數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)最全匯總 (2)

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：(1)理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2)牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見(jiàn)的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序：引 言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話(huà)題從本節(jié)課開(kāi)始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門(mén)課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開(kāi)始問(wèn)題為什么從“實(shí)數(shù)”開(kāi)始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課復(fù)變函

2、數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)問(wèn)題有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無(wú)限小數(shù)”為此作如下規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)其中，記；對(duì)于正整數(shù)則記；對(duì)于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)），則先將表示為無(wú)限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào)0表示為0例： ；利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無(wú)限小數(shù)來(lái)表示在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大小？2、兩實(shí)數(shù)大小的比較1）定義1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，. 其中為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，若有，則稱(chēng)與相等，記為；若或存在非負(fù)整數(shù)，使得，而，則稱(chēng)大于或小于，分別記

3、為或?qū)τ谪?fù)實(shí)數(shù)、，若按上述規(guī)定分別有或，則分別稱(chēng)為與（或）規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過(guò)有限小數(shù)來(lái)比較）定義2（不足近似與過(guò)剩近似）：為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱(chēng)有理數(shù)為實(shí)數(shù)的位不足近似；稱(chēng)為實(shí)數(shù)的位過(guò)剩近似，.對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)，其位不足近似；位過(guò)剩近似.注：實(shí)數(shù)的不足近似當(dāng)增大時(shí)不減，即有； 過(guò)剩近似當(dāng)n增大時(shí)不增，即有命題：記，為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使（其中為的位不足近似，為的位過(guò)剩近似）命題應(yīng)用例1設(shè)為實(shí)數(shù)，證明存在有理數(shù)，滿(mǎn)足證明：由，知：存在非負(fù)整數(shù)n，使得令，則r為有理數(shù)，且即3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見(jiàn)附錄）1）封閉性（實(shí)數(shù)集對(duì)）四則運(yùn)算是封閉的即任意兩

4、個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)2）有序性：，關(guān)系，三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性：，4）阿基米德性：使得5）稠密性：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6）一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系例2設(shè)，證明：若對(duì)任何正數(shù)，有，則（提示：反證法利用“有序性”，取）二、絕對(duì)值與不等式1、絕對(duì)值的定義實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的定義為2、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù)的絕對(duì)值就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離表示就是數(shù)軸上點(diǎn)與之間的距離3、性質(zhì)1）（非負(fù)性）； 2）；3），；4）對(duì)任何有（三角不等式）；5）； 6）（）三、幾個(gè)重要不等式1、 2、均值不等式:對(duì)記 (算術(shù)平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值)有平

5、均值不等式:即：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.3、Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò))有不等式當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式證：由且 4、利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:對(duì)由二項(xiàng)展開(kāi)式 有 上式右端任何一項(xiàng).練習(xí)P45課堂小結(jié)：實(shí)數(shù)：.作業(yè)P41(1)，2(2)、(3)，32數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)2數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：

6、先通過(guò)練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.引 言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問(wèn)題作了簡(jiǎn)要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章1實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來(lái)檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對(duì)任何有：(1)；(2) .（）（）2、證明：.3、設(shè)，證明：若對(duì)任何正數(shù)有，則.4、設(shè)，證明：存在有理數(shù)滿(mǎn)足.引申：由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問(wèn)題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以

7、加深理解，語(yǔ)言應(yīng)用.提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門(mén)課程的術(shù)語(yǔ)和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類(lèi)主要的數(shù)集區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無(wú)界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.一 、區(qū)間與鄰域區(qū)間（用來(lái)表示變量的變化范圍）設(shè)且.，其中 2、鄰域聯(lián)想：“鄰居”.字面意思：“鄰近的區(qū)域”.與鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類(lèi)是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于的對(duì)稱(chēng)區(qū)間”；如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)呢？（1）的鄰域：設(shè)，滿(mǎn)足不等式的全體實(shí)數(shù)的集合稱(chēng)為點(diǎn)的鄰域，記作，或簡(jiǎn)記為，即. 其中（2）點(diǎn)的空心鄰域.（3）的右鄰域和點(diǎn)的空心右鄰域（4）點(diǎn)的左鄰域和點(diǎn)的空心左鄰域（5）

8、鄰域，鄰域，鄰域（其中M為充分大的正數(shù)）；二 、有界集與無(wú)界集定義1（上、下界）：設(shè)為中的一個(gè)數(shù)集.若存在數(shù)，使得一切都有，則稱(chēng)S為有上（下）界的數(shù)集.數(shù)稱(chēng)為S的上界（下界）；若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱(chēng)S為有界集.閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集， 集合 也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱(chēng)S為無(wú)界集.等都是無(wú)界數(shù)集, 集合 也是無(wú)界數(shù)集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與S的關(guān)系如何？看下例：例1 討論數(shù)集的有界性.解：任取，顯然有，所以有下界1；但無(wú)上界.因?yàn)榧僭O(shè)有上界M,則M0，按定義，對(duì)任意，都有，這是不可能的，如取則，且.綜上所述知：是有下界無(wú)上界

9、的數(shù)集，因而是無(wú)界集.例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無(wú)限區(qū)間都是無(wú)界集；（3）由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.問(wèn)題：若數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？(答：不唯一，有無(wú)窮多個(gè)).三 、確界與確界原理1、定義定義2（上確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿(mǎn)足：(1) 對(duì)一切有（即是S的上界）; (2) 對(duì)任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一個(gè)），則稱(chēng)數(shù)為數(shù)集S的上確界，記作從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1 充要條件1）；2）.證明：必要性，用反證法.設(shè)2）不成立，則，與是上界中最小的一個(gè)矛盾.充分性（用反證法），設(shè)不是的上確界，即是上界，但.令，由2），使

