邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示

1、 8. 4邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示學(xué)習(xí)思路:邊界條件應(yīng)用是彈性力學(xué)分析的重要步驟，本節(jié)討論應(yīng)用K-M表示面力邊界條件。由于應(yīng)力和位移分量都是復(fù)變函數(shù)表示的，為方便進(jìn)一步的分析， 面力邊界條件也需要用K-M函數(shù)表達(dá)。在直角坐標(biāo)系中，邊界條件是以函數(shù)形式表示的，對(duì)應(yīng)于一點(diǎn)的邊界條 件。而在復(fù)變函數(shù)解中，更多使用邊界線段的表達(dá)形式， 這是復(fù)變函數(shù)性質(zhì)決定 的。用復(fù)變函數(shù)描述的面力邊界條件有三個(gè)。顯然，這三個(gè)關(guān)系式不是獨(dú)立 的，僅有兩個(gè)獨(dú)立關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn):.任意一點(diǎn)的面力邊界條件復(fù)變函數(shù)表達(dá).邊界線段AB的面力邊界條件：%+ N*+獷力、(工x+凡)出.邊界力矩與K-M函數(shù)的關(guān)系：舅=Re-zfp/(z

2、)-z(z) +4.位移邊界條件3 -十外-9 3/二2H思考題：1.根據(jù)上述面力邊界條件說(shuō)明：對(duì)于單連域彈性體，K-M函數(shù)為單值解 析函數(shù)，而對(duì)于多連域，K-M函數(shù)將不再是單值的。(解答)對(duì)于彈性力學(xué)平面問(wèn)題，其面力邊界條件為將復(fù)變函數(shù)表示的應(yīng)力分量表達(dá)式d2u班砂代入上式，則d2U d2U加dy2 dxdy-mfixd2u ;T- - IdxdyA量取的弧長(zhǎng)（邊界彈性體ds設(shè)AB為彈性體的任意一段邊界，而 s是從邊界上一 1 的外法線n指向弧長(zhǎng)的右邊），如圖所示。則由幾何關(guān)系I = cos(,x) = cos a = ch掰=cos(颶 y)= sin a =-dxds將上式代入公式必源嗎

3、.ia?法方，可得0 +加 4)-Q /)+j1 3*JG)dz+eonst .7/應(yīng)該注意的是，%*Q)在多連域內(nèi)是單值連續(xù)的，但是其積分卻不一 定是單值連續(xù)的。設(shè)具有增量 2 i Cko則1mJ 3*JQ)(b =Eqin(分)+3。(n)將上式代入復(fù)位勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，可得死二屯4叱 y)、Z(G - 分4)lnQ -4)-24 Q -%)+ + 3*f (z) JtWL*=1比司L TOC o 1-5 h z 制腌 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 二二4加值一/)+41nQ-4)+甲*工 上=1t=l上式中，Ak為實(shí)常數(shù)，而耳為復(fù)常數(shù)。即

4、在多連域內(nèi)，3f(0為一個(gè)單 值解析函數(shù)再加上前面兩項(xiàng)。對(duì)于應(yīng)力分量表達(dá)式% - + 2i = 2叵/ + /Q)43二消“+ E豆、由于良a ,而zk在域s之外，3f(刃域內(nèi)為單值解析函數(shù)。因此*(z)也必須為單值解析函數(shù)。但是 中(z)不一定是單值解析函 數(shù)，作分析同前，有口=J，也=y*+良ln(z - zj以 】其中啊*g）為單值解析函數(shù)，對(duì)為任意復(fù)常數(shù)。由此，對(duì)于多連域，k-m 函數(shù)仰0）和巴z）的確定出現(xiàn)了三個(gè)待定常數(shù) Ak, %和次。其值必須由位移單值 條件和面力邊界條件確定。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，位移分量為2C?(u + iv)3 /二當(dāng)z繞lk一周時(shí)，則上式成為3 p2日1認(rèn)二苗

5、0一務(wù),3 v八)+ 4”止2疝3-v1 + u A+ r因此，位移單值條件要求4 二，片十匕二口通過(guò)位移單值條件，只有一個(gè)復(fù)常數(shù)還不能確定。位移單值條件沒(méi)能確定的另一個(gè)復(fù)常數(shù)條件將根據(jù)面力邊界條件確定。對(duì)于內(nèi)邊界h設(shè)邊界面力的主矢量為E二（%+詞）小%則W +iF；=帆+ Z級(jí)+ +兩將公式3f =4 ln（K）+ Z（G - zMln（z 一分）一24 Q -%）+ +?*f 無(wú)可*=1比司L制腌=4加卜一/） + /1nQ-4）+甲*工立=1t=l代入上式，則琦 +iF： = -2iL（yk -r）聯(lián)立求解，可得-白 OiF） 匕二？（F、i玲） Sji8”將上述待定常數(shù)回代 公式夕二J

