“一次式”互化.例2若270360，化簡(jiǎn)： eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f

8、(1,2) cos2) ) 解：cos22cos21，cos2cos2 eq f(,2) 1 eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) cos2) ) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) （2cos21）) ) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r(cos2) ) 又270360 135 eq f(,2) 180原式 eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) cos) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) （2cos2

9、 eq f(,2) 1）) eq r(cos2 eq f(,2) ) cos eq f(,2) 例3求sin10sin30sin50sin70的值.解：sin10cos80 sin50cos40sin70cos20原式 eq f(1,2) cos80cos40cos20 eq f(1,2) eq f(cos80cos40cos20sin20,sin20) eq f(1,2) eq f(cos80cos40sin40 eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,2) eq f(cos80sin80 eq f(1,2) eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,2) eq f(sin160 eq f(1,2) eq f(1,2) eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,16) 例4求證：8cos4cos44cos23證明：8cos48(cos2)28( eq f(1cos2,2) )22(cos222cos21)2( eq f(1cos4,2) )4cos22cos44cos23