大學(xué)物理第3章-剛體力學(xué)基礎(chǔ)課件

1、第三章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)Foundation of Rigid Body Mechanics本章內(nèi)容3.1 剛體運(yùn)動(dòng)概述3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律3.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.4 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系3.5 剛體的角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律3.6 進(jìn) 動(dòng)1.剛體 內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無(wú)限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系。3.1 剛體運(yùn)動(dòng)概述2.剛體的運(yùn)動(dòng)形式 剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過(guò)該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)2.1 平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保

2、持方向不變。 特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。O自由度：確定一個(gè)物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。3. 剛體的自由度 自由度的概念 剛體的自由度xyzO3個(gè)平動(dòng)自由度 (x，y，z) 。確定質(zhì)心C的位置:3個(gè)方位角 (a，b，g )，其中兩個(gè)是獨(dú)立的。確定剛體繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度j 。i = 3+2+1= 6 當(dāng)剛體受到某些限制自由度減少。角位置： 3.2.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 角位移： 角速度：角加速度： xOPrv3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

3、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律在描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，采用角量描述最簡(jiǎn)單。 角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿(mǎn)足右手螺旋定則。3.2.2 角量和線量的關(guān)系矢量表示： xOPrv3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題 第一類(lèi)問(wèn)題已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 = (t)，求角速度、角加速度 微分問(wèn)題 第二類(lèi)問(wèn)題已知角速度或角加速度及初始條件，求轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 = (t) 積分問(wèn)題 對(duì)于剛體繞定軸勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度 = 常量，有一飛輪繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間的關(guān)系為 =10t 2，式中 的單位為rad，t 的單位為s 。根據(jù)定義，飛輪的角速度為飛輪的角加速度為距轉(zhuǎn)軸r處質(zhì)點(diǎn)的切向加速度法向加速度

4、例解求(1)飛輪的角速度和角加速度；(2)距轉(zhuǎn)軸r處的質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)它的角速度0 = 0，經(jīng)150s其轉(zhuǎn)速達(dá)到12000r/min，已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間t的平方成正比。根據(jù)題意，設(shè) （k為比例常量） 由角加速度的定義，有分離變量并積分，有在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。例解求t 時(shí)刻轉(zhuǎn)子的角速度為當(dāng)t =150s，轉(zhuǎn)子的角速度為則有由此得 由角速度的定義 ，得轉(zhuǎn)子在150s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為因而轉(zhuǎn)子在這一段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為3.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量合外力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主

5、要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.3.1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)方向如圖對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fisini= miait外力矩內(nèi)力矩3.3.2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以riait=rizOrifiFimiiiO剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消外力矩內(nèi)力矩一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)Fi sini+ fi sini = ( mi ri2 ) Fi sini = （mi ri2）令J mi ri2 J為剛體對(duì)于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

6、量則有剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。用 表示合外力矩討論： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體 2. M 的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方 向加速的力矩為正。轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。1. M 一定，J3、M 和 J 要相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。3.3.3 、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：（質(zhì)量離散分布）若質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線分布體分布面分布為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的面密度剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與下列因素有關(guān)：（1）與剛體的體密度有關(guān)。（2）與剛體的幾何形狀(即體密度的分布)有關(guān)。（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。單位 注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連

7、續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。例3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx例4.勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

8、量 的迭加Id距 為 、半徑為 、微厚為Oyydr的薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()另解，ROryz*平行軸定理： 以JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為平行軸定理。則有：JJCmd2。*疊加原理：對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各部分物體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和J=JA+JB+JCCO 例4、 右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為R）RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板

9、轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直于幾何軸mI = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心2I =2m R33.3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用已知轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程=( t ) ，求剛體所受合外力矩M；已知?jiǎng)傮w所受合外力矩 M 及初始條件，求剛體的角加速度 、角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。 剛體動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題 對(duì)平動(dòng)的剛體列出牛頓第二定律方程，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 列出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程； 注意利用角量與線量的

