42應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分課件

1、4.2 應(yīng)用留數(shù)定理 計算實變函數(shù)定積分在自然科學中常常需要計算一些實積分，特別是計算一些在無窮區(qū)間上的積分。例如：光學問題中需要計算菲涅爾積分 ；熱傳導問題中需要計算 ；阻尼振動問題中需要計算積分 等。我們在高等數(shù)學中已經(jīng)知道這些實變函數(shù)的積分需要特殊的技巧才能計算，有的很難，甚至不能計算。原因在于被積函數(shù)往往不能用初等函數(shù)的有限形式表示，因而就不能用牛頓萊布尼茲公式計算?？墒峭ㄟ^本節(jié)的學習我們會發(fā)現(xiàn)，這些實積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分(注意到當積分路徑沿實軸時，z=x即對應(yīng)于實積分)，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。利用留數(shù)定理計算實積分 一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線，使

2、積分路徑構(gòu)成閉合曲線；(2)選擇一個在曲線內(nèi)除了一些孤立奇點外都解析的被積函數(shù)F(z)，使得滿足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外；(3)計算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線內(nèi)的每個孤立奇點的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和；(4)計算輔助曲線上函數(shù)F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡單易求，甚至直接為零。設(shè)法將實積分 與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系。基本思想：(1)補上一段l2，使得l2上 的積分容易計算；(2)自變數(shù)變換，把l1變成 另一復(fù)平面上的回路。類型一：條件： 被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式； 區(qū)間是0，2 變數(shù)代換令z=eix，x 0，2， 作變換令由留數(shù)定理得： zk

3、為f(z)在單位圓內(nèi)的奇點例1：計算 該積分在力學和量子力學中很重要 例2：計算 解：令z=eix，則 f(z)有兩個2階極點， 其中 在|z|=1內(nèi)，則z1 處的留數(shù)為例3：計算 解：令z=eix，則 在|z|=1內(nèi)， ，以z=為一階極點例4：求 的值解：令z=ei，則被積函數(shù) 在|z|=1內(nèi)只有單極點 ，故類型二： (反常積分)條件： 區(qū)間(-，)； f(z)在實軸上無奇點，在上半平面上 除有限個奇點外是解析的； 當z在上半平面和實軸上時， zf(z)一致地0 若 ， 和 為互質(zhì)多 項式，上述條件意味著 無實的零 點， 的次數(shù)至少比 高兩階。所求積分通常理解為下列極限：若上述極限存在，這一

4、極限便稱為 的值。而當R1=R2時極限存在的話，該極限稱為積分 的主值，記為： P 上下限相等并同時本類型積分計算的是積分主值，如何計算？作如圖所示半圓形回路l只需證明例4：計算 解： =1， =1+x2，在實軸上無零點， 而 ，具有單 極點i，+i在上半平面，則例5：計算 ，（n為正整數(shù)） 解： 是偶函數(shù) 而 在上半 平面具有n階極點+i，則例6：計算 解： f(x)是偶函數(shù) 令z4+a4=0，則z4=-a4，即 也就是說 有4個單極點，其 中， 和 在上半平面例7：計算 ,(a0,b0) 的值。 解： 的分母多項式 的次數(shù)高于分子多項式次數(shù)兩次，它 在上半平面有z1=ai和z2=bi兩個單

5、極點 所以例8：計算 的值。 解： 為偶函數(shù)，且分母多項 式的次數(shù)高于分子多項式次數(shù)兩次， 它在上半平面有 和 兩個單極點，所以類型三：條件： F(x)是偶函數(shù)， G(x)是奇函數(shù)，積分 區(qū)間是0，； F(x)，G(x)在實軸上無奇點，在上半 平面除有限個奇點外是解析的； 當z在上半平面或?qū)嵼S上時，F(xiàn)(x) 和G(x)一致地0。要計算右邊的積分，需要用到約當引理。約當引理如果m為正數(shù)，CR是以原點為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當z在上半平面及實軸上時，F(xiàn)(z)一致地0，則證明：當z在上半平面及實軸上時，F(xiàn)(z)一致地0，所以max|F(z)|0，從而只需證明 即是有界的。在 范圍內(nèi)，有 ，當R 時，上式有限值，則約當引理成立。如果m為負數(shù)，則約當引理為CR是CR對于實軸的映像。以上兩式均已化為類型二，其中條件3已放寬，由約當引理保證，所以例：計算 (a0)的值。 解： 有兩個單極點ai，其中 ai在上半平面，則特殊情形：實軸上有單極點的情形條件：f(x)在實軸上有有限個單極點