高等代數(shù)第四章-矩陣課件

1、第四章 矩 陣1、矩陣概念的一些背景 矩陣是線性代數(shù)中最基本的概念之一，也是解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的一個(gè)強(qiáng)有力的武器之一。 - 矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例古羅馬皇帝愷撒首先使用了這樣一種密碼：在保留明文中的大小寫、空格及標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的前提下，把明文中的每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為英文字母表中的第4個(gè)字母。人們?yōu)榱思o(jì)念愷撒德，就把這種密碼稱為愷撒密碼。但是愷撒密碼有一個(gè)致命的缺陷，即每個(gè)字母與經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的字母分別在明文和密文出現(xiàn)的頻率是相通的。1929 年，Hill 提出了一種克服愷撒密碼缺陷的密碼，該密碼以矩陣變換的方法建立字母組間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該方法的誕生從此使密碼學(xué)進(jìn)入了以數(shù)學(xué)方法處理問題的新階段。 - 化學(xué)

2、反應(yīng)中方程式的配平是一個(gè)棘手的問題，但是有一類方程式的配平利用矩陣來處理十分簡(jiǎn)潔方便。定義 化學(xué)反應(yīng)中每一個(gè)化合物含有它們所有的每一種原子的個(gè)數(shù)，排列成的數(shù)字表稱為化學(xué)反應(yīng)矩陣。 -定義1 由 個(gè)數(shù)排成的 行 列的數(shù)表稱為 矩陣.矩陣的定義簡(jiǎn)記為 -例1是一個(gè) 實(shí)矩陣,是一個(gè) 復(fù)矩陣,例2 n維向量也可以看成矩陣的特殊形式：n維行向量就是1n矩陣；n維列向量就是n1矩陣。 - 設(shè)A(aij)mn，B(bij)lk，如果ml，nk，且對(duì)于i1,2,m； j1,2,n, 都成立，稱AB。如是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣.例4 -2、矩陣的運(yùn)算1、加法定義1設(shè) -則稱為A和B的和，記為CA

3、+B。注 1）矩陣的加法就是矩陣對(duì)應(yīng)的元素相加。相加 的矩陣必須要有相同的行數(shù)和列數(shù)2）矩陣加法滿足 結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交換律： A+B=B+A。 -3）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為Osn或O。 對(duì)于所有的矩陣A，都有A+OA。4）矩陣 稱為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A。則有A +(-A) O 。5）矩陣的減法定義為 ABA(-B)6）秩( AB) 秩(A)秩(B) -說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例1 -引例 1 變量組之間的關(guān)系設(shè)有三組變量 x1 , x2 , x3 , x4 、 y1 , y2 , y3 、 z1 , z2 ，它們之間的關(guān)系分

4、別為2、乘法 -求 x1, x2, x3, x4與 z1, z2之間的關(guān)系. 把 (2) 代入 (1) ，得 -如果用來表示 x1 , x2 , x3 , x4 與 z1 , z2 之間的關(guān)系，比較(3) ，(4) 兩式，就有 - 引例 2 總收入與總利潤 設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三個(gè)工廠, 每個(gè)工廠都產(chǎn) 品工 廠甲乙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25產(chǎn)量(單位: 個(gè)) 如下表所示:生產(chǎn)、 4種產(chǎn)品.已知每個(gè)工廠的年 -已知每種產(chǎn)品的單價(jià) ( 元/個(gè) ) 和單位利潤(元/個(gè))如下表所示:項(xiàng) 目產(chǎn) 品單 價(jià)單位利潤 100 20 150 45 300 120 2

5、00 60求各工廠的總收入與總利潤. - 解 容易算出各工廠的總收入與總利潤, 也項(xiàng) 目工 廠總收入總利潤甲乙丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775本例中的三個(gè)表格可用三個(gè)矩陣表示, 設(shè)可以列表如下: -定義2設(shè)，那么矩陣其中稱為A與B的乘積，記為例 -注1）兩個(gè)矩陣相乘，必須第二個(gè)矩陣的行數(shù)與第一個(gè)矩陣的列數(shù)相等。2）計(jì)算法則：兩個(gè)矩陣A與B乘積的第i行第j列的元素等于第一個(gè)矩陣A的第i行與第二個(gè)矩陣B第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和。3）矩陣乘法滿足（1）結(jié)合律（2）分配律 -4）矩陣乘法不滿足交換律，即一般來說例如 設(shè)則5）矩陣乘法不滿足消去律，即當(dāng) 時(shí)，不一定有

6、 ； 因?yàn)橛缮侠梢钥吹剑瑑蓚€(gè)不為零的矩陣的乘積可以是零。 -定義3 主對(duì)角線上的元素全是1，其余元素全是0的nn矩陣稱為n級(jí)單位矩陣，記為 ，簡(jiǎn)記為E。顯然有特別的,如果 ,則稱 可交換. -定義4 設(shè)A是一nn矩陣，則A的方冪定義為由乘法結(jié)合律有注 1）方冪只能對(duì)行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣來定義。 2）一般來說 -若令方程組變成 -例3 設(shè)則 -3、數(shù)量乘法定義5 矩陣注 1）用數(shù)k乘矩陣就是把矩陣的每個(gè)元素都乘上k。2）數(shù)量乘法滿足 -定義矩陣通常稱為數(shù)量矩陣。 -4、轉(zhuǎn)置定義6 設(shè) 所謂A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣 -注 1）sn矩陣的轉(zhuǎn)置是ns矩陣。2）矩陣的轉(zhuǎn)置滿足例如 -例4 已知解法1 -解法

