[PPT]結(jié)構(gòu)注冊(cè)工程師微分學(xué)

1、一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué) 二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、 函數(shù)、極限、連續(xù)1. 函數(shù)定義: 定義域 值域設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。函數(shù)的特性有界性 ,單調(diào)性 ,奇偶性 ,周期性 復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如. 函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)2 極限 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 )極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì) ;無(wú)窮小的比較 ;常用等價(jià)無(wú)窮小: 兩個(gè)重要極限 等價(jià)無(wú)窮小代換存在

2、(或?yàn)?)定理 (洛必達(dá)法則) 說(shuō)明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.洛必達(dá)法則3. 連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)（左右極限存在）第二類(lèi)（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例3. 設(shè)函數(shù)在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示:有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn) ,極限存在例4. 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .二、 導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù) 定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù) 微分 : 關(guān)系 :可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1. 有關(guān)概念例5.設(shè)在處連續(xù),

3、且求解:2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 （要求記住?。╇[函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法高階導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）例6. 求由方程在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故確定的隱函數(shù)例7. 求解:關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)三、多元函數(shù)微分法1. 多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2. 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3. 隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對(duì)該變量求導(dǎo)。4. 全微分5. 重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)例8. 求解法1:解法2:在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).解：設(shè)則例9. 設(shè) 拉格朗日中值定理

4、四、 導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 柯西中值定理 函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理 1. 設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減) .在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),3. 函數(shù)的性態(tài):2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) “左正右負(fù)” ,(2) “左負(fù)右正” ,極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 .例10. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例11. 求函數(shù)的極值 . 解: 1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3) 判別因故 為極小值 ;又故需用第一判別法判別.定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I

5、內(nèi)則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi)則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)例12. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1) 求2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及均為拐點(diǎn).凹凹凸的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例13. 填空題(1) 設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為 .提示:的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ; .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點(diǎn)為 提示:的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)的圖形如圖

6、所示,曲線方程為參數(shù)方程切線方程切向量法平面方程4.多元函數(shù)微分法的應(yīng)用(1)在幾何中的應(yīng)用求曲線的切線及法平面曲面 在點(diǎn) M 的法向量法線方程切平面方程法線方程當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 切平面方程上求一點(diǎn) , 使該點(diǎn)處的法線垂直于例14. 在曲面并寫(xiě)出該法線方程 .提示: 設(shè)所求點(diǎn)為則該點(diǎn)的法向量為利用得平面法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn) . 極值必要條件函數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在(2)極值與最值問(wèn)題極值的必要條件與充分條件時(shí), 具有極值 極值充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化引入輔助函數(shù)則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:方法2 拉格朗日乘數(shù)法.解該方程組，得極值點(diǎn)。例15.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解: 設(shè) x , y , z