10、得，與是的上界矛盾.定義3（下確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿(mǎn)足：（1）對(duì)一切有（即是S的下界）；（2）對(duì)任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一個(gè)），則稱(chēng)數(shù)為數(shù)集S的下確界，記作.從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.命題2 的充要條件：1）；2）0， 上確界與下確界統(tǒng)稱(chēng)為確界.例3（1）則 1 ； 0 .（2）則 1 ； 0 .注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的.證明：設(shè)，且，則不妨設(shè)有對(duì)，使，矛盾.例：，則有.開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間有相同的上確界與下確界例4設(shè)和是非空數(shù)集，且有則有.例5設(shè)和是非空數(shù)集.若對(duì)和都有則有證明：是

11、的上界,是的下界,例6和為非空數(shù)集,試證明:證明：有或由和分別是和的下界,有或即是數(shù)集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.綜上,有.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例3為例做解釋.確界與最值的關(guān)系:設(shè) 為數(shù)集.（1）的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).（2）非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有對(duì)下確界有類(lèi)似的結(jié)論.4. 確界原理:Th1.1(確界原理).設(shè)非空的數(shù)集.若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界.這里我們給一個(gè)可以接受的說(shuō)明 非空，我們可以找到一個(gè)整數(shù)，使得不是上界，而是的上界.然后我們遍查和，

12、我們可以找到一個(gè)，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小數(shù)，如此下去，最后得到，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為的上確界.證明：（書(shū)上對(duì)上確界的情況給出證明，下面講對(duì)下確界的證明）不妨設(shè)中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)，使得1），有；2）存在，有；把區(qū)間10等分，分點(diǎn)為n.1，.2，,.9, 存在，使得1），有；2）存在，使得再對(duì)開(kāi)區(qū)間10等分，同理存在，使得1）對(duì)任何，有；2）存在，使繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對(duì)任何，存在使得1）對(duì)任何，；2）存在，因此得到以下證明（）對(duì)任意，；（）對(duì)任何，存在使作業(yè)：P9 1（1），（2）；2； 4（2）、（4）；3函數(shù)概念授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)3 函數(shù)概念教學(xué)目的：使

13、學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求：（）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；（）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問(wèn)、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序：引 言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對(duì)此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義定義 設(shè)，如果存在對(duì)應(yīng)法則，使對(duì)，存在唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作 .數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的定義域，所對(duì)應(yīng)的，稱(chēng)為在點(diǎn)的函數(shù)值，記為.全體函數(shù)值的集合稱(chēng)為函

14、數(shù)的值域，記作.即.幾點(diǎn)說(shuō)明（1）函數(shù)定義的記號(hào)中“”表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記作.習(xí)慣上稱(chēng)自變量，為因變量.（2） 函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來(lái).因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為：.由此，我們說(shuō)兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則.例如：1） （不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，定義域不同）2） （相同，只是對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式不同）.（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱(chēng)為存在域（自然定義域）.此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)

15、中的定義域可省略不寫(xiě)，而只用對(duì)應(yīng)法則來(lái)表示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)”或“函數(shù)”.（4）“映射”的觀點(diǎn)來(lái)看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對(duì)于，稱(chēng)為映射下的象.稱(chēng)為的原象.（5）函數(shù)定義中，只能有唯一的一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為“單值函數(shù)”，若對(duì)同一個(gè)值，可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè)值，則稱(chēng)這種函數(shù)為多值函數(shù).本書(shū)中只討論單值函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)）.二 、函數(shù)的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖示法）.2 可用“特殊方法”來(lái)表示的函數(shù).1）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來(lái)表示.例如，（符號(hào)函數(shù)）（借助于sgnx可表示即）.2）用語(yǔ)言敘述的函數(shù).（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 ）

16、（取整函數(shù)）比如： 3.5=3, 3=3, -3.5=-4. 常有 , 即.與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù)（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是一條大鋸，畫(huà)出圖看一看.）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無(wú)法畫(huà)出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒(méi)有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.）黎曼（Riemman）函數(shù)三 函數(shù)的四則運(yùn)算給定兩個(gè)函數(shù)，記，并設(shè)，定義與在上的和、差、積運(yùn)算如下：；.若在中除去使的值，即令，可在上定義與的商運(yùn)算如下；.注：）若，則與不能進(jìn)行四則運(yùn)算.）為敘述方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫(xiě)為：.四、復(fù)合運(yùn)算引言在有些實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的自變量與因變量通過(guò)另外一些變量才建立

17、起它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v，則功率為.抽去該問(wèn)題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)，把代入，即得.這樣得到函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱(chēng)為“復(fù)合函數(shù)”.問(wèn)題 任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見(jiàn)，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）. 2定義（復(fù)合函數(shù)） 設(shè)有兩個(gè)函數(shù)，若，則對(duì)每一個(gè)，通過(guò)對(duì)應(yīng)內(nèi)唯一一個(gè)值，而又通過(guò)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值，這就確定了一個(gè)定義在上的函數(shù)，它以為自變量，因變量，記作或.簡(jiǎn)記為.稱(chēng)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，并稱(chēng)為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)，為中間變量.3. 例子例 求 并求定義域.