7、2 -3、矩陣乘積的行列式與秩1、乘積的行列式定理1 設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)nn矩陣，那么即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積。推論1 設(shè) 是數(shù)域P上的nn矩陣，于是 -定義1數(shù)域P上的nn矩陣A稱為非退化的，如果 ；推論2 否則稱為退化的。 設(shè)A,B是數(shù)域P上nn矩陣，矩陣AB為退化的充分 必要條件是A,B 中至少有一個(gè)是退化的。2、矩陣乘積的秩設(shè)A,B分別是數(shù)域P上nm和ms矩陣，于是定理2即乘積的秩不超過各因子秩。秩( AB) min秩(A)，秩(B)推論3 如果那么秩( A) 秩(Aj) - 如果矩陣B滿足ABBAE ，那么B就稱為A的逆矩陣，記為A-1。 n級(jí)方陣矩陣A稱為

8、可逆的，如果有n級(jí)方陣B，使得 ABBAE這里E為n級(jí)單位矩陣。4、矩陣的逆定義7定義81、矩陣的逆的定義注 1）由矩陣乘法法則，只有方陣才有逆矩陣； 2）若 是可逆矩陣，則它的逆矩陣是唯一的. -例如 設(shè)2、逆矩陣的求法定義9設(shè)Aij是矩陣中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣為A的伴隨矩陣。 -定理3矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而注 1）由定理3可以看出，對(duì)于 n 級(jí)方陣A，B，如果 ABE，那么A，B就都是可逆并且它們互為逆 矩陣； 2）定理3中給出了求逆矩陣的公式，但計(jì)算量一 般較大。推論如果矩陣A，B可逆，那么 與AB也可逆，且 -總結(jié) 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) - 矩陣A是一個(gè)sn矩陣，

9、如果P是ss可逆矩陣，Q是nn可逆矩陣，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)定理4例1 求方陣 的逆矩陣.解 -同理可得故 -解例2 - -例4證明 -對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算. 具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.5、矩陣的分塊例如（1） -即（2） -分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則（1）加法 設(shè)矩陣A與B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法，有 - - （3）乘法 設(shè)矩陣A(aik)sn，B(bkj)nm,把A，B分為一些小矩陣： 其中每個(gè)Aij是si

10、nj小矩陣，每個(gè)Bij是nimj小矩陣。于是有 - - -準(zhǔn)對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì): -(6)對(duì)于兩個(gè)有相同分塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣 -如果A1，A2，Al都是可逆矩陣 -例1 設(shè)解 -則 -又 -于是 -例2解 - - - - -例3 設(shè)解 - -6、初等矩陣 由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。定義1三類初等矩陣 -交換 的第 行與第 行(或第 列與第 列）得到的初等矩陣； -把 的第 行的 倍加到第 行(或第 列的倍加到第 列)得到的初等矩陣。 -用數(shù)域 中的數(shù) 乘 的第 行(或第 列)得到的初等矩陣。 -引理 對(duì)于一個(gè)sn矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的ss

11、初等矩陣；對(duì)A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的nn初等矩陣。 矩陣A與B稱為等價(jià)的，如果B可以由A經(jīng)過一系列次初等變換得到。注 初等矩陣皆可逆，且其逆仍為同類初等矩陣： 定義2 -定理1任意一個(gè)sn矩陣A作都與一形式為的矩陣等價(jià)，它稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，主對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩(1的個(gè)數(shù)可以是零)。注 矩陣等價(jià)具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性。 -例1用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形解 -注 矩陣A、B等價(jià)的充分必要條件是具有初等矩陣P1，Pl，Q1，Qt，使 n級(jí)矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積： 兩個(gè)sn矩陣A，B等價(jià)的充分必要條件為，存在可逆的s級(jí)矩陣P與可逆的

12、n級(jí)矩陣Q使定理6推論1 -推論2 可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位陣。注 矩陣求逆的方法伴隨矩陣法： ；初等變換法： -例2，求A-1。解 - -主要內(nèi)容分塊初等矩陣第七節(jié)應(yīng)用舉例分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例 -一、分塊初等矩陣1. 定義把單位矩陣 E 如下進(jìn)行分塊：對(duì)它進(jìn)行三種初等變換所得到的矩陣稱為分塊初等矩陣.分塊初等矩陣有以下三種： -1) 分塊對(duì)換矩陣對(duì)換兩行(列)所得到2) 分塊倍乘矩陣矩陣 P 所得到3) 分塊倍加矩陣某一行(列)左乘(右乘)一個(gè)一行(列)加上另一行(列)的P (矩陣)倍數(shù)所得到 -和初等矩陣與初等變換的關(guān)系一樣，分塊初等矩陣有與初等矩陣類似的性質(zhì)：用分塊初等矩陣左乘分塊矩陣 A, 在保證可乘的情況下，其作用相當(dāng)于對(duì)分塊矩陣 A 進(jìn)行一次相應(yīng)的初等行變換；用分塊初等矩