分行幾何報(bào)告

1、分形幾何讀書報(bào)告1、普通幾何學(xué)及不足普通幾何學(xué)研究的對(duì)象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的 線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。用通俗的話說，這些研究對(duì)象是 “規(guī)則的”圖形：光滑的曲線、曲面，或是光滑曲面圍成的立體圖形，等等。這些 研究對(duì)象在普通幾何學(xué)中有其度量方式，如一維的線可以求長(zhǎng)，二維的面可以求 面積，三維的體可以求體積等。但是，自然界中很多的物體不具有光滑的邊界。例如：山川的輪廓、云彩的 邊界、雪花的圖形等等。它們?cè)趥鹘y(tǒng)幾何學(xué)的意義上都是“不規(guī)則的圖形”，被 經(jīng)典的幾何學(xué)擱置一邊。對(duì)這一類對(duì)象，無法用普通幾何學(xué)的度量手段去度量他 們，如按圖1中的規(guī)律作無限細(xì)分后得到的

2、Koch曲線。圖1 Koch曲線對(duì)其求長(zhǎng)度會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著精度的提高，其長(zhǎng)度不斷增加，實(shí)際其長(zhǎng)度為無窮大， 但若對(duì)其求面積，又會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著精度的增加，其面積不斷減小，實(shí)際其面積為零。這樣，用普通幾何學(xué)的知識(shí)無法研究這些對(duì)象，需要有新的理論出現(xiàn)。2、分形幾何學(xué)的產(chǎn)生在二十世紀(jì)七十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國(guó)的 海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問題這依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度。如果用公里作測(cè)量單 位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來做單位，測(cè)得的總長(zhǎng)度會(huì)增 加，但是一些厘米量級(jí)以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分 界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制

3、，取不列 顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來，得到海岸線長(zhǎng)度的一種下界。 使用比這更長(zhǎng)的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用 更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù) 量級(jí)的“無標(biāo)度”區(qū)，長(zhǎng)度不是海岸線的定量特征，就要用分維。數(shù)學(xué)家寇赫從一個(gè)正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸 線”變成無限曲線，其長(zhǎng)度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維 才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若 續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)

4、中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模 型，都是分形的研究對(duì)象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何 學(xué)?？陀^自然界中許多事物，如同前面所提到的海岸線一樣，具有自相似的“層 次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。海岸線的長(zhǎng)度為無窮大就是應(yīng)為 它的這種結(jié)構(gòu)。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少?gòu)?fù)雜的物 理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。在分形幾何學(xué)中，空間具 有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué) 家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注?？陀^事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y(cè)量。用尺來測(cè)量萬里長(zhǎng) 城，嫌太短；用尺來測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)。從

5、而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事 物沒有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這 叫做“無標(biāo)度性”的問題。如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至 靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏 觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子 尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無標(biāo)度性” 解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。電子計(jì)算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門，如用計(jì)算機(jī)繪出的如 圖2的分形圖案。分形這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個(gè)角落里都存在 無限嵌套的迷宮和回廊，促

6、使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。圖2美麗的分形圖案法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了 重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書， 特別是分形一一形、機(jī)遇和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學(xué)，開創(chuàng)了新 的數(shù)學(xué)分支一一分形幾何學(xué)。3、什么是分形1975年，Mandelbrot在其自然界中的分形幾何一書中引入了分形(fractal) 這一概念。從字面意義上講，fractal是碎塊、碎片的意思，然而這并不能概括 Mandelbrot的分形概念，盡管目前還沒有一個(gè)讓各方都滿意的分形定義，但在數(shù) 學(xué)上一般都認(rèn)為分形有以下凡個(gè)特點(diǎn)：(1)具有無限精細(xì)

7、的結(jié)構(gòu)；比例自相似性；一般它的分?jǐn)?shù)維大子它的拓?fù)渚S數(shù)；可以由非常簡(jiǎn)單的方法定義，并由遞歸、迭代產(chǎn)生等。(1)(2)兩項(xiàng)說明分形在結(jié)構(gòu)上的內(nèi)在規(guī)律性。自相似性是分形的靈魂，它使 得分形的任何一個(gè)片段都包含了整個(gè)分形的信息。第(3)項(xiàng)說明了分形的復(fù)雜性， 第(4)項(xiàng)則說明了分形的生成機(jī)制。圖1中曲線按圖中所示的規(guī)律逼近Koch曲線。 Koch曲線處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)，其長(zhǎng)度為無窮大，以歐氏幾何的眼光來看， 這種曲線是被打入另類的，從逼近過程中每一條曲線的形態(tài)可以看出分形四條性 質(zhì)的種種表現(xiàn)。以分形的觀念來考察前面提到的“病態(tài)”曲線，可以看出它們不 過是各種分形。把傳統(tǒng)幾何的代表歐氏幾何與以分形為