18、例 則 A. B. C. D. 例 討論函數(shù)與函數(shù)能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4 說(shuō)明）復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如：，復(fù)合成：.）不僅要會(huì)復(fù)合，更要會(huì)分解.把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，在分解時(shí)也要注意定義域的變化.五、反函數(shù).引言在函數(shù)中把叫做自變量，叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，例如： 那么對(duì)于來(lái)講是自變量，但對(duì)來(lái)講，是因變量.習(xí)慣上說(shuō)函數(shù)中是自變量，是因變量，是基于隨的變化現(xiàn)時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究隨的變化狀況，也要研究隨的變化的狀況.對(duì)此，我們引入反函數(shù)

19、的概念.反函數(shù)概念定義設(shè)R是一函數(shù)，如果，, 由(或由)，則稱(chēng)在上是 1-1 的. 若，稱(chēng)為滿(mǎn)的. 若 是滿(mǎn)的 1-1 的，則稱(chēng)為1-1對(duì)應(yīng). R是1-1 的意味著對(duì)固定至多有一個(gè)解，是1-1 的意味著對(duì)，有且僅有一個(gè)解. 定義 設(shè)是1-1對(duì)應(yīng)., 由唯一確定一個(gè), 由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱(chēng)為的反函數(shù)，記為. 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 顯然有 (恒等變換） (恒等變換).0 xy從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為 , 這樣它的圖形與 的圖形是關(guān)于對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù). 但 1-1 對(duì)應(yīng)

20、的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子 它的反函數(shù)即為它自己.實(shí)際求反函數(shù)問(wèn)題可分為二步進(jìn)行： 1. 確定 的定義域和值域，考慮 1-1對(duì)應(yīng)條件.固定 ，解方程 得出 . 2. 按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得 . 例 求 ：R R的反函數(shù). 解 固定，為解 ，令 ，方程變?yōu)?( 舍去)得，即，稱(chēng)為反雙曲正弦.定理 給定函數(shù)，其定義域和值域分別記為和，若在上存在函數(shù)，使得 , 則有.分析：要證兩層結(jié)論：一是的反函數(shù)存在，我們只要證它是 1-1 對(duì)應(yīng)就行了；二是要證. 證 要證的反函數(shù)存在，只要證是到的 1-1 對(duì)應(yīng).，若， 則由定理?xiàng)l件，我們有 ，即 是 1-1 對(duì)應(yīng).再證.，使得.由

21、反函數(shù)定義 ，再由定理?xiàng)l件.例 ，若存在唯一（）不動(dòng)點(diǎn)，則也不動(dòng)點(diǎn).證 存在性，設(shè)，即是的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，即存在的不動(dòng)點(diǎn).唯一性： 設(shè)，說(shuō)明 是的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，=. 從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù).滿(mǎn)足：對(duì)于值域中的每一個(gè)值，中有且只有一個(gè)值，使得，則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為的反函數(shù)，記作或.、注釋a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)有反函數(shù)，意味著是與之間的一個(gè)一一映射，稱(chēng)為映射的逆映射，它把；b) 函數(shù)與互為反函數(shù)，并有: 在反函數(shù)的表示中，是以為自變量，為因變量.若按習(xí)慣做法用做為自變量的記號(hào)，作為因變量的記號(hào)，則函數(shù)的反函數(shù)可以改寫(xiě)為應(yīng)該注意，

22、盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對(duì)應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號(hào)不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出時(shí)有所差別.六 、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)（類(lèi)）常量函數(shù)（為常數(shù)）；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù).注：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來(lái)定義無(wú)理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義給定實(shí)數(shù)，設(shè)為無(wú)理數(shù)，我們規(guī)定：這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對(duì)有理數(shù)定義的缺陷問(wèn)題：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確界是否存在呢？”初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)在有限次四則運(yùn)算

23、與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為初等函數(shù)如：不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對(duì)象.為此，除對(duì)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn).例求下列函數(shù)的定義域.（）； （）3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例: 設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù), 則（1）是初等函數(shù), 因?yàn)?（2） 和 都是初等函數(shù),因?yàn)?, .（3）冪指函數(shù) 是初等函數(shù),因?yàn)?作業(yè) ：3；4:（）、（）；5:（）；7:（）；114具有某些特性的函數(shù)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)4具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的

24、：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見(jiàn)術(shù)語(yǔ).教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會(huì)求一些簡(jiǎn)單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：引 言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類(lèi)具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過(guò)，因此，這里只是簡(jiǎn)單地提一下.與“有界集”的定義類(lèi)似，先談?wù)動(dòng)猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù)1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義1設(shè)為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)有，則稱(chēng)

25、為D上的有上（下）界函數(shù)，稱(chēng)為在D上的一個(gè)上（下）界.注：（1）在D上有上（下）界，意味著值域是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集；（2）又若為在D上的一個(gè)上（下） 界，則任何大于（小于）的數(shù)也是在D上的上（下）界.所以，函數(shù)的上（下）界若存在，則不是唯一的，例如：，1是其一個(gè)上界，下界為1，則易見(jiàn)任何小于1的數(shù)都可作為其下界；任何大于1的數(shù)都可作為其上界；（3）任給一個(gè)函數(shù)，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定義，可類(lèi)比給出“有界函數(shù)”定義：在D上有界是一個(gè)有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義定義2設(shè)為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù)，使得對(duì)每一

