結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算(清華版)詳解課件

1、第十五章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算15-1 兩類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題概述15-2 兩類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例15-3 有限自由度體系的穩(wěn)定 靜力法和能量法本課程主要內(nèi)容高強(qiáng)度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于輕型、薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計(jì)算日益重要。失穩(wěn)大到整個(gè)結(jié)構(gòu)，小到局部構(gòu)件！ 鋼筋的失穩(wěn)（縱筋與箍筋的綁扎箍筋的間距）； 柱模板（沿高度方向加箍）; 桁架中的受壓桿件（上弦桿）； 高層結(jié)構(gòu)中受壓柱的失穩(wěn)（軸壓比）。共性：受壓； 幾何特征問(wèn)題。（強(qiáng)度與長(zhǎng)細(xì)比的關(guān)系）一、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足三方面的要求 1、強(qiáng)度 2、剛度 3、穩(wěn)定性。二、基本概念 1、失穩(wěn)：當(dāng)荷載達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，體系由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，而喪失原始平衡

2、狀態(tài)的穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱“失穩(wěn)” 2、臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)度到不穩(wěn)定狀態(tài)的中間狀態(tài)（中性平衡狀態(tài)）。 3、臨界荷載：臨界狀態(tài)時(shí)相應(yīng)的荷載。 強(qiáng)度問(wèn)題與穩(wěn)定問(wèn)題（1）兩種極限狀態(tài)： 我國(guó)規(guī)范規(guī)定：在進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮兩種極限狀態(tài)。 1）承載能力極限狀態(tài)（Ultimate limit state） 指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到最大承載力或達(dá)到不適合繼續(xù)承載的變形的極限狀態(tài)。主要包括結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的強(qiáng)度（Strength）和穩(wěn)定（Stability）的計(jì)算。 2）正常使用極限狀態(tài)（Serviceability limit state） 指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到正常使用或耐久性的某項(xiàng)規(guī)定限值，如 軸心受壓桿的長(zhǎng)細(xì)比：

3、 梁的撓度： 梁的裂縫寬度：（2）強(qiáng)度、穩(wěn)定問(wèn)題的區(qū)別： 1）強(qiáng)度問(wèn)題 指由作用（Action）對(duì)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件產(chǎn)生的截面最大內(nèi)力（或截面上某點(diǎn)的最大應(yīng)力）是否超過(guò)截面的承載能力（或材料強(qiáng)度），因此，強(qiáng)度問(wèn)題是應(yīng)力問(wèn)題。 2）