1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題：點面距離等 學案（Word版含答案）

1、空間向量專題13-1 點面距離等（5套，5頁，含答案）知識點：點面距離：利用法向量求點到面的距離定理： 如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.典型例題：在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是( 答案：A；解析：以D為原點建立空間直角坐標系，正方體棱長為a，則A1(a,0，a)，A(a,0,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(1,2)a)，B(a，a,0)，D(0,0,0)，設n(x，y，z)為平面BMD的法向量，則neq o(BM,sup6()0，且neq o(DM,sup6(

2、)0，而eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(1,2)a)，eq o(DM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(1,2)a).所以eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)z0，,xf(1,2)z0，)所以eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)z，,xf(1,2)z，)令z2，則n(1,1,2)，eq o(DA1,sup6()(a,0，a)，則A1到平面BDM的距離是deq f(|o(DA1,sup6()n|,|n|)eq f(r(6),6)a.)A.eq f(r(6),6)a B.eq f(

3、r(30),6)a C.eq f(r(3),4)a D.eq f(r(6),3)a如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4.求點B到平面PCD的距離 答案：eq f(4r(5),5)；解析：如圖，以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，eq o(PD,sup6()(4,0，2)，eq o(CD,sup6()(0，2,0)，eq o(BC,sup6()(4,0,0)，設面PCD的一個法向量為n(x，y,1)，則eq blc

4、rc (avs4alco1(no(CD,sup6()0no(PD,sup6()0)eq blcrc (avs4alco1(2y04x20)eq blcrc (avs4alco1(y0，xf(1,2)，)所以面PCD的一個單位法向量為eq f(n,|n|)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)，0，f(2r(5),5)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(o(BC,sup6()f(n,|n|)eq blc|rc|(avs4alco1(4，0，0blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)，0，f(2r(5),5)eq f(4r(5),5)，則點B到平面P

5、CD的距離為eq f(4r(5),5).隨堂練習：長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E為AB的中點，則到平面 的距離 答案：； 如圖：已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.（ 答案：；）AA1DCBB1C1空間向量專題13-2 點面距離等已知正方體ABCDA1B1C1D1，棱長為a，E、F、G分別是CC1、A1D1、AB的中點，求點A到平面EFG的距離 答案：eq f(r(3),6)a；解析：如圖建立空間直角坐標系，則A(a,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(a,2)，F(xiàn)eq blc(rc)(av

6、s4alco1(f(a,2)，0，a)，Geq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，0)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，a，f(a,2)，eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，eq o(GA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，0)，設n(x，y，z)是平面EFG的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(nEo(F,sup6()0,nEo(G,sup6()0)，eq blcrc (avs4alco1(x2yz0,2

7、xyz0)，xyz，可取n(1,1,1)，deq f(|o(GA,sup6()n|,|n|)eq f(f(a,2),r(3)eq f(r(3),6)a.即點A到平面EFG的距離為eq f(r(3),6)a.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側棱AA12，CA2，D是CC1的中點，試問在A1B上是否存在一點E使得點A1到平面AED的距離為eq f(2r(6),3)？（ 答案：eq f(2r(6),3)；解析：以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1

8、)，B(0,2,0)，設eq o(BE,sup6()eq o(BA1,sup6()，(0,1)，則E(2，2(1)，2)又eq o(AD,sup6()(2,0,1)，eq o(AE,sup6()(2(1)，2(1)，2)，設n(x，y，z)為平面AED的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(nAo(D,sup6()0,nAo(E,sup6()0)eq blcrc (avs4alco1(2xz0,21x21y2z0)，取x1，則yeq f(13,1)，z2，即neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(13,1)，2).由于deq f(|o(AA1,sup6()n|,|n|)

9、eq f(2r(6),3)，eq f(2r(6),3)eq f(4,r(5blc(rc)(avs4alco1(f(13,1)2)又(0,1)，解得eq f(1,2).所以，存在點E且當點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為eq f(2r(6),3).）如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA平面ABCD，若已知AB3，AD4，PA1，則點P到BD的距離為_ 答案：eq f(13,5)；解析：作AEBD于E，連結PE，PA面ABCD.PABDBD面PAEBDPE，即PE的長為點P到BD的距離在RtPAE中，AEeq f(12,5)，PEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(