26、個(gè)有，則稱(chēng)為D上的有界函數(shù).注：（1）幾何意義：為D上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在和之間；（2）在D上有界在D上既有上界又有下界；例子：；（3）關(guān)于函數(shù)在D上無(wú)上界、無(wú)下界或無(wú)界的定義.例題例1 證明有界的充要條件為：,，使得對(duì),. 證明 如果有界，按定義0，有，即,取,即可.反之如果,使得，令，則，即，使得對(duì)有，即有界.例2證明為上的無(wú)上界函數(shù).例3設(shè)為D上的有界函數(shù).證明：（1）；（2）.例4驗(yàn)證函數(shù) 在內(nèi)有界.解法一 由當(dāng)時(shí),有 , 對(duì) 總有 即在內(nèi)有界.解法二 令 關(guān)于的二次方程 有實(shí)數(shù)根. 解法三 令 對(duì)應(yīng) 于是 二、單調(diào)函數(shù) 定義3設(shè)為定義在D上的函數(shù)， （1）若，則稱(chēng)為D上的增函

27、數(shù)；若，則稱(chēng)為D上的嚴(yán)格增函數(shù).（2）若，則稱(chēng)為D上的減函數(shù)；若，則稱(chēng)為D上的嚴(yán)格減函數(shù).例5證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)，如，則如，則故即得證.例6討論函數(shù)在上的單調(diào)性.，當(dāng)時(shí)，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無(wú)自交點(diǎn)或無(wú)平行于軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線(xiàn)至多有一個(gè)交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù).證明：設(shè)在上嚴(yán)格增函

28、數(shù).對(duì).下面證明這樣的只有一個(gè).事實(shí)上，對(duì)于內(nèi)任一由于在上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，總之.即，從而例7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；如果在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).證明：當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格增，當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4. 設(shè)D為對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的數(shù)集，為定義在D上的函數(shù).若對(duì)每一個(gè)有（1），則稱(chēng)為D上的奇函數(shù)；（2），則稱(chēng)為D上的偶函數(shù).注：（1）從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（中心對(duì)稱(chēng)），偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；（2）奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ(chēng)，因此沒(méi)有必要討論奇偶性.（3）從奇偶性角度對(duì)函數(shù)分類(lèi)：；（4）由于奇偶函數(shù)對(duì)

29、稱(chēng)性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí)，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)1、定義設(shè)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切有，則稱(chēng)為周期函數(shù)，稱(chēng)為的一個(gè)周期.2、幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）若是的周期，則也是的周期，所以周期若存在，則不唯一.如.因此有如下“基本周期”的說(shuō)法，即若在周期函數(shù)的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱(chēng)此最小周期為的“基本周期”，簡(jiǎn)稱(chēng)“周期”.如，周期為； （2）任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函數(shù)；2）（為常數(shù)），任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限引 言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過(guò)程來(lái)判斷它的變化趨勢(shì).例如有這么一個(gè)變

30、量，它開(kāi)始是1，然后為如此，一直無(wú)盡地變下去，雖然無(wú)盡止，但它的變化有一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)就是在它的變化過(guò)程中越來(lái)越接近于零.我們就說(shuō)，這個(gè)變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等），并且在實(shí)際問(wèn)題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長(zhǎng)（已知：），但這兩個(gè)公式從何而來(lái)？要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線(xiàn)段的長(zhǎng)度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過(guò)渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來(lái)一個(gè)突破.問(wèn)題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€(xiàn)段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是

31、彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說(shuō)，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說(shuō)，分成個(gè)等長(zhǎng)的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正邊形.易知，正邊形周長(zhǎng)為顯然，這個(gè)不會(huì)等于.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長(zhǎng)將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長(zhǎng). 越大，近似程度越高.但是，不論多么大，這樣算出來(lái)的總還只是多邊形的周長(zhǎng).無(wú)論如何它只是周長(zhǎng)的近似值，而不

32、是精確值.問(wèn)題并沒(méi)有最后解決.為了從近似值過(guò)渡到精確值，我們自然讓無(wú)限地增大，記為.直觀上很明顯，當(dāng)時(shí)，記成.極限思想.即圓周長(zhǎng)是其內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限.這種方法是我國(guó)劉微（張晉）早在第3世紀(jì)就提出來(lái)了，稱(chēng)為“割圓術(shù)”.其方法就是無(wú)限分割.以直代曲；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對(duì)極限作深入研究.1數(shù)列極限的概念教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無(wú)窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，

33、并能運(yùn)用語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列1 數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)”，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱(chēng)為數(shù)列.注：1）根據(jù)函數(shù)的記號(hào)，數(shù)列也可記為；2）記，則數(shù)列就可寫(xiě)作為：，簡(jiǎn)記為，即；3）不嚴(yán)格的說(shuō)法：說(shuō)是一個(gè)數(shù)列.2 數(shù)列的例子（1）；（2）；（3）； （4）二、什么是數(shù)列極限1引言對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，先看一個(gè)例子：古代哲學(xué)家莊周所著的莊子. 天下篇引用過(guò)一句話(huà)：“一尺之棰，日取其半，

34、萬(wàn)世不竭”.把每天截下的部分的長(zhǎng)度列出如下（單位為尺）；第1天截下，第2天截下，第3天截下，第天截下，得到一個(gè)數(shù)列： 不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無(wú)限增大而無(wú)限地接近于零.一般地說(shuō)，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，能無(wú)限地接近某一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱(chēng)為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說(shuō)，數(shù)列是收斂數(shù)列，0是它的極限.數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列.需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說(shuō)法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說(shuō)法，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把它精確地定義下來(lái).還有待進(jìn)一步分析.以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：隨著的無(wú)限增大，無(wú)限地接近于1隨著的無(wú)限

35、增大，與1的距離無(wú)限減少隨著的無(wú)限增大，無(wú)限減少會(huì)任意小，只要充分大.如：要使，只要即可；要使，只要即可；任給無(wú)論多么小的正數(shù)，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)，從該項(xiàng)之后，.即，當(dāng)時(shí)，.如何找？（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，取即可.這樣當(dāng)時(shí)，.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨的無(wú)限增大，無(wú)限接近于1，即是對(duì)任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.此即以1為極限的精確定義，記作或.2.數(shù)列極限的定義定義1 設(shè)為數(shù)列, 為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)有, 則稱(chēng)數(shù)列收斂于,實(shí)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的極限,并記作或.(讀作:當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫(xiě)成,即或.

