二《九章算術(shù)》 (3)

1、中國古代數(shù)學(xué)瑰寶導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課秦始皇陵兵馬俑（中國, 1983）九章算術(shù) 起源：多數(shù)認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，但其中有些內(nèi)容可以追隨到周代。 作者：九章算術(shù)作者不祥，多認(rèn)為是先秦至西漢中的長時間里經(jīng)眾多學(xué)者編纂，修改而成的一本書。 九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種。 它是一本綜合性的歷史著作，承襲先秦數(shù)學(xué)發(fā)展的源流，進(jìn)入漢朝后又經(jīng)過許多學(xué)者的刪補(bǔ)最后成書。 它是當(dāng)時世界上最先進(jìn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。 九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)書中最重要的一種。九章算術(shù) 六藝：禮、樂、射、御、書、數(shù) 周禮九章算術(shù)（東漢，

2、公元1世紀(jì)初）九章算術(shù)的主要內(nèi)容 九章算術(shù)的內(nèi)容十分豐富，全書主要采用問題集的形式，收有246個與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題。 主要涉及算法方面，代數(shù)方面，幾何方面。 其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。 這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股等共九卷，號稱九章。 “粟米”：糧食按比例交易算法 “方程”：一次方程解法 “少廣”：開平方和立方算法“方田” ： 面積的計算 “衰分”：分配比例的算法“商功”： 體積的計算“均輸”： 攤派稅收的算法“勾股”： 勾股定理 “盈不足”

3、：盈虧問題的解法 按不同的用途分為九卷，故名九章算術(shù)九章包含的內(nèi)容：第一章“方田”：田畝面積計算 主要論述了各種平面幾何圖形面積的地畝面積算法及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則。 包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計算方法。 還給出了完整的分?jǐn)?shù)加減乘除以及約分和通分運(yùn)算法則也就是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。九章包含的內(nèi)容：第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換 本章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米、麥、面等之間的兌換比率及四項(xiàng)比例算法，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法 ，而希臘人的比例算法是幾何線段的比例，數(shù)字比例算法在歐洲出

4、現(xiàn)頗晚，被稱為“三率法”也叫“黃金法則”。第三章“衰分”：處理各種正、反比例分配問題 主要論述分配比例算法，其中問題多與商業(yè)、手工業(yè)及社會制度有關(guān)。 例：“今有大夫、不更、簪褭（zn nio）、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，問個幾何？”第四章 “少廣”：已知面積、體積、求其一邊長和徑長等 主要成就包括開平方、開立方的算法。用來求已知面積、體積，反求其一邊和徑長等。 而“開方術(shù)”開創(chuàng)了后來開更高次方和求更高次方程數(shù)值解之先河，并且指出了存在有開不盡的情形，并給這種不盡根數(shù)起了一個專門的名字“面”。第五章“商功”：土石工程、體積計算 主要論述各種立體圖形的體積算法，其中包括柱、錐、臺、

5、球體等內(nèi)容涉及筑城、修堤、開渠糧垛等施工方面的計算問題。第六章“均輸”：合理攤派賦稅 主要論述較為復(fù)雜的配方比例問題，其中最引人注目的是“均輸數(shù)”。主要解決按人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤等條件，平均繳納賦稅或攤派徭役等實(shí)際問題，用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。這很類似于條件極值問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題 主要論述盈虧問題的解法。通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。 這一方法除了對于線性問題給出精確的解外，也為非線性問題提供了一個有效的近似

6、解法。盈不足術(shù) 盈不足問題是我國數(shù)學(xué)的古典名題：今有共買物，人出八盈三，人出七不足四，問人數(shù)、物價各幾何.按代數(shù)解法，可設(shè)人數(shù)為x，物價為y，則有方程組： 人數(shù)為7，物價為53文錢.第八章“方程”：一次方程組問題 主要研究線性方程組的解法，其基本思想是消元“方程術(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣，解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出糧三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出糧三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出糧二十六斗。問上中下等禾谷每捆出糧各多少？解：設(shè)上中下禾各一秉打出的糧食分

7、別為x，y，z斗則解方程組 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題 主要討論有關(guān)勾股問題的解法，并論及簡單的勾股測量。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時的社會生活密切相關(guān)的。 九章算術(shù)主要有算術(shù)、代數(shù)和幾何三部分的內(nèi)容，概括了我國古人創(chuàng)造的領(lǐng)先于世界的數(shù)學(xué)成就.(1)、在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問題和“盈不足”算法。九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，其中有許多比例問題，在世界上也是比較早的?！坝蛔恪彼惴ㄐ枰o出兩次假設(shè)，是一項(xiàng)創(chuàng)造，中世紀(jì)歐洲稱它為“雙設(shè)法”，有人認(rèn)為它是由中國經(jīng)中世紀(jì)阿拉伯國家傳去的 (2)、九章算術(shù)總結(jié)了生產(chǎn)、生活實(shí)踐中大量的幾何知識，在方田、商功和勾股

8、章中提出了很多面積、體積的計算公式和勾股定理的應(yīng)用。 (3)、九章算術(shù)中的代數(shù)內(nèi)容同樣很豐富，具有當(dāng)時世界的先進(jìn)水平。 數(shù)學(xué)成就 九章算術(shù)確定了中國古代數(shù)學(xué)的框架，以計算為中心的特點(diǎn)，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題為目的的風(fēng)格。特點(diǎn) 1、九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作。2、其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造。3、九章算術(shù)在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則。4、現(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和九章算術(shù)介紹的方法大體相同。 注重實(shí)際應(yīng)用是九章算術(shù)的一個顯著特點(diǎn)。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。 九章算術(shù)是幾代人共同勞動的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成 九章算術(shù)及其注文中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想不僅對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響，也極大地促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展.歷史影響九章算術(shù)與高考真題 九章算術(shù)與高考真題案例展示C 課后拓展B4、 中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“引葭赴岸” 是一道名題，其內(nèi)容為： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊問水深葭長各幾何”意為：今有邊長為1丈的正方形水池的中央生長著蘆葦，長出水面的部分為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問水深蘆葦?shù)拈L度各是多少？ 將該問題拓展如圖，記正方形水池的剖面圖為ABCD，蘆葦