1.5.1二項式定理

1、二項式定理 對于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為二項式，其一般形式為： (ab)n（nN*）二項式 由于在許多代數(shù)問題中需要將二項式展開，因此，二項式定理研究的是(ab)n展開后的表達式的一般結(jié)構(gòu)。那么(ab)n 的展開式是什么呢？一、問題引入什么是二項式，二項式定理研究的是什么？二、講授新課問題1：有2個口袋，每個口袋都同樣裝有a,b兩個小球，現(xiàn)依次從這2個口袋中各取出一個小球，共有多少種不同的取法？請分別用列舉法、分類計數(shù)原理進行分析。列舉法：aa，ab，ba，bb 共4種.問題1：有2個口袋，每個口袋都同樣裝有a,b兩個小球，現(xiàn)依次從這2個口袋中

2、各取出一個小球，共有多少種不同的取法？分類計數(shù)原理：由于b選定后,a也隨之確定，因此：第一類，兩次都不取b（即兩次都取a），有 1種取法，第二類，任一次取b（即另一次取a），有 2種取法；第三類，兩次都取b（即兩次都不取a），有 1種取法。 共4種.問題2：請將(a+b)(a+b)逐項展開并整理思考：問題2與問題1的處理過程之間有何異同點？同：展開的過程就是取球的過程；異：取球ab，ba屬兩種方法，展開式中的ab，ba可合并同類項。 整理后，各項系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，即取球問題中分類計數(shù)原理的各類結(jié)果數(shù)。問題4：有3個口袋，每個口袋都同樣裝有a,b兩個小球，現(xiàn)依次從這3個口袋中各取出

3、一個小球，共有多少種不同的取法？請用分類計數(shù)原理進行分析問題5:探究1 推導(dǎo) 的展開式.問：合并同類項前的展開式中，共有幾項？能利用分步乘法計數(shù)原理解釋一下嗎？每項的次數(shù)為幾次？項的形式：項的系數(shù)： 展開式： 探究1 推導(dǎo) 的展開式.問：合并同類項后的展開式中，共有幾項？每項的次數(shù)為幾次？展開式項的排列方式如何？（按照a的降次冪還是升次冪排列的？）項的形式：項的系數(shù)：展開式： 探究2 推導(dǎo) 的展開式.請用分步乘法計數(shù)原理解釋一下？問：合并同類項后的展開式中，共有幾項？每項的次數(shù)為幾次？展開式項的排列方式如何？（按照a的降次冪還是升次冪排列的？）猜想探究3 仿照上述過程,推導(dǎo) 的展開式.二項式定

4、理問題6:1)公式右邊的多項式叫做(a+b)n的 ，其中 （r=0,1,2,n）叫做 ；2) 叫做二項展開式的通項，用Tr+1表示，該項是指展開式的第 項.二項展開式二項式系數(shù)r+1二項式定理：2.二項式系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)和均為n；（2）二項式的第一項a的次數(shù)由n逐次降到0， 第一項b的次數(shù)由0逐次升到n.1.項數(shù)規(guī)律：展開式共有n+1項二項式定理 注意：公式中a,b可以是單項式、多項式、任意實數(shù)。項數(shù)：次數(shù)：共有n1項 各項的次數(shù)都等于n， 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0 , 字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n .二項式定理:一般地，對于n N*，有：二項展開式的結(jié)

5、構(gòu)特征：展開式中項的排列方式如何？這個公式叫做二項式定理，很顯然二項式定理是研究形如 的展開式問題。式中 叫做二項展開式的通項，二項式定理:一般地，對于n N*，有：即（2）二項展開式的通項:即（1）二項式系數(shù):把各項的系數(shù) 叫做二項式系數(shù)為展開式的第k+1項，用 表示二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克牛頓于1664-1665年間提出二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中都有廣泛的應(yīng)用 定理應(yīng)用， 初步體驗 練習(xí)：那么對于 的展開式呢？析：問：展開式中第四項為？第四項的系數(shù)為？第四項的二項式系數(shù)為？項的系數(shù)為：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積注意：區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)

6、的概念二項式系數(shù)為典例導(dǎo)航（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。（3）請指出展開式的第4項的系數(shù)，二項式系數(shù)。（4）求展開式中含 的項。求第4項，并指出它的二項式系數(shù)和系數(shù)是什么？鞏固練習(xí)（3）用-b代替b ：（1）令a=1，b=x：（2）令a=1，b=1：（二項式系數(shù)和公式）四、理論遷移（一）法二：先化簡通項，后展開法一：直接展開 例1 （1）求 的展開式.（2）求 的展開式的第4項的系數(shù).（3）求 的展開式中x的二項式系數(shù).注：一個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)是兩個不同的概念。活學(xué)活用（一）四、理論遷移（二）總結(jié)：逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏 活學(xué)活用（二）1.二項式定理：2典型例題(2) 求二項展開式的第幾項及其系數(shù)、二項式系數(shù)。(3) 求二項展開式中含x的幾次方的項的問題。課堂小結(jié)(2)二項展開式的通項：(1)二項式系數(shù)：(1) 求形如 的展開式問題。方法直接利用二項式定理利用通項作業(yè)布置1、鞏固型作