36、若數(shù)列沒(méi)有極限，則稱(chēng)不收斂，或稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.問(wèn)題：如何表述沒(méi)有極限？ 3.舉例說(shuō)明如何用定義來(lái)驗(yàn)證數(shù)列極限例1.證明: .證明: 不妨設(shè),要使 |0|N時(shí),有 |0|=例2 求證 .證明: 不妨設(shè)，要使 ，只要 （注意這里 ），只要 . 取，則當(dāng) 時(shí)，就有 ， 即 .例3 求證.證法1 先設(shè)，要使 ， 只要 ， 只要 ，只要 . 取 ， 當(dāng) 時(shí)，就有，即 .對(duì)，令 ，則 .證法2 令，則 ，, 要使, 只要 ，取，只要，就有，即.例4 證 .證明: 因?yàn)?， 要使，只要，取 ，則只要 ，就有，即.例5 證明: 注意到對(duì)任何正整數(shù)時(shí)有 就有 于是，對(duì) 取 例6 證法一 令 有 用Bernoull

37、i不等式，有 或 證法二 （用均值不等式） 例7 證一： 時(shí)， 證二： （二項(xiàng)式展開(kāi)） 因此，取，則當(dāng)時(shí)就有 即附：此題請(qǐng)注意以下的錯(cuò)誤做法：（注意 不趨于零）例8：證明證明：由于 （） （*）因此，只要取便有由于（*）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng)時(shí)就有即 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過(guò)份.4 關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）關(guān)于： 的任意性.定義1中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù)的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意

38、小，說(shuō)明與常數(shù)可以接近到任何程度；的暫時(shí)固定性.盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出；的多值性.既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中的不等式中的可用等來(lái)代替.從而“”可用“”代替；正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個(gè)確定的正數(shù).（2）關(guān)于： 相應(yīng)性，一般地，隨的變小而變大，因此常把定作，來(lái)強(qiáng)調(diào)是依賴(lài)于的；一經(jīng)給定，就可以找到一個(gè)；多值性. 的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的，因?yàn)閷?duì)給定的，若時(shí)能使得當(dāng)時(shí),有,則或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上，在許多場(chǎng)合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在實(shí)際使用中的

39、也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“”改為“”也無(wú)妨.（3）數(shù)列極限的幾何理解：在定義1中，“當(dāng)時(shí)有”“當(dāng)時(shí)有” “當(dāng)時(shí)有” 所有下標(biāo)大于的項(xiàng)都落在鄰域內(nèi)；而在之外，數(shù)列中的項(xiàng)至多只有個(gè)（有限個(gè)）.反之，任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個(gè)，設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)的最大下標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)有，即當(dāng)時(shí)有，由此寫(xiě)出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義（鄰域定義）：定義 任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個(gè)，則稱(chēng)數(shù)列收斂于極限.由此可見(jiàn)：1）若存在某個(gè)，使得數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)落在之外，則一定不以為極限；2）數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)之后的變化趨勢(shì)有關(guān)，而與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān).所以，在討論數(shù)列極限時(shí)，可以添加、去掉或改變它的

40、有限項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響.例1證明和都是發(fā)散數(shù)列.例2設(shè)，作數(shù)列如下：. 證明.例3設(shè)為給定的數(shù)列，為對(duì)增加、減少或改變有限項(xiàng)之后得到的數(shù)列.證明：數(shù)列與同時(shí)收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)兩者的極限相等.三、無(wú)窮小數(shù)列在所有收斂數(shù)列中，在一類(lèi)重要的數(shù)列，稱(chēng)為無(wú)窮小數(shù)列，其定義如下：定義2若，則稱(chēng)為無(wú)窮小數(shù)列.如都是無(wú)窮小數(shù)列.數(shù)列收斂于的充要條件：定理2.1數(shù)列收斂于 的充要條件是為無(wú)窮小數(shù)列.作業(yè) 教材P27 3，4，5，7，8.2收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限2收斂數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法.教學(xué)要求：（1）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列

41、性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性、保不等式性；（2）掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理，并會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點(diǎn)：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的計(jì)算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：引 言上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過(guò)例題說(shuō)明了驗(yàn)證的方法，這是極限較基本的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來(lái)解決問(wèn)題.還需要對(duì)數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論.一、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1（極限唯一性）若數(shù)列收斂，則它的極限唯一.證一：假設(shè)都是數(shù)列的極限，則由極限定義，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有 ； 時(shí)，有 取，則當(dāng)時(shí)有由的任意性，上式僅當(dāng)時(shí)才成立.證二：（反證）假

