層次分析論文(共12頁)

1、層次分析法在購買品牌(pn pi)洗發(fā)水中的應(yīng)用摘 要： 本文針對某人選擇(xunz)哪種品牌洗發(fā)水問題進行建立層次分析模型。 首先通過實地了解某人有關(guān)意向數(shù)據(jù)，并對其進行處理，總結(jié)四大影響因素(yn s)：外觀、價格、功效和品牌口碑及各因素對比比較矩陣，和不同品牌的洗發(fā)水：海飛絲、潘婷、沙宣及各品牌洗發(fā)水的成對比較矩陣。 其次，建立目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層的層次結(jié)構(gòu)模型圖。進而以準(zhǔn)則層對目標(biāo)層權(quán)重比值及一致性指標(biāo)進行檢驗，此過程利用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進行求解，得出矩陣的最大特政值及特征向量，從而利用相關(guān)Saaty定理驗證得出準(zhǔn)則層對方案層一致性指標(biāo)驗證性通過。 同理，再次驗證方案層對準(zhǔn)則層

2、權(quán)重比值及一致性指標(biāo)進行檢驗，得出各準(zhǔn)則中每個方案相互比較矩陣的特征向量。 最后可以得出結(jié)論，此人選擇海飛絲這款洗發(fā)水更合適。關(guān)鍵詞：層次分析法 ；一致性檢驗 問題(wnt)重述問題(wnt)的提出 某人想要選擇一個適合自己的某品牌洗發(fā)水，她考慮的因素有洗發(fā)水的外觀、價格、功效及品牌口碑等。比較中意的洗發(fā)水品牌有海飛絲、潘婷、沙宣。但不知道選擇哪個品牌洗發(fā)水，為此，我們(w men)通過數(shù)學(xué)建模給出一個建議。符號說明判斷矩陣每一行因素的乘積的m次方根每個指標(biāo)相對于其上一級指標(biāo)的權(quán)重(對進行歸一化處理的數(shù)據(jù))判斷矩陣的最大特征值根一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)判斷矩陣的一致性比率方案m方案m所對應(yīng)的風(fēng)

3、險大小分?jǐn)?shù)模型假設(shè)模型的假設(shè)：假設(shè)短期內(nèi)這三種品牌的洗發(fā)水價格不會有太大變動。假設(shè)短期內(nèi)不會有促銷活動，外觀不會有什么改變。該人不會改變所選的三種品牌的洗發(fā)水。不會出現(xiàn)所有非人為的意外情況。模型的建立與分析4.1 建立層次結(jié)構(gòu)模型沙宣潘婷海飛絲口碑功效外觀價格選擇一款洗發(fā)水目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案(fng n)層：圖一：層次結(jié)構(gòu)圖4.2構(gòu)造判斷(pndun)矩陣判斷矩陣是層次分析法的核心，是定性過渡到定量的重要環(huán)節(jié)。它是以上一個某因素為準(zhǔn)則，對下一層諸因素有支配關(guān)系。當(dāng)比較兩個可能具有不同性質(zhì)的因素對于上層因素的影響是，一般(ybn)采用Saatty等人提出用1-9尺度，具體如下表：表一：1-9尺

4、度的含義尺度含義1兩個要素比較，具有相同重要性3兩個要素比較，前者比后者稍微重要5兩個要素比較，前者比后者明顯重要7兩個要素比較，前者比后者強烈重要9兩個要素比較，前者比后者極端重要2,4,6,8上述相鄰判斷的中間值1,1/2,.,1/9兩個要素相比，后者比前者的重要性標(biāo)度 則判斷矩陣為表二：判斷矩陣 判斷矩陣的性質(zhì)是： 4.3 確定指標(biāo)(zhbio)標(biāo)值和確定指標(biāo)權(quán)重 根據(jù)判斷矩陣提供的信息，可用一般線性代數(shù)的方法求解得到任意精度的最大特征根和特征向量，特征向量就代表了該層次各因素對上一層次某因素影響大小的權(quán)重，但在實際應(yīng)用層次分析法求得某層次中各因素的權(quán)重，從本質(zhì)上講就是表述某種特定(td

