MATLAB解方程與函數(shù)極值課件(PPT 42頁)

1、第7章 MATLAB解方程與函數(shù)極值7.1 線性方程組求解7.2 非線性方程數(shù)值求解7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法7.4 函數(shù)極值第1頁，共42頁。7.1 線性方程組求解7.1.1 直接解法1利用左除運算符的直接解法 對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符“”求解： x=Ab第2頁，共42頁。例7-1 用直接解法求解下列線性方程組命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab第3頁，共42頁。2利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU

2、分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。第4頁，共42頁。(1) LU分解矩陣的LU分解就是將一個矩陣表示為一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積形式。只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進行的。L,U=lu(X)：產生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。L,U,P=lu(X)：產生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當然矩陣X同樣必須是方陣。第5頁，共42頁。例7-2 用LU分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1

3、;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：L,U ,P=lu(A);x=U(LP*b)第6頁，共42頁。 (2) QR分解對矩陣X進行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進行。Q,R=qr(X)：產生一個一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足X=QR。Q,R,E=qr(X)：產生一個一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿足XE=QR。實現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。第7

4、頁，共42頁。例7-3 用QR分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)第8頁，共42頁。 (3) Cholesky分解 如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉置，即X=RR。 R=chol(X)：產生一個上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。 R,p=chol(X

5、)：這個命令格式將不輸出出錯信息。當X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結果相同；否則p為一個正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。 第9頁，共42頁。例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)? Error using = cholMatrix must be positive definite命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣。第10頁，共42頁。7.1.2 迭代解法

6、 迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1Jacobi迭代法 對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii0(i=1,2,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為： x=D-1(L+U)x+D-1b 與之對應的迭代公式為： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 這就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。第11頁，共42頁。Jacobi迭代法

7、的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end第12頁，共42頁。例7-5 用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)第13頁，共42頁。2Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代過程中，計

8、算時，已經得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些。第14頁，共42頁。Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=

9、G*x0+f; n=n+1;end第15頁，共42頁。例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)第16頁，共42頁。例7-7 分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,

10、0;0;0)第17頁，共42頁。7.2 非線性方程數(shù)值求解7.2.1 單變量非線性方程求解 z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點。一個函數(shù)可能有多個根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個根。tol控制結果的相對精度，缺省時取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運算中顯示，為1時顯示，為0時不顯示，缺省時取trace=0。第18頁，共42頁。 例7-8 求f(x)=x-10 x+2=0在x0=0.5附近的根。 步驟如下： (1) 建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.

11、x+2; (2) 調用fzero函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758第19頁，共42頁。7.2.2 非線性方程組的求解 X=fsolve(fun,X0,option) 其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項設定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個選項，用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個選項，則可以調用optimset()函數(shù)來完成。例如，Display選項決定函數(shù)調用時中間結果的顯示方式，其中off為不顯示，iter表示每步都顯示，final只顯示最終結果

12、。 optimset(Display,off) 將設定Display選項為off。第20頁，共42頁。 例7-9 求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調用fsolve函數(shù)求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x = 0.6354 0.3734第21

13、頁，共42頁。將求得的解代回原方程，可以檢驗結果是否正確，命令如下：q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可見得到了較高精度的結果。第22頁，共42頁。7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法7.3.1 龍格庫塔法簡介7.3.2 龍格庫塔法的實現(xiàn) 基于龍格庫塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個列向量。tspan形式為t0,tf,表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向

14、量。t和y分別給出時間向量和相應的狀態(tài)向量。第23頁，共42頁。例7-10 設有初值問題試求其數(shù)值解，并與精確解相比較(精確解為y(t)=)。 (1) 建立函數(shù)文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解tyY1%y為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似。第24頁，共42頁。例7-11 求解著名的Van der Pol方程 。選狀態(tài)變量：狀態(tài)方程：例7-12 有Lorenz模型的狀態(tài)方

15、程，取 試繪制系統(tǒng)相平面圖。第25頁，共42頁。 7.4 函數(shù)極值 MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調用格式為： x=fminbnd(fname,x1,x2) x=fminsearch(fname,x0) fminbnd函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點。fname是被最小化的目標函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fminsearch函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點，x0是求解的初始值向量。第26頁，共42頁。 MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f

16、(x)在(a,b)的最大值，所以fminbnd(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的最大值。第27頁，共42頁。 例7-13 求f(x)=x3-2x-5在0,5內的最小值點。 (1) 建立函數(shù)文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5; (2) 調用fmin函數(shù)求最小值點。x=fmin(mymin,0,5)x= 0.8165第28頁，共42頁。第8章 MATLAB數(shù)值積分與微分8.1 數(shù)值積分8.2 數(shù)值微分第29頁，共42頁。 8.1 數(shù)值積分8.1.1 數(shù)值積分基本原理 基本思想:將整個積分區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xi,xi+1

17、，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題 而每個小的子區(qū)間上的定積分的值可以近似通過梯形攻勢等近似求得，這樣的求積方法稱為數(shù)值求技。 第30頁，共42頁。8.1.2 數(shù)值積分的實現(xiàn)方法1變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調用格式為： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。返回參數(shù)I即

18、定積分值，n為被積函數(shù)的調用次數(shù)。第31頁，共42頁。 例8-1 求定積分 。 (1) 建立被積函數(shù)文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S = 0.9008n = 77第32頁，共42頁。2牛頓柯特斯法 基于牛頓柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調用格式為： I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出

19、定積分的值，且一般情況下函數(shù)調用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。第33頁，共42頁。例8-2 求定積分 。(1) 被積函數(shù)文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2) 調用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8(fx,0,pi)I = 2.4674第34頁，共42頁。例8-3 分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并比較函數(shù)的調用次數(shù)。調用函數(shù)quad求定積分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I =

20、 0.28579444254766n = 65第35頁，共42頁。 調用函數(shù)quad8求定積分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254754n = 33第36頁，共42頁。3被積函數(shù)由一個表格定義 在MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關系Y=f(X)。例8-4 用trapz函數(shù)計算定積分 。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函數(shù)關系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans = 0.2857968

21、2416393第37頁，共42頁。8.1.3 二重定積分的數(shù)值求解 調用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。第38頁，共42頁。例8-5 計算二重定積分(1) 建立一個函數(shù)文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調用次數(shù)f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 調用dblquad函數(shù)求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI = 1.57449318974494ki = 1038第39頁，共42頁。8.2 數(shù)值微分8.