高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：16.1極坐標(biāo)與參數(shù)方程59（修）

1、第二節(jié) 極坐標(biāo)與參數(shù)方程(選修4-4)考綱解讀1.理解坐標(biāo)系的作用.2.了解在直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中的點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置方法相比較，了解它們的區(qū)別.6.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.7.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、

2、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.8.掌握參數(shù)方程化普通方程的方法.命題趨勢探究 本章是新課標(biāo)新增內(nèi)容，屬選考內(nèi)容，在高考中可能有所體現(xiàn). 參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，是研究曲線的工具之一，值得特別關(guān)注.知識點(diǎn)精講一、極坐標(biāo)系 在平面上取一個定點(diǎn)，由點(diǎn)出發(fā)的一條射線 、一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標(biāo)系.點(diǎn)稱為極點(diǎn)，稱為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段的長度和從到的角度 (弧度制)來刻畫(如圖16-31和圖16-32所示). 這兩個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)對稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo). 稱為極徑，稱為極角.圖 16-31圖

3、16-32二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)為平面上的一點(diǎn)，其直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，由圖16-31和圖16-32可知，下面的關(guān)系式成立:或 （對也成立）.三、極坐標(biāo)的幾何意義表示以為圓心，為半徑的圓；表示過原點(diǎn)(極點(diǎn))傾斜角為的直線，為射線；表示以為圓心過點(diǎn)的圓. (可化直角坐標(biāo): .)四、直線的參數(shù)方程 直線的參數(shù)方程可以從其普通方程轉(zhuǎn)化而來，設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為，其中為直線的傾斜角)，代人點(diǎn)斜式方程: ,即.記上式的比值為,整理后得,也成立，故直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為傾斜角，直線上定點(diǎn)，動點(diǎn) ，為的數(shù)量，向上向右為正(如圖16-33所示). 圖 16-33五、圓的參數(shù)方程 若圓心為點(diǎn)，半徑

4、為，則圓的參數(shù)方程為.六、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.七、雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程為.八、拋物線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，參數(shù)的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)與頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)）.題型歸納即思路提示題型196 極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程思路提示 對于極坐標(biāo)方程給出的問題解答一般都是通過化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程求解.這里需注意的是極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系建立的對應(yīng)關(guān)系及其坐標(biāo)間的關(guān)系.例16.7 在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線()的距離是 .分析 將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解.解析 極坐標(biāo)系中的圓轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為，即，其

5、圓心為，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為：，即.圓心到直線的距離為.變式1在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_.解析解析由2sin ，得22sin ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0. 答案x2y22y0變式2 已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，求點(diǎn)A到直線l的距離.解析解由2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r

6、(2)，得2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )eq r(2)，yx1.由Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2).點(diǎn)A到直線l的距離deq f(|221|,r(2)eq f(5r(2),2).變式3 已知一個圓的極坐標(biāo)方程是，求此圓的圓心和半徑.解析 由圓的極坐標(biāo)方程得，得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為。例16.8(2015江蘇卷)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)40，求圓C的半徑.解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的

7、原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程化為22eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )40，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，(x1)2(y1)26，因此圓C的半徑為eq r(6).變式1 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程（參數(shù))所表示的圖形分別是( )A.圓、直線 B.直線、圓 C.圓、圓 D.直線、直線解析 由極坐標(biāo)方程得，則，即，故表示的圖形是圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消參數(shù)得，表示直線，故選A。變式2 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離

8、是 .解析 依題意，點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線，得，即。所以點(diǎn)P到直線l的距離。變式3 （2012陜西理15）直線與圓相交的弦長為 .解析 將極坐標(biāo)方程化為普通方程為與，聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)和，故弦長等于。題型197 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程思路提示 如果題目中已知的曲線為直角坐標(biāo)方程，而解答的問題是極坐標(biāo)系下的有關(guān)問題，這里要利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系式，將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.例16.9 【2015高考新課標(biāo)1，理23】在直角坐標(biāo)系中，直線:=2，圓：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（）求，的極坐標(biāo)方程；（）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為, ,求的面積.

9、【答案】（）,（）變式1 【2016高考新課標(biāo)理數(shù)1】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 QUOTE * MERGEFORMAT （t為參數(shù)，a0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=4cos .（I）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為=0，其中0滿足tan 0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解析【答案】（I）圓，；（II）1題型198 參數(shù)方程化普通方程思路提示已知直線或曲線的參數(shù)方程討論其位置關(guān)系、性質(zhì)問題一般要通過消參（代入法、加減法，三角法)轉(zhuǎn)化為普通方程解答.例16.10 若直線與圓(

10、為參數(shù))沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是 .解析 將圓的參數(shù)方程( 為參數(shù))化為普通方程，圓心，半徑.直線與圓無公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑，得或，即的范圍是.變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓圓心坐標(biāo)為 _，圓心到直線的距離為 .解析 直線l的方程為，圓C的方程為，其圓心為為，圓心到直線l的距離變式2 (2013湖北理16)在莊角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，直線與圓的極坐標(biāo)方程分別為（為非零數(shù)）與.若直線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且與圓相切，則橢圓的離心率為 .分

11、析 先將參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為普通方程，再根據(jù)直線過焦點(diǎn)，直線與圓相切建立關(guān)于橢圓方程中a,b,c的等式，再結(jié)合求得離心率。解析 由已知可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為。由，可得。即直線的普通方程為。又圓的普通方程為，不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)，則得，又因為直線l與圓O相切，所以，因此，即。整理，得，故橢圓的的離心率為。變式3 參數(shù)方程（是參數(shù)）的普通方程是 .解析 利用，故普通方程是，例16.11 已知動圓（是正常數(shù)，是參數(shù)），則圓心的軌跡是 .解析 由動圓得.圓心坐標(biāo)為（為參數(shù)），設(shè)，則，即為所求軌跡方程，所以圓心的軌跡是橢圓.變式1 方程表示的曲線是（ ） A. 線段 B. 雙曲線的一支 C.