5、ng)性的概念，所以，采用更為簡單的近似求解法，如方根法、和法。它們(t men)的精度完全可以滿足實際應(yīng)用的要求。計算判斷矩陣每一行因素的乘積 式4.1計算的m次方根，即為分量 式4.2對向量Wi作歸一化處理，并得權(quán)重，即 式4.3則即是所求得的特征向量（權(quán)重）。（4）計算矩陣A的最大特征值根 式4.44.4 進行一致性檢驗 盡管判斷矩陣是查閱而得，但同樣是人為賦予的，所以免不了出現(xiàn)判斷上的不一致。因此，還需要進行一致性檢驗，即評價判斷矩陣的可靠性。計算一致性指標(biāo) 式4.5 為判斷矩陣的最大特征根，為判斷矩陣的階數(shù)。 越小，說明(shumng)一致性越大，一般，只要，就可以(ky)判斷矩陣是

6、滿意(mny)的?？紤]到一致性偏離有隨機原因，因而檢驗判斷矩陣是否滿足一致性時，還需將值與平均隨機一致性指標(biāo)相比較，得出檢驗系數(shù)，其公式為 式4.6 為判斷矩陣的一致性比率，當(dāng)越小，說明對各指標(biāo)權(quán)值的可靠性越高。當(dāng)時，可認(rèn)為判斷具有完全一致性；當(dāng)時，可認(rèn)為判斷是滿意的。 式中，為隨機一致性指標(biāo)，是根據(jù)隨機性產(chǎn)生的判斷矩陣計算的足夠多的一致性指標(biāo)的平均值。1-10階矩陣的RI取值見下表： 表三 隨機一致性指標(biāo)2m1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 一般而言，越小，判斷矩陣的一致性越好，通常任務(wù)時判斷矩陣具有滿意的一致性。4.5

7、計算各指標(biāo)對于目標(biāo)層的綜合權(quán)重值 這個過程分三步求權(quán)重，第一步是求準(zhǔn)則層各指標(biāo)的權(quán)重，通過實地了解得到準(zhǔn)則層各指標(biāo)相對于目標(biāo)層的重要程度，得出判斷矩陣，從而可求出準(zhǔn)則層各指標(biāo)相對于目標(biāo)層的權(quán)重；第二步求最底層各指標(biāo)的權(quán)重，得出四個判斷矩陣，從而可求出最底層指標(biāo)相對于目標(biāo)層的綜合權(quán)重。 對同一層要素，根據(jù)評價尺度確定其相對重要程度，最后據(jù)此建立判斷矩陣，這里我們討論得出相對重要程度。通過一定的計算確定各要素的相對重要度，然后計算綜合權(quán)重，過程如下：準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的判斷矩陣和權(quán)重本文準(zhǔn)則層的要素有四個，為外觀、價格、功效和品牌口碑。求準(zhǔn)則層各指標(biāo)的權(quán)重的具體方法為：將這四個指標(biāo)兩兩比較對目標(biāo)層的重

8、要性。 表四：準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的判斷矩陣 我們(w men)利用matlab程序，根據(jù)(gnj)公式4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6進行(jnxng)編程求得，指標(biāo)權(quán)重，一致性指標(biāo)，一致性比率，運行結(jié)果如下圖：a=1 1/8 1/9 1/3;8 1 1 3;9 1 1 3;3 1/3 1/3 1Jmax= 4.0017通過一致性檢驗CI= 5.7820e-004CR= 6.4245e-004B= 0.0476 0.0508 0.0455 0.0455 0.3810 0.4068 0.4091 0.4091 0.4286 0.4068 0.4091 0.4091 0.1429 0.1