42、設(shè)極限不唯一，即至少有兩個(gè)不相等的極限值，設(shè)為，且故不妨設(shè)，取由定義，當(dāng)時(shí)有 又，當(dāng)時(shí)有 因此，當(dāng)時(shí)有 矛盾，因此極限值必唯一.性質(zhì)2（有界性）如果數(shù)列收斂，則必為有界數(shù)列.即，使對(duì)有 證明：設(shè)取，使得當(dāng)時(shí)有 即 令 則有對(duì)即數(shù)列有界注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如在證明時(shí)必須分清何時(shí)用取定，何時(shí)用任給.上面定理3.2證明中必須用取定，不能用任給，否則隨在變，找到的也隨在變，界的意義就不明確了.性質(zhì)3（保序性）設(shè)， （1） 若，則存在使得當(dāng)時(shí)有（2） 若存在，當(dāng)時(shí)有，則（不等式性質(zhì)）證明：（1）取，則存在，當(dāng)時(shí) 從而又存在，當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) （2）（反證）如，則由知必當(dāng)時(shí)這與已知矛

43、盾推論（保號(hào)性）若則，當(dāng)時(shí).特別地，若，則，當(dāng)時(shí)與同號(hào).思考：如把上述定理中的換成，能否把結(jié)論改成？例：設(shè)（），若，則證明：由保序性定理可得 若，則，當(dāng)時(shí)有即若，則，當(dāng)時(shí)有 數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限？性質(zhì)4（四則運(yùn)算法則）若、都收斂，則、也都收斂，且 ，特別地，為常數(shù)如再有則也收斂，且 證明：由于，故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可.設(shè)，當(dāng)時(shí) ；，當(dāng)時(shí) 取，則當(dāng)時(shí)上兩式同時(shí)成立.（1） 由收斂數(shù)列的有界性，對(duì)有故當(dāng)時(shí)，有 由的任意性知（2） 由保號(hào)性，及，對(duì)有（如可令）取，則當(dāng)時(shí)有由的任意性得 用歸納法，可得有限個(gè)序列的四則運(yùn)算： ， .但將上述換成，一般不成立.事實(shí)上或本身也是一種極限，兩

44、種極限交換次序是個(gè)非常敏感的話(huà)題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體什么條件，到后面我們會(huì)系統(tǒng)研究這個(gè)問(wèn)題.性質(zhì)5（兩邊夾定理或迫斂性）設(shè)有三個(gè)數(shù)列、，如，當(dāng)時(shí)有，且，則證明：，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 取，則當(dāng)時(shí)以上兩式與已知條件中的不等式同時(shí)成立，故有時(shí) 即該定理不僅提供了一個(gè)判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個(gè)求極限的方法.推論：若，當(dāng)時(shí)有（或）且，則例：求證（）證明：使得，從而當(dāng)時(shí)有 由于由推論即可得結(jié)論例：設(shè)，是個(gè)正數(shù)，證明證明：設(shè)，則 ，由迫斂性得結(jié)論.例1： 在證明中, 令， ，得，由此推出.由此例也看出由和, 也推出.例2： 證明 .證明： 令 , ， 兩邊

45、夾推出 ，即.在求數(shù)列的極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.下舉幾例；例3： 求極限 解 .例4： 求極限 .解 .例5：例6：求，解：原式即：有理式的極限如 例7：例8：設(shè)，證明 .證明： .二 數(shù)列的子列1、引言極限是個(gè)有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列的極限不存在時(shí)，這個(gè)工具隨之失效.這能說(shuō)明什么呢？難道沒(méi)有一點(diǎn)規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從“整個(gè)”數(shù)列的特征角度對(duì)數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無(wú)序”，“部分”是否也無(wú)序呢？如果“部分”有序，可否從“部分”來(lái)推斷整體的性質(zhì)呢？簡(jiǎn)而言之，能否從“部分”來(lái)把握“整體”呢？這個(gè)“部分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”. 子列的定義定義1 設(shè)為數(shù)列，

46、為正整數(shù)集的無(wú)限子集，且，則數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)子列，簡(jiǎn)記為.注1 由定義可見(jiàn)，的子列的各項(xiàng)都來(lái)自且保持這些項(xiàng)在中的的先后次序.簡(jiǎn)單地講，從中取出無(wú)限多項(xiàng)，按照其在中的順序排成一個(gè)數(shù)列，就是的一個(gè)子列（或子列就是從中順次取出無(wú)窮多項(xiàng)組成的數(shù)列）.注2 子列中的表示是中的第項(xiàng)，表示 是中的第k項(xiàng)，即中的第k項(xiàng)就是中的第項(xiàng)，故總有. 特別地，若，則，即.注3 數(shù)列本身以及去掉有限項(xiàng)以后得到的子列，稱(chēng)為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱(chēng)為的非平凡子列.如都是的非平凡子列.由上節(jié)例知：數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限.那么數(shù)列的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下

47、面的結(jié)果：定理2.8 數(shù)列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂證明： 必要性 設(shè)是的任一子列任給，存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有由于故當(dāng)時(shí)有，從而也有，這就證明了收斂（且與有相同的極限） 充分性 考慮的非平凡子列，與按假設(shè)，它們都收斂由于既是，又是的子列，故由剛才證明的必要性， （9）又既是又是的子列，同樣可得 （10）（9）式與（10）式給出 所以由課本例7可知收斂由定理28的證明可見(jiàn)，若數(shù)列的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列與必收斂于同一個(gè)極限于是，若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散，或有兩個(gè)子列收斂而極限不相等，則數(shù)列一定發(fā)散例如數(shù)列其偶數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于1，而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于，從而發(fā)散再如數(shù)