12、圓弧 D. 射線解析 由方程。故選A變式2 已知直線（為參數(shù)），（為參數(shù)）.(1)當(dāng)時，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作的垂線，垂足為，為的中點(diǎn).當(dāng)變化時，求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.解析 （1）當(dāng)時，的普通方程為。的普通方程為。聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，。（2）設(shè)點(diǎn)，由題意，得，整理得。故點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。題型199 普通方程化參數(shù)方程思路提示 對于直線與圓錐曲線方程化為參數(shù)方程問題實質(zhì)是引入第三個變量的換元法，這里有代數(shù)換元（如拋物線的參數(shù)方程）或三角換元（如橢圓的參數(shù)方程）.例16.12 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值.分析 利用

13、橢圓的參數(shù)方程，建立與參數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用三角函數(shù)最值的求法，求解的最大值.解析 點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，則（為參數(shù)），則，故.變式1 已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析 （1）由圓的方程得，得。則可得的取值范圍是。，（2）若恒成立，則，因為，所以，故，得。所以的取值范圍是。變式2 直線過，傾斜角. （1） 寫出的參數(shù)方程； （2）與圓相交于兩點(diǎn)，求到兩點(diǎn)的距離之積.解析 （1）直線l的參數(shù)方程為（若M為l上的動點(diǎn)，則參數(shù)t是有向線段的數(shù)量）（2）解法一：將l的方程代入，則解法二：如圖16-43所示，連接OP并延長交圓于點(diǎn)C，反向延長交圓于點(diǎn)D，由相交弦定

14、理得，變式3 已知拋物線，點(diǎn)在軸的正半軸上，過的直線與相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若時，的斜率為，求以為直徑的圓的方程； (2)若存在直線使得成等比數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.解析 （1）若=1時，直線的斜率為1，則直線的方程為,設(shè),圓心，聯(lián)立方程，消去建立的一元二次方程得，所以，過焦點(diǎn)（1,0）,所以，那么以為直徑的圓的方程為.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入拋物線方程中得：，即，且成等比數(shù)列，則,即，得，故4.因此實數(shù)的取值范圍為.題型200 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化思路提示 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，需要通過普通方程這一中間橋梁來實現(xiàn)，先將參數(shù)方程（極坐標(biāo)方程）化為普通方程，再將

15、普通方程化為極坐標(biāo)方程（參數(shù)方程）.例16.13 (2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xacos t，,y1asin t)(t為參數(shù)，a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去t，得C1的普通方程x2(y1)2a2，曲線C1表示以點(diǎn)(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22

16、sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組eq blc(avs4alco1(22sin 1a20，,4cos .)若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)，a1.當(dāng)a1時，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上.所以a1.點(diǎn)撥(1)第(1)題將曲線C1的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第(2)題中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程的含義，消去，建立與直線C3：0的聯(lián)系，進(jìn)而求a.(2)由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決

17、，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.變式1在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ceq blc(rc)(avs4alco1(1，f(,4)，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長.解(1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(，)為圓C上的一個動點(diǎn)，則AODeq f(,4)或AODeq f(,4)，|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)或|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).所以圓C的極坐標(biāo)方程為2coseq bl

18、c(rc)(avs4alco1(f(,4).(2)由sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，得eq f(r(2),2)(sin cos )1，直線l的直角坐標(biāo)方程為xyeq r(2)0，又圓心C的直角坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)滿足直線l的方程，直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑2.最有效訓(xùn)練題60(限時45分鐘)1.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A. 一條射線和一個圓 B. 兩條直線 C. 一條直線和一個圓 D. 一個圓 2.圓的圓心的一個極坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 3. 若以直角坐標(biāo)系的原

19、點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為()A.eq f(1,cos sin )，0eq f(,2)B.eq f(1,cos sin )，0eq f(,4)C.cos sin ，0eq f(,2)D.cos sin ，0eq f(,4)4.直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為（ ）A. B. C. D. 5.過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若此直線與直線相交于點(diǎn)，則=（ ）A. B. C. D. 6.設(shè)曲線的參數(shù)方程( 為參數(shù))，直線的方程為，則曲線上到直線的距離為的點(diǎn)的個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 7.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為( 為參數(shù))，則圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為 .8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)，）和（為參數(shù)），則曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .9.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則= .10.在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，,求的面積.11.已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上的兩動點(diǎn)，若，求的最大值.12. 已知曲線（為參數(shù)），曲線.（1）若分別是曲線和曲線上的兩個動點(diǎn)，求線段長度的最小值