9、356 0.1364 0.1364Wi= 0.1894 1.6059 1.6535 0.5512W= 0.0473 0.4015 0.4134 0.1378圖二：準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重及一致性檢驗各指標(biāo)值 是判斷矩陣一致性指標(biāo)，越小，說明一致性越大，一般，就可以判斷矩陣是滿意的。為判斷矩陣的一致性比率，當(dāng)越小，各指標(biāo)權(quán)值的可靠性越高，當(dāng)時，可認(rèn)為判斷是滿意的。 一致性檢驗：因為和均0.1,可以認(rèn)為判斷矩陣式完全一致的。由圖二我們可得特征向量=(0.0473 0.4015 0.4134 0.1378)方案層對準(zhǔn)則層的判斷矩陣和權(quán)重 本模型的方案層有三個指標(biāo)(zhbio)，分別為海飛絲、潘婷、沙宣、

10、準(zhǔn)則層有四個影響因素，由此構(gòu)造四個判斷矩陣(j zhn)如下： 1.方案(fng n)層對準(zhǔn)則層外觀的判斷矩陣 2.方案層對準(zhǔn)則層外觀的判斷矩陣 3.方案層對準(zhǔn)則層外觀的判斷矩陣 4.方案層對準(zhǔn)則層外觀的判斷矩陣 我們利用matlab程序，根據(jù)公式4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6進行編程分別求得，指標(biāo)權(quán)重，一致性指標(biāo)，一致性比率，運行結(jié)果如下圖：a=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1Jmax= 3.0055通過一致性檢驗CI= 0.0028CR= 0.0048B= 0.5882 0.5714 0.6250 0.2941 0.2857 0.2500 0.1176 0.1

11、429 0.1250Wi= 1.7847 0.8298 0.3855W= 0.5949 0.2766 0.1285圖三：方案(fng n)層對準(zhǔn)則層外觀B1的權(quán)重(qun zhn)及一致性檢驗(jinyn)各指標(biāo)值a=1 1/2 5;2 1 9;1/5 1/9 1Jmax= 3.0012通過一致性檢驗CI= 6.1678e-004CR= 0.0011B= 0.3125 0.3103 0.3333 0.6250 0.6207 0.6000 0.0625 0.0690 0.0667Wi= 0.9562 1.8457 0.1981W=0.3187 0.6152 0.0660圖四：方案層對準(zhǔn)則層價格B

12、2的權(quán)重及一致性檢驗各指標(biāo)值a=1 5 3;1/5 1 1/2;1/3 2 1Jmax= 3.0037通過一致性檢驗CI= 0.0018CR= 0.0032B= 0.6522 0.6250 0.6667 0.1304 0.1250 0.1111 0.2174 0.2500 0.2222Wi= 1.9438 0.3665 0.6896 W= 0.6479 0.1222 0.2299 圖五：方案層對準(zhǔn)則(zhnz)層功效B3的權(quán)重(qun zhn)及一致性檢驗(jinyn)各指標(biāo)值a=1 3 1/3;1/3 1 1/8;3 8 1Jmax= 3.0015通過一致性檢驗CI= 7.7081e-004

13、CR= 0.0013B= 0.2308 0.2500 0.2286 0.0769 0.0833 0.0857 0.6923 0.6667 0.6857Wi= 0.7093 0.2460 2.0447W= 0.2364 0.0820 0.6816圖六：方案層對準(zhǔn)則層功效B4的權(quán)重及一致性檢驗各指標(biāo)值由圖三四五六我們可以制作以下表格：表五：第3層的計算結(jié)果12340.59490.31870.64790.23640.27660.61520.12220.08200.12850.06600.22990.68163.00553.00123.00373.00150.00280.00060.00180.000

