【2020年高考必備】二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點(diǎn)嘗試法

1、二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點(diǎn)嘗試法導(dǎo)數(shù)最大的作用是判斷復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，我們可以很簡(jiǎn)單的求一次導(dǎo)數(shù)，然后通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)的根，就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而知道函數(shù)的趨勢(shì)圖像，不過(guò)這只是最基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在很多題目中我們求一次導(dǎo)數(shù)之后無(wú)法求出導(dǎo)函數(shù)的根，甚至也不能直接看出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，因此無(wú)法判斷單調(diào)性，在高考中不管文理都有極大可能用到二階導(dǎo)數(shù)，雖然文科不談二階導(dǎo)數(shù)，其實(shí)只是把一階導(dǎo)數(shù)設(shè)為一個(gè)新函數(shù)，再對(duì)這個(gè)新函數(shù)求導(dǎo)，本質(zhì)上依舊是二階導(dǎo)數(shù)。15例1.f(x)二ex+2x23x，當(dāng)x-時(shí)，f(x)-x2+(a-3)x+1恒成立，求實(shí)數(shù)a22的取值范圍。解析：f(x)5x2+(a3)x+1ex+2x23

2、xx2+(a3)x+11exx211a-上恒成立2ex一x2一1ex令g(x)=2,!則g(x)=2x21令h(x)=ex(x1)x21，則h(x)=x(ex1)2當(dāng)x時(shí)，h(x)0恒成立，即h(x)h(2)二8*70所以g(x)0,g(x)在,+乂)上單調(diào)遞增，g(x)二g(1)二2：e-92min24所以a0或g(x)0則可判斷出f(x)的正負(fù)minmax繼而判斷f(x)的單調(diào)性，流程如下圖所示：一階導(dǎo)我們對(duì)一階導(dǎo)數(shù)或通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)無(wú)法-對(duì)其中不能判斷符,數(shù)求出一階判斷單號(hào)的部分進(jìn)行求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的最值通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)求出一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)最小值大于等于0一階導(dǎo)數(shù)最大值小于等于0原函數(shù)單調(diào)遞原函數(shù)單調(diào)增

3、但是并不是一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法求根或者判斷正負(fù)就必須使用二階導(dǎo)數(shù)，有時(shí)候適當(dāng)?shù)膶?duì)函數(shù)做一些變形就可以省去很多麻煩，如下題：例2已知函數(shù)f(x)二(x+l)lnx-x+1,證明：當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在0 x1上單調(diào)遞增min即f(x)f(x)=f(1)=0max但是如果調(diào)整函數(shù)轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)并且還出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)最小值小于等于零，或一階導(dǎo)數(shù)最大值大于等于零的時(shí)候，則單純的二階導(dǎo)數(shù)將失靈，此時(shí)我們采用的是零點(diǎn)嘗試法，即確定一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的大致位置，如下：該零點(diǎn)滿足是原函數(shù)中最值一根據(jù)二階導(dǎo)判斷一階導(dǎo)的單調(diào)性可直接得出原函數(shù)的最值或者

4、帶有所設(shè)零點(diǎn)的式子的點(diǎn)若一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)且存在唯一_的零點(diǎn)，則設(shè)出零點(diǎn)還滿足這個(gè)零點(diǎn)使得一階導(dǎo)數(shù)為零對(duì)上圖的解讀：零點(diǎn)嘗試法其實(shí)是無(wú)法求出一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，且通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)無(wú)法得出需要的一階導(dǎo)數(shù)的最值，此時(shí)一般可以根據(jù)二階導(dǎo)的恒正或恒負(fù)來(lái)判斷出一階導(dǎo)是否只有一個(gè)零點(diǎn)，若用零點(diǎn)存在性定理能判斷出一階導(dǎo)數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則設(shè)出這個(gè)零點(diǎn)為x，但是難點(diǎn)就在這里，因?yàn)椴恢罍?zhǔn)確零點(diǎn)的區(qū)間，因此可能很難找出符合0題意區(qū)間的x，例如確定出x在某數(shù)之前或某數(shù)之后，但是所設(shè)的x滿足f(x)=0，0000通過(guò)這個(gè)式子可以得到一個(gè)關(guān)于x的等式，然后所設(shè)的點(diǎn)x肯定是原函數(shù)唯一的最值00點(diǎn)，因此若求原函數(shù)的最值則需要結(jié)合f(x)