10、f(12,5)2)eq f(13,5)._空間向量專題13-3 點面距離等如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是( 答案：B；解析：取B1C1的中點E，連結OE，則OEC1D1.OE面ABC1D1，O點到面ABC1D1的距離等于E點到平面ABC1D1的距離過E作EFBC1，易證EF面ABC1D1EFeq f(r(2),4)，點O到平面ABC1D1的距離為eq f(r(2),4)，故選B.) A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),4) C.eq f(r(2),2) D.eq f(r(3),2)如圖,在四棱錐中,

11、平面,且,求點到平面的距離.（ 答案：；解：取的方向分別為的正方向，建立空間直角坐標系，則，.,設平面的法向量為，.所以可令，點到平面的距離=.）在正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為1，利用向量法求點C1到A1C的距離 答案：eq f(r(6),3)；解析：如圖所示，以A點為坐標原點，以AB、AD、AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，所以A1C的方向向量為eq o(A1C,sup6()(1,1，1)，C1與直線A1C上一點C(1,1,0)的向量eq o(CC1,sup6()(0,0,1)所以eq o(

12、CC1,sup6()在eq o(A1C,sup6()上的投影為：eq o(CC1,sup6()eq f(o(A1C,sup6(),|o(A1C,sup6()|)eq f(1,r(3).所以點C1到直線A1C的距離deq r(o(sup7(),sdo5(|o(CC1,sup6()|2blc|rc|(avs4alco1(o(CC1,sup6()f(o(A1C,sup6(),|o(A1C,sup6()|)2)eq r(1f(1,3)eq f(r(6),3).空間向量專題13-4 點面距離等如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求

13、點B到平面EFG的距離。（ 答案：；） ABCDEFG已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，點E為CC1的中點，點F為BD1的中點。（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點D1到面BDE的距離。（ 答案：；解：（1）建立如圖直角坐標系，見例2，證略。 （2）設平面BDE的方程是mx+ny+pz+q=0，把D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1)代入得，m=p=-n，p=0，平面BDE方程為x-y+z=0 。故點D1（0,0,2）到面BDE的距離為： ）zyADCBA11B11C11D11FEx直角ABC的兩條直角邊BC3，AC4，PC平面ABC，PC

14、eq f(9,5)，則點P到斜邊AB的距離是 答案：3；解析：以C為坐標原點，CA、CB、CP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系則A(4,0,0)，B(0,3,0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(9,5)，所以eq o(AB,sup6()(4,3,0)，eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(4，0，f(9,5)，所以eq o(AP,sup6()在AB上的投影長為eq f(|o(AP,sup6()o(AB,sup6()|,|o(AB,sup6()|)eq f(16,5)，所以P到AB的距離為deq r(|AP|2blc(rc)

15、(avs4alco1(f(16,5)2)eq r(16f(81,25)f(256,25)3._長方體中則與間的距離為( 答案：C；)(A)1 (B) (C) (D) 2空間向量專題13-5 點面距離等如圖，在多面體中，平面平面，DEAC，AD=BD=1.()求AB的長；()已知，求點E到平面BCD的距離的最大值. 答案：；(本小題滿分12分)()平面ABD平面ABC，且交線為AB，而ACAB，AC平面ABD.又DEAC，DE平面ABD，從而DEBD.注意到BDAE，且DEAE=E，BD平面ADE，于是，BDAD.而AD=BD=1，. 5分()AD=BD，取AB的中點為O，DOAB.又平面ABD

16、平面ABC，DO平面ABC.過O作直線OYAC，以點O為坐標原點，直線OB，OY，OD分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.記，則，.令平面BCD的一個法向量為.由得.令，得.又，點E到平面BCD的距離.，當時，取得最大值，.12分如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA1.(1)求證：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求點C到平面B1DP的距離 答案：eq f(2,3)，eq f(1,3)；解析：如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為

17、x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1) (1)證明：設C1Dx，ACPC1，eq f(C1P,AC)eq f(C1D,CD)eq f(x,1x).由此可得D(0,1，x)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(x,1x)，0).eq o(A1B,sup6()(1,0,1)，eq o(A1D,sup6()(0,1，x)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1f(x,1x)，0).設平面BA1D的一個法向量為n1(a，b，c)，令c1，得n1(1，x，1)PB1平面BDA1，n1eq o(B1P,sup6()1(1)xeq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,1x)(1)00.由此可得xeq f(1,2).故CDC1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一個法向量n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，1).又n2(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量，cosn1n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,1f(3,2)eq f(2,3).故二面角AA1DB的平面角的余弦值為eq