48、列，它的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列即為，由于這個(gè)子列發(fā)散，故數(shù)列發(fā)散由此可見(jiàn)，定理28是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具3數(shù)列極限存在的條件教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限 3數(shù)列極限存在的條件教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具.教學(xué)要求：（1）掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限；（2）初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性.教學(xué)重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：引 言在研究比較復(fù)雜的極限問(wèn)題時(shí)，通常分兩步來(lái)解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問(wèn)題）；

49、若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問(wèn)題）.這是極限理論的兩基本問(wèn)題.在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題之后，即使極限值的計(jì)算較為困難，但由于當(dāng)充分大時(shí)，能充分接近其極限，故可用作為的近似值.本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問(wèn)題.為了確定某個(gè)數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來(lái)作出判斷.從收斂數(shù)列的有界性可知：若收斂，則為有界數(shù)列；但反之不一定對(duì)，即有界不足以保證收斂.例如.但直觀看來(lái)，若有界，又隨n的增大（減少）而增大（減少），它就有可能與其上界（或下界）非常接近，從而有可能存在極限（或收斂）.為了說(shuō)明這一點(diǎn)，先給出具有上述特征

50、的數(shù)列一個(gè)名稱(chēng)單調(diào)數(shù)列.一、單調(diào)數(shù)列定義若數(shù)列的各項(xiàng)滿(mǎn)足不等式，則稱(chēng)為遞增（遞減）數(shù)列.遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列例如：為遞減數(shù)列；為遞增數(shù)列；不是單調(diào)數(shù)列.二、單調(diào)有界定理問(wèn)題 （1）單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？；（2）收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎？一個(gè)數(shù)列，如果僅是單調(diào)的或有界的，不足以保證其收斂，但若既單調(diào)又有界，就可以了.此即下面的極限存在的判斷方法.定理（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限.幾何解釋?zhuān)簡(jiǎn)握{(diào)數(shù)列只可能向一個(gè)方向移動(dòng)，故僅有兩種可能：（1）點(diǎn)沿?cái)?shù)軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)；（2）無(wú)限趨于某一個(gè)定點(diǎn)，即.證明：不妨設(shè)單調(diào)增加有上界，把看作集合，有確界原理，存在即：（1），；（2），使由于單

51、調(diào)增加，故當(dāng)時(shí)有即當(dāng)時(shí) 亦即 #例1：，證明數(shù)列，收斂，并求其極限.證明：從該數(shù)列的構(gòu)造，顯見(jiàn)它是單調(diào)增加的，下面來(lái)證它是有界的.易見(jiàn)，且，從而 兩端除以得 ，故有界即得極限存在設(shè)，對(duì)等式兩邊取極限，則有因?yàn)檎龜?shù)列，故，因此取即為所求極限例2：求（為一定數(shù)，）解：記 ，則且 ，則，當(dāng)時(shí) ，故后，單調(diào)遞減，又有 極限一定存在，設(shè)為由 兩邊取極限得 （）例3 設(shè) 證明數(shù)列收斂.例4 求 ( 計(jì)算的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解：由均值不等式, 有有下界;注意到對(duì)有 有 ,三、柯西收斂準(zhǔn)則1、引言單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件柯西收斂準(zhǔn)則.Cauchy

52、收斂準(zhǔn)則定理（auchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有.證明：“” 收斂，則存在極限，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)有當(dāng)時(shí)有 “”先證有界性，取，則，特別地，時(shí) 設(shè) ，則，再由致密性定理知，有收斂子列，設(shè)，取，當(dāng)時(shí)有 故 列、基本列（滿(mǎn)足收斂準(zhǔn)則的數(shù)列）收斂準(zhǔn)則的另一表示形式：，當(dāng)時(shí)，對(duì)有 說(shuō)明Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題.Cauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱(chēng)為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起

53、.Cauchy準(zhǔn)則把定義中與a的之差換成與之差.其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性.例：如數(shù)列滿(mǎn)足（）且，證明數(shù)列收斂.證明：令，（不妨設(shè)），取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任給自然數(shù)有 .故由收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂.例：證明數(shù)列 發(fā)散證明：要證：，對(duì)，必有，使得 設(shè)則 因此，如，則這樣，對(duì)，不管多大，如取，則，且 ，這說(shuō)明不是一個(gè)數(shù)列.應(yīng)用 例5 證明: 任一無(wú)限十進(jìn)小數(shù) 的不足近似值所組成的數(shù)列 收斂. 其中是中的數(shù).證明： 令 有 例6： 設(shè) 試證明數(shù)列收斂.關(guān)于極限 證明留在下節(jié)進(jìn)行.例7： 例8： 例9： 作業(yè) 教材P3839 1，3，5，6，10，11

54、；教材P4041 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P38 3（4）提示：考慮用雙逼原理可求得） 附： 數(shù)列單調(diào)有界證法欣賞:Cauchy (17891857 ) 最先給出這一極限，Riemann（18261866）最先給出以下證法一.證法一 （ Riemann最先給出這一證法 ） 設(shè) 應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)，得 ，+ 注意到 且比多一項(xiàng) 即. 有界.綜上, 數(shù)列單調(diào)有界. 證法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 為正整數(shù) ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 .為證上方有界, 考慮數(shù)列 可類(lèi)證. 事實(shí)上, (此處利用了Ber