5、=0這個(gè)等式，有的時(shí)候能求出一個(gè)不包0含x的最值或者含有x個(gè)很簡(jiǎn)單的數(shù)或式子，不過(guò)此方法并非無(wú)敵，若二階導(dǎo)數(shù)和00零點(diǎn)嘗試法均失效時(shí)，則需考慮你的思考方向是否正確了，關(guān)于零點(diǎn)嘗試法在2017年高考之前各個(gè)省份模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，在2017年高考中也出現(xiàn)了，因此這個(gè)方法必須作為高考中的備考題型掌握。零點(diǎn)嘗試法應(yīng)用舉例：例3已知函數(shù)f(x)二ex-ln(x+m)，當(dāng)m0解析：原題可以理解為當(dāng)m=2時(shí)，f(x)二ex-ln(x+2)0在定義域內(nèi)恒成立f(x)=ex+1(x+2)20所以f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，設(shè)在定義域內(nèi)存在x使得f(x)二00當(dāng)xG(-2,x)時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)遞增0所

6、以f(x)=f(x)=exln(x+2)min00且f(x0)-ex0一由得f(x)二f(x)二2ex00故當(dāng)m0min0例4已知函數(shù)f(x)二xlnx+ax,若對(duì)任意xg(1,+),f(x)k(x一1)+ax一x恒成立，求正整數(shù)k的值。xlnx2(x1)2解析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為當(dāng)xG(*)時(shí)，k0所以m(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增xm(x)mW二-1(沒(méi)有用)注意二階導(dǎo)失靈了minm(3)=1ln30所以存在xg(3,4)使得m(x)=xlnx2=00000 xe(1,x),m(x)0,h(x)0,h(x)0,h(x)單調(diào)遞增0 xlnx+xx(lnx+1)h(x)=h(x)=000=00min0

7、x-1x-100又因?yàn)閙(x)=x-Inx-2=x-1-(lnx+1)=000000由由得h(x)=h(x)=xmin00所以kx,k二1,2,30例5.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+ax2+x+1,g(x)=(x-1)ex+ax2,aeR,證明f(x)0 x-1x-1(x-1)2所以h(x)在(1,+w)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)沁limh(x)=-s(此時(shí)二階導(dǎo)失效)minxt1+因?yàn)閔(1)0且h(x)在(1,+Q單調(diào)，因此h(x)二0在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為x0當(dāng)xx時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增0當(dāng)1xx時(shí)，h(x)0，即f(x)g(x)例6已知函數(shù)f(x)二ex-ln(x+m)，當(dāng)m0解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-m,+如，f(x)=ex-,f”(x)=ex+x+m10(x+m)2此時(shí)f(x)在(-m,+8)上單調(diào)遞增，由于f(X)在x=-m處無(wú)意義，因此用極限判斷最小值f(x)minf(-m)二lim(ex-XT-m+1x+me-m-limxT-m+1x+m=g二階導(dǎo)失靈)*目前只知道f(x)單調(diào)遞增，f(X)是否有零點(diǎn)不確定，因此還需要判斷f(X)零1點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令f(x)=ex=0，即m=e-x一x，設(shè)g(x)=e-xx，f(x)X+m有沒(méi)有零點(diǎn)等價(jià)于y=m和g(x)=e-x-x有沒(méi)有交點(diǎn)因?yàn)間G)=-e-x-1m,limg(x)二-g故可知y=m