8、研究對(duì)象的分形幾何作一比較，可以 得到這樣的結(jié)論：歐氏幾何是建立在公理之上的邏輯體系，其研究的是在旋轉(zhuǎn)、 平移、對(duì)稱變換下各種不變的量，如角度、長(zhǎng)度、面積、體積，其適用范日主要 是人造的物體；而分形的歷史只有20來年，它由遞歸、迭代生成，主要適用于 自然界中形態(tài)復(fù)雜的物體。分形幾何不再以分離的眼光看待分形中的點(diǎn)、線、面， 而是把它看成一個(gè)整體。4、分形幾何的研究?jī)?nèi)容分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在 形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。 例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一 部分都具有和整體磁

9、鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小 幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú) 立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維， 而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維 空間，對(duì)于更抽象或更復(fù)雜的對(duì)象，只要每個(gè)局部可以和歐氏空間對(duì)應(yīng)，也容易 確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等 理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919 年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大

10、到分?jǐn)?shù)，從而突破 了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。維數(shù)和測(cè)量有著密切的關(guān)系，可以由下面的例子說明分維的概念。畫一根直線，如果用0維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因?yàn)橹本€中包含無 窮多個(gè)點(diǎn)；如果用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本€中不包含平面。那么， 用怎樣的尺度來量它才會(huì)得到有限值呢？只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才 會(huì)得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1(大于0、小于2)。對(duì)于上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然， 用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0(此曲線中不包含平 面)，那么只有找一個(gè)與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值， 而這個(gè)維數(shù)顯然

11、大于1、小于2,那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng)過計(jì)算 寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618。5、分形的維數(shù)分形集的“不規(guī)則”性使它區(qū)別于經(jīng)典的光滑點(diǎn)集，但是，如何來度量?jī)蓚€(gè)分 形集的“不規(guī)則”程度呢？分形維數(shù)提供了一種比較分形的客觀工具。在普通幾何學(xué)中，維數(shù)的概念很直觀，如前面所述，點(diǎn)被認(rèn)為是0維的，線 是1維的，面是2維的，體是3維的，時(shí)空可認(rèn)為是4維的，以此推廣，還可以 定義多維空間。以上這些維數(shù)都是整數(shù)，與這些空間不同的是分形的維數(shù)是分?jǐn)?shù)。分形的維數(shù)定義主要有豪斯道夫(Hausdorff)維數(shù)和盒維數(shù)兩種定義。豪斯道夫(Hausdorff)維數(shù)的定義如下：設(shè)A是(Rd, p)的有界子集，

12、則存在唯一的實(shí)數(shù)S0 e 0,d使得3, S S0式中，HS(A)為A的S豪斯道夫(Hausdorff)測(cè)度，定義式為：Hs (A) = lim HS (A)0 6HS (A)定義為：o8HS (A) = inf I U. Is :U. A 的 0覆蓋 0i ii = 1豪斯道夫(Hausdorff)測(cè)度有個(gè)重要的比例性質(zhì)：Hs (人F) =I 人 Is Hs (F)對(duì)于大量的嚴(yán)格自相似的分形圖形，如果知道其豪斯道夫測(cè)度不為零，則可 以利用豪斯道夫測(cè)度的比例性質(zhì)計(jì)算它的維數(shù)。例如對(duì)前面的Koch曲線，有Q Hs (F) = 4 Hs (3 F) = 4g(3)s gHS (F),/. 4 (3

13、)s = 1,i.e. Dim (F) = s = !ogH 0 log 3Hausdorff維數(shù)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論作基礎(chǔ)，但其計(jì)算復(fù)雜，不利于應(yīng)用。相對(duì)而言，盒維數(shù)應(yīng)用起來更方便一些，其定義為：設(shè)入是(Rd,p )的有界子集，對(duì)每一個(gè)0 0，用NO(A)表示覆蓋A的半徑為6的閉球的最少個(gè)數(shù)，如果limlogNo(A)存在，則稱其為集合A的盒維數(shù)，記 0項(xiàng)-log 0為DimB(A)。在實(shí)際計(jì)算過程中可以等價(jià)的用邊長(zhǎng)為6的正方體替代半徑為6的 覆蓋閉球。同樣以koch曲線為例：? = 1/9?匝頃=12q = 1/27, N(r3)= 48圖3 koch曲線的盒維數(shù)一般地，N(1/3)n) =

14、3*4n1,故=lim 1頑3*4：-1)n * - iog(3)n=lim log3 +(n -1)log4n 8 n log3=也=1.26186.log36、分形幾何的應(yīng)用分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液 中的一?；ǚ?，會(huì)看見它不間斷地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)(布朗運(yùn)動(dòng))，這是花粉在大量 液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的 軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線 段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo) 數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2,大大高于它的拓?fù)渚S數(shù)1。在某

15、些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績(jī)的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外 增長(zhǎng)。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉 積而生長(zhǎng)，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。一枝粗十可以分出不規(guī)則的枝杈， 每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測(cè) 量。有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無 標(biāo)度區(qū)。小于1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率 開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級(jí)的無標(biāo)度 區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都 實(shí)際測(cè)得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè) 算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用