補充教材：雙曲線

1、雙曲線 TOC o 1-5 h z 2211雙曲線 a匕=1的兩焦點坐標為,兩頂點坐標為。45解答:(3, 0), (-3, 0); (2, 0), (-2, 0)【詳解】：22當=1 時，a = 2, b=45, c= Ja2+ b2 =3 45中心(0, 0)兩焦點坐標(3, 0), ( 3, 0);兩頂點坐標(2, 0), ( 2, 0)2設 r： | Jx2+y2+ 2x10y+ 26- Jx2+y2+2x+10y+261 = 6, (1)將 r化為標準式?(2)之共腕雙曲線方程式為？ (3)之漸近線方程式為？2222解答：(1) (x+1) +匕=1(2) (x+1) L =1(3)

2、3x4y + 3 = 0169169【詳解】：|、；(x+1)2 + (y-5)2-v(x+1)2+(y+5)2 | = 6, , F(-1, -5), F(-1, 5) 2c=10, 2a=6=c= 5, a=3； b=4,中心(一1, 0) TOC o 1-5 h z 22故上義+L=116922共腕雙曲線匕=1169漸近線 3(x+1)= 4y= 3x4y+ 3=03 一雙曲線之貫軸兩頂點為 A(5, 3), B(13, 3), 一焦點為F(15, 3),求其方程式?(x-9)2 (y-3)21620【詳解】：1 一 一 一一 、, 一a=AB=4,中心。為 ABN 中點(9, 3)2c

3、= OF =15 9 = 6= b= c c2 a2 = 20: Ab : y=3貫軸平行x軸.方程式為空篁g.16204試求滿足下列條件的雙曲線方程式：(1)焦點(6, 0), F2(-4, 0),頂點A(4, 0), B(-2, 0)。(2)到二焦點 Fi(-1, 0), F2(3, 0)的距離差是 2g。解答:(1)(1- 上=1(2)_(1-工=1 91631【詳解】：1 -(1) c= F1F2 =5,2且中心(6，122 一a = - AB = 3, - b= -ca =420+ 0三)二 (1, 0)2F1F2 : y=0=貫軸平行x軸22.(一上L = 1為所求916 2a =

4、 2 5表一雙曲線。解答:(A)(B)【詳解】：| J(x-1)2+ (y+2)2 J(x+2)2 + (y2)2 | = k= F( 2, 2), F(1, 2)且 k = v：32+42 =5k5沒有圖形2【9】設工+，= 1,下列何者正確？ (A)球橢圓時，ti t t 1(B) 球長軸在x軸上之橢圓時，1t2 (C) 技雙曲線時，t3(D) 咫貫軸在x軸上之雙曲線時，t3 (E) t = 2時，表一圓。解答:(B)(C)(E) 【詳解】：X2V2 ft 3一r： -x+-y-= 1=橢圓時，3 twt1= 1t1雙曲線時，(3t)(t1)0= t3長軸在x軸之橢圓. 3 tt10: 1

5、t0n t1t-K0圓：3 t = t 1= t=2【10】以2x + y+1 = 0與2x y+ 3=0為兩漸近線，且經(jīng)過原點的雙曲線方程式 為, 它的正焦弦長=O1；(x+1)2 (V-1)2-33【詳解】：設以2x + y+1 = 0與2x y+3=0的雙曲線，其方程式為(2x+y+1)(2x y+3) = k欲滿足此雙曲線過原點的條件，必須(2. 0+0+ 1)(2. 0 0+3)=k,即k=3此雙曲線方程式為(2x + y+1)(2x-y+ 3) = 3 TOC o 1-5 h z 22即 4x2 y2+8x+2y=0,亦即()一(丫；)二142b22正焦弦長里，其中a= 3 , b

6、= V3 ;所以，正焦弦長=4北a2【11】雙曲線4x2y2 8x 4y + 4 = 0之(1)頂點坐標為。(2)漸近線方程式為 雙曲線上任一點到二漸近線之距離之積= 4解答:(1)(1, 4), (1, 0)(2) 2xy 4=0, 2x + y= 0(3)5【詳解】：4x2 y28x 4y+ 4= 0=4(x1)2 (y+ 2)2= 42, _ 2=._ 山+2_=114n中心(1, 2), c2=1 + 4=5,頂點(1, 4), (1, 0)漸近線 2x 2= 土(y+2)= 2x y 4=0 或 2x+y=0任一點到二漸近線之距離之積=2 2a b 4Ir =一a2+ b25【12】

7、設雙曲線r之二漸近線為3x2y+6=0與3x+2y + 2 = 0且過點(2, 3),則F之正焦弦長為【詳解】：設(3x2y+ 6)(3x+ 2y+ 2) = kn =(一2, 3)e r (一66 + 6)( 6+6+2)=k= k= 12，- 一、，- 一 一、 一 一 22- 一 一 一(y-1)23(x-4)23二 143F (3x-2y+6)(3x+ 2y+2)= 12= 9x24y2+24x+8y+12= 124 22= 9(x- _)2_4(y_1)2=_ 12= 38正焦弦長1=旦=迪,39【13】等軸雙曲線r之中心為(2, 1),正焦弦長22，一漸近線方程式為xy1 = 0(

8、1)之標準式為。(2)若r之貫軸平行x軸，則焦點坐標為解答:(1)(x-2)2(y-1)2= 1(2)(0, 1), (4, 1)【詳解】：_另一漸近線為(x-2)+(y- 1) = 0= x + y3 = 0設(x y 1)(x+ y3) = k= x2 y24x+2y+3= k=(x2)2(y1)2 = k一 22一 (x-2) (y-1) _ k2kk_ 221 或2L+(1工=1k k. - k2=1貫軸平行x軸時,故焦點F(0, 1),(x-2)2(y-1)22()- = 1=. c2 = 2 + 2 = 4n c=222F(4, 1)【14】設 A( 1, 0), C1: (x 5)2+y2 = 4, C2: (x +5)2 + y2=49,求(1)過A且與圓C1外切之方圓的圓心軌跡方程式。(2)與圓G, C2相切之軌跡方程式。解答:(1)_ 22(x-2)y22=1, x2(2)-= 1257544【詳解】： (1)PT = PA= PA=PO2n PO PA=2 雙曲線之一支 二 二焦點(一1, 0), (5, 0) 二中心(2, 0), c=3, a=1 =