14、80.00480.00110.00320.0013 一致性檢驗(jinyn)：因為所有(suyu)和均0.1,可以認(rèn)為(rnwi)判斷矩陣式完全一致的。計算各指標(biāo)層對于目標(biāo)層的綜合權(quán)重： 上面將中間層對目標(biāo)層的權(quán)重和第三層對各中間層的權(quán)重都分別計算出來了，現(xiàn)在求第三層各因素對目標(biāo)層的權(quán)重，將中間層指標(biāo)權(quán)重乘上其下屬的第三層指標(biāo)對中間層的權(quán)重即可。模型中第三層各指標(biāo)對目標(biāo)層的最終權(quán)重如下： 以為列向量構(gòu)成矩陣又已知準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)向量所以最終的組合權(quán)向量為 組合一致性檢驗：在應(yīng)用層次分析法做重大決策時，除了對每個成對比較陣進行一致性檢驗外，還常要進行所謂組合一致性檢驗，以確定組合權(quán)向量是否可以

15、作為最終的決策依據(jù)。 組合一致性檢驗可逐層進行。若第p層的一致性指標(biāo)為(n是第p-1層因素的數(shù)目)，隨機一致性指標(biāo)為，定義 = = 則第p層的組合一致性比率為 第p層通過組合一致性檢驗的條件為0.1. 定義最下層(第s層)對第1層的組合一致性比率為 = 對于(duy)重大項目，僅當(dāng)適當(dāng)?shù)匦r(xiosh)，才認(rèn)為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。在該決策問題中可以(ky)算出,前面已經(jīng)有,于是=0.0027，組合一致性檢驗通過，前面得到的組合權(quán)向量可以作為最終決策的依據(jù)。4.6 結(jié)論 由準(zhǔn)則層對目標(biāo)層權(quán)重比例可以得出，洗發(fā)水的功效比其外觀，價格及品牌口碑更為重要。且由組合權(quán)向量可以得出，選擇海

16、飛絲這一方案比其他洗發(fā)水方案更為合理，即最終該人選擇海飛絲這款洗發(fā)水更為合適。模型的評價5.1模型的優(yōu)點 通過層次分析法求出這些因素對目標(biāo)層影響的權(quán)重，得到了最終的決策方案。很好的解決了實際問題。本文把實際問題抽象到統(tǒng)計模型，又通過分析其各因素之間的關(guān)系建立表達式，準(zhǔn)確的計算出各方案的權(quán)重大小，解決了實際問題。本文所用算法好、效率高、精度高，解決實際問題具有較大的合理性且簡潔易懂、方便快捷。5.2模型的不足 本文在通過層次分析法求解出各因素對目標(biāo)層影響的大小時，建立各因素的比較矩陣時雖然查找了大量資料，但仍具有較大的人為主觀性。這一點造成的誤差不可避免。參考文獻1姜啟源 謝金星 葉俊 ，數(shù)學(xué)模

17、型，北京：高等教育出版社，2011.12張志涌，精通MATLAB R2011a，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.11 附 錄1.確定指標(biāo)權(quán)重值及一致性檢驗各指標(biāo)a=input(a=); %讀入判斷(pndun)矩陣Cx,y=eig(a); %求出特征值和特征向量Jmax=max(max(y); %求出最大特征值N,M=size(a); %看這個(zh ge)矩陣的長寬RI=0 0 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.51;%隨機(su j)一致性指標(biāo)RICI=(Jmax-N)/(N-1); %求出一致性指標(biāo)CR=CI/RI(1,N); %檢驗一致性Wi=NaN;if CR0.1 disp(此矩陣的一致性可以接受！) %若通過一致性檢驗，則求出權(quán)重 disp(CI=); disp(CI); %輸出CI disp(CR=); disp(CR); %輸出CR B=zeros(N,M); %設(shè)置一個同樣長寬的零矩陣 for i=1:M %循環(huán)，每一列都相同操作 B(:,i)=a(:,i)/sum(a(:,i); %每列都除以這列每項的和，并賦值給b相對應(yīng)列 end disp(B=); disp(