55、noulli不等式 ) .顯然有 有 即數(shù)列有上界.證法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 .令 可仿上證得 時(shí), ( 時(shí)無(wú)意義, 時(shí)諸=, 不能用均值不等式. ) 當(dāng)時(shí), 由 由 . 4.注: 以上證法二和證法三可參閱數(shù)學(xué)通報(bào)1980.4 P22.證法四 ( 仍利用均值不等式 ) 即 .有界性證法可參閱上述各證法.注: 證法四可參閱數(shù)學(xué)教學(xué)研究1991.1 馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”.證法五 先證明：對(duì) 和正整數(shù)，有不等式 事實(shí)上， 該不等式又可變形為 ( 為正整數(shù) )在此不等式中, 取 則有 就有 .取 又有 對(duì)成立， 又由 注: 這一證法可參閱The Am

56、erican Mathematical Monthly 1974. Vol 81. 9 P1011函數(shù)極限引 言在數(shù)學(xué)分析中，所討論的極限基本上分兩部分，第一部分是“數(shù)列的極限”，第二部分是“函數(shù)的極限”.二者的關(guān)系到是“特殊”與“一般”的關(guān)系；數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例.通過(guò)數(shù)列極限的學(xué)習(xí).應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是研究變量的變化趨勢(shì)的”或說(shuō)：“極限是研究變量的變化過(guò)程，并通過(guò)變化的過(guò)程來(lái)把握變化的結(jié)果”.例如，數(shù)列這種變量即是研究當(dāng)時(shí)，的變化趨勢(shì).我們知道，從函數(shù)角度看，數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域是，? 或或.研究數(shù)列的極限，即是研究當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)變化趨勢(shì).此處函數(shù)的自

57、變量只能取正整數(shù)！因此自變量的可能變化趨勢(shì)只有一種，即.但是，如果代之正整數(shù)變量而考慮一般的變量為，那么情況又如何呢？具體地說(shuō)，此時(shí)自變量x可能的變化趨勢(shì)是否了僅限于一種呢？為此，考慮下列函數(shù):類(lèi)似于數(shù)列，可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；除此而外，也可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量時(shí)，的變化趨勢(shì), 由此可見(jiàn)，函數(shù)的極限較之?dāng)?shù)列的極限要復(fù)雜得多，其根源在于自變量性質(zhì)的變化.但同時(shí)我們將看到，這種復(fù)雜僅僅表現(xiàn)在極限定義的敘述有所不同.而在各類(lèi)極限的性質(zhì)、運(yùn)算、證明方法上都類(lèi)似于數(shù)列的極限.下面，我們就依次討論這些極限.1函數(shù)極限的概念教學(xué)內(nèi)容：第三章 函數(shù)極限1

58、函數(shù)極限的概念教學(xué)目的：掌握各種函數(shù)極限的分析定義，能夠用分析定義證明和計(jì)算函數(shù)的極限教學(xué)要求：掌握當(dāng)；時(shí)函數(shù)極限的分析定義，并且會(huì)用函數(shù)極限的分析定義證明和計(jì)算較簡(jiǎn)單的函數(shù)極限教學(xué)建議： 本節(jié)的重點(diǎn)是各種函數(shù)極限的分析定義對(duì)多數(shù)學(xué)生要求主要掌握當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的分析定義，并用函數(shù)極限的分析定義求函教學(xué)過(guò)程：一、時(shí)函數(shù)的極限1、引言設(shè)函數(shù)定義在上，類(lèi)似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù).這種情形能否出現(xiàn)呢？回答是可能出現(xiàn)，但不是對(duì)所有的函數(shù)都具此性質(zhì).例如無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限地接近于0；無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限地接近于；無(wú)限增大時(shí)，與任何數(shù)都不能無(wú)限地接近.正因?yàn)槿绱?，所以?/p>

59、有必要考慮時(shí)，的變化趨勢(shì).我們把象，這樣當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為“當(dāng)時(shí)有極限”.問(wèn)題如何給出它的精確定義呢? 類(lèi)似于數(shù)列,當(dāng)時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下.2. 時(shí)函數(shù)極限的定義定義1設(shè)為定義在上的函數(shù)，為實(shí)數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有 , 則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限.記作或.幾點(diǎn)注記定義1中作用與數(shù)列極限中作用相同，衡量與的接近程度，正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中相類(lèi)似，表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)n.的鄰域描述：當(dāng)時(shí)，的幾何意義：對(duì)，就有和兩條直線(xiàn)，形成以為中心線(xiàn)，以為寬的帶形區(qū)域.“當(dāng)時(shí)有”表示：在直線(xiàn)的右方，曲線(xiàn)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域內(nèi)

60、.如果給得小一點(diǎn)，即帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線(xiàn)一般往右移；但無(wú)論帶形區(qū)域如何窄，總存在正數(shù)，使得曲線(xiàn)在的右邊的全部落在這個(gè)更窄的帶形區(qū)域內(nèi).現(xiàn)記為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，若函數(shù)值能無(wú)限地接近于常數(shù)，則稱(chēng)當(dāng)或時(shí)時(shí)以為極限，分別記作，或，或.這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，簡(jiǎn)寫(xiě)如下：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.（5）推論：設(shè)為定義在上的函數(shù)，則.4利用的定義驗(yàn)證極限等式舉例例1證明.例2證明1）；2）.二、時(shí)函數(shù)的極限1、引言上節(jié)討論的函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，是假定為定義在上的函數(shù)，這事實(shí)上是，即為定義在上，考慮時(shí)是否趨于某個(gè)定數(shù).本節(jié)假定為定義在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)的函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某