6、U七二獷*+ 顯InQ - zj1 4- v 88二-(尸：+詞)1n3)+ 消 Q)q _ 口總獷二 bZ (-i)ln(z-zj + 獷 *上述公式為多連域內(nèi)保證位移和應(yīng)力單值連續(xù)條件的 Wf(z)和中(z)的表達(dá) 式，其中的*(2)和啊*0為多連域區(qū)域內(nèi)的單值解析函數(shù)。8.6無(wú)限大多連域中陣(z)和心z)的表達(dá)式學(xué)習(xí)思路：盡管K-M函數(shù)的基本形式已經(jīng)確定，但是對(duì)于一般的彈性力學(xué)問(wèn)題，仍 然難以確定函數(shù)的具體形式。本節(jié)討論無(wú)限大多連域的K-M函數(shù)表達(dá)形式。利用無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件， 簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)函數(shù)形式，并且在內(nèi)邊界之外將 K-M函數(shù)的解析函數(shù)部分展開(kāi)成勞倫 級(jí)數(shù)。并且利用應(yīng)力有界條件和無(wú)窮遠(yuǎn)應(yīng)力確

7、定部分級(jí)數(shù)系數(shù)，為進(jìn)一步工作奠定基礎(chǔ)0學(xué)習(xí)要點(diǎn)：.無(wú)限大多連域中K-M函數(shù)的一般形式；仍=_營(yíng)區(qū)+可）+/*。| ,因此= Inz + ki(l -)z=lll/+，R外的單值解析函數(shù)二1n ”紅_ 1(汨，汨z 2 z n z1 1 p 仙二-+/）L0-分）+ 3* （z）8耳I3 _ 1/ 加口二一上匯（E-打加。-幺）+收*因此，公式I可以表示為4=-答區(qū)+ i % ) In z +0*與3 - v .興二(K -i)lnz + *(z) o Jt組m，=f：%=f；其中,“】g 為所有m個(gè)內(nèi)邊界上的表面力在x和y方向的分量的代數(shù)和，而？*&)和中*(z)為以外區(qū)域內(nèi)除了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的解析

8、 函數(shù)。在無(wú)窮遠(yuǎn)處，我*(0和平*(z)可能為解析函數(shù)，也可能是非解析的。它 們?cè)邳c(diǎn)以外區(qū)域內(nèi)可以展開(kāi)成勞倫級(jí)數(shù)中* *f二工,?*Q) = 22/心二一*(巴+用)巧8 713 v .央Q)(居-i2)lnz +將K-M函數(shù)的表達(dá)式871,和 g *金二Z / ,獷二Z3”7F代入應(yīng)力分量表達(dá)式%+% =4RfQ),有%F =2聰2凡+i咽一詈(一叫+(b +在用上式右邊部分項(xiàng)雙/尸+ 丁巧二亞“/沖中+/5叫*口將隨| z|的增加而趨于無(wú)限大，因此當(dāng)P趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，為使應(yīng)力分量不至于成為無(wú)窮大，必須有%=% =。，(漢之2)同理，如果應(yīng)力表達(dá)式令一丐+2ir=2年竭3 +材,】的應(yīng)力分量有

9、界，則祈3在無(wú)窮遠(yuǎn)處有界，所以2=0,(2)于是，為了使應(yīng)力分量在無(wú)窮遠(yuǎn)處保持有界，則 K-M函數(shù)的形式為(工 +i)lnz + (5+iC)z + pf0(z)例二-/區(qū)+i4)h2+N*M=-乎O5te&OH(巴-七)1117 + (B，C，)z+ % Q)陽(yáng)=+土+$+ 2 + _0Z Z Z公式中八=之次=4 +區(qū)+與+與+ , FZ Z Z上式中外（工）和中0（z）在4以外區(qū)域，包括無(wú)窮遠(yuǎn)處均為解析函數(shù)。由 公巴士%二4%4式%-鼻+2i%=型鎮(zhèn)3 + 8（期可知如果令即二為二仃二0 ,將不會(huì)改變應(yīng)力分量，因此3f二一手（工+ i4）lnz + & + % 8ji -3 -iz獷Q）

10、二（F. -iF,）lnz + （B+iCA + h oTt“， b, 氏 A八二+4十年 z z Z內(nèi)二一I + 1/1丁 (兄+嗎加Z+力qzvTIr9_ + y丁(尺 +i)liiz+(B+iqz + pf0(z) 071口二學(xué)區(qū)一回）ln z + （F+iC）z +%中的常數(shù)B和B+iC在無(wú)窮遠(yuǎn)處具有力學(xué)意義，說(shuō)明如下。用小立 N8時(shí)，limWfQ）二為 liin r（z） = BiCf 蘇以九中一因?yàn)?，?dāng)r - 卜 支、。所以在無(wú)窮遠(yuǎn)%+ %二4區(qū)靖處，由公式% 一%+方% =棗處”+，（切% +% =43% q+2i% =2（卸+iC）設(shè)5, 5為彈性體無(wú)窮遠(yuǎn)處的主應(yīng)力， 如圖所示。而口為5與X軸的夾角，則a = -十 cos 2以 TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark124 o Current Document + o T b dT 2.d = -cos2a22r = -