10、關(guān)系。 應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解剛體動(dòng)力學(xué)的一般思路 要注意正確選取角速度、角加速度和力矩的正負(fù)； 除了受力分析，還要進(jìn)行力矩分析。在進(jìn)行受力、力矩分 析時(shí)，對(duì)剛體要找準(zhǔn)力的作用點(diǎn)，以便求力矩； 例5: 已知光滑桌面,滑輪半徑R,質(zhì)量為Mc,兩物體質(zhì)量分別為m1 m2 ,求兩物體的加速度和繩的張力.m2m1解:答案正確?只有mc=0時(shí)，才成立解 (1) 用隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系A(chǔ)BCOOOO解得：如令 ，可得例6、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪

11、的角速度。mg解：mg例7、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為60kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來(lái)。求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？=0.40N解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr例8、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。XOmgmmgCXOxc方向?yàn)椋航猓喊粝聰[為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣例9. 一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤(pán)平

12、放在粗糙的水平面上。若它的初速度為o，繞中o心旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為）or解：drR3.4 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系3.4.1 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能對(duì)剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能求和在剛體上任取一質(zhì)點(diǎn)Pi質(zhì)點(diǎn)Pi的動(dòng)能為（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能） 討論 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能就是組成剛體所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和； 與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能相比較，可看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的地位對(duì)應(yīng)于質(zhì) 點(diǎn)的質(zhì)量m，說(shuō)明J是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。力矩：力矩對(duì)剛體所作的功： 功率：力矩對(duì)剛體的瞬時(shí)功率等于力矩和角速度的乘積。 現(xiàn)在討論力矩對(duì)空間的積累效應(yīng)3.4.2 力矩的功3.4.3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定

13、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能變化的原因可以用力矩做功的效果來(lái)解釋。上式即為： 合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理只適用于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 討論 剛體中一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和為內(nèi)力的功不影響剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。3.4.4、剛體的重力勢(shì)能hhihcxOmCm一個(gè)質(zhì)元：整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。3.4.5 含有剛體的力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能（系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律） 對(duì)含有剛體的力學(xué)系統(tǒng)，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)力都不作功，或作功的總和始終為零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。當(dāng) A

14、外 + A非保內(nèi) = 0 時(shí)，有力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能應(yīng)包括 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、重力勢(shì)能，彈性勢(shì)能； 平動(dòng)剛體的平動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能； 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能，即例、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：上次的例題另解如下：本題可以有幾種不同的解法。如圖，一質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)其一端O且與桿垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若將此桿在水平位置時(shí)由靜止釋放。例解求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與水平方向成角=/6 時(shí)的角速度。 (1)應(yīng)用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解

15、。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 變量代換 由此得即當(dāng) 時(shí) (2) 應(yīng)用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解 只有重力矩在作功，根據(jù)動(dòng)能定理，有分離變量后兩邊積分，有由此得 (3) 應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求解 摩擦力不計(jì)，只有重力作功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取細(xì)桿的水平位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)則有由此解得即當(dāng) 時(shí) 3.5 剛體的角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律 3.5.1、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量質(zhì)元對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為 沿轉(zhuǎn)軸Oz的投影為所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為： 角動(dòng)量 L=J 與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 p=mv 相對(duì)應(yīng)。把剛體看作非常多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。剛體上所有質(zhì)元對(duì)固定軸的角動(dòng)量的方向相同。2、剛體的角動(dòng)量定理轉(zhuǎn)

16、動(dòng)定律沖量矩（角沖量）表示合外力矩在t0t 時(shí)間內(nèi)的累積作用?，F(xiàn)在討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量定理單位： 牛頓米秒J改變時(shí)3.5.2、角動(dòng)量守恒定律 M = 0 的原因，可能F0；r =0;Fr.在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中還有M0，但它與軸垂直，即Mz=0,對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒(méi)有作用，則剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量依然守恒。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體?；踊\(yùn)動(dòng)員通過(guò)改變身體姿態(tài)（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）來(lái)改變轉(zhuǎn)速 角動(dòng)量守恒不僅適用于宏觀物體，也同樣適用于天體運(yùn)動(dòng)和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)?；\(yùn)

17、動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)貓的下落（A）貓的下落（B）角動(dòng)量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變, 因而產(chǎn)生了季節(jié)變化.北南北南角動(dòng)量守恒的現(xiàn)象:質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力力矩運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量動(dòng)量定理角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的比較質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒力的功力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能定理動(dòng)能定理重力勢(shì)能重力勢(shì)能機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的比較（續(xù)）3.5.3 角動(dòng)量守恒定律在工程技術(shù)上的應(yīng)用 陀螺儀與導(dǎo)航支架S外環(huán)陀螺G內(nèi)環(huán)陀螺儀：能夠繞其對(duì)稱(chēng)軸高速 旋轉(zhuǎn)的厚重的對(duì)稱(chēng)剛體。陀螺儀的特點(diǎn)：具

18、有軸對(duì)稱(chēng)性和繞對(duì)稱(chēng)軸有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 陀螺儀的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角動(dòng)量的大小和方向都保持不變；無(wú)論怎樣改變框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化。 直升機(jī)螺旋槳的設(shè)置尾槳的設(shè)置：直升機(jī)發(fā)動(dòng)后機(jī)身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個(gè)向下的角動(dòng)量。為了不讓機(jī)身作這樣的反向旋轉(zhuǎn)，在機(jī)身尾部安裝一個(gè)尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)產(chǎn)生了一個(gè)推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機(jī)身扭轉(zhuǎn)作用。對(duì)轉(zhuǎn)螺旋槳的設(shè)置：雙旋翼直升機(jī)則無(wú)需尾槳，它在直立軸上安裝了一對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安裝了一對(duì)轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時(shí)它們轉(zhuǎn)向相反，保持系統(tǒng)的總角動(dòng)量仍然為零。 J11J22JJ=+12)(

19、解：由角動(dòng)量守恒得：JJJ=+12211J2122JJ1 例1 兩摩擦輪對(duì)接。若對(duì)接前兩輪的角12、速度速度分別為求：對(duì)接后共同的角例2、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M.解:子彈與棒碰撞前后角動(dòng)量守恒v0vmM例3 質(zhì)量分別為M1、M2,半徑分別為R1 、R2的兩均勻圓盤(pán),可分別繞通過(guò)盤(pán)心且與盤(pán)面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)下盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，上盤(pán)靜止。后上盤(pán)落倒下盤(pán)上且與下盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)。求兩盤(pán)共同的角速度。解由角動(dòng)量守恒有：例4 質(zhì)量分別為M1、M2 ,半徑分別為R1 、R2 的兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的

20、軸轉(zhuǎn)動(dòng),二軸平行。原來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以10 ，20 的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),然后平移二軸使它們的邊緣相接觸,如圖所示.求最后在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí),每個(gè)圓柱的角速度1，2 。R2M2R1M11020R1M1R2M212二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，故有：首先，在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí),二圓柱邊緣的線速度一樣,故有：解法一由以上二式就可解出1，2。這種解法對(duì)嗎? R1M1R2M212注意：認(rèn)為系統(tǒng)的總角動(dòng)量為二圓柱各自對(duì)自己的軸的角動(dòng)量之和是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動(dòng)量只能對(duì)同一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)該怎么解？（思考題）正確的解法應(yīng)對(duì)兩圓柱分別使用角動(dòng)量定理：R1M1R2M2R1M1R2M2由此可解得:式中各量均為絕對(duì)值！例5.光滑水平面上靜止放著一個(gè)能繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻細(xì)桿，質(zhì)量為M，桿長(zhǎng)l，今有一質(zhì)量為m的小球以速度v，垂直于桿與桿的端點(diǎn)相撞。求碰撞后細(xì)桿的角速度。（1）完全彈性碰撞。（2）完全非彈性碰撞。解：取桿心為固定參考點(diǎn)（1）角動(dòng)量守恒，能量守恒角動(dòng)量守恒：能量守恒：解得： 當(dāng) 時(shí)， ,小球被反彈（2）角動(dòng)量守恒，整體運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒：整體運(yùn)動(dòng)：解得：能量損失：例6、以質(zhì)量為M,半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái),以角速度a轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸的摩擦略去不計(jì),(1)有一質(zhì)量為m的蜘蛛垂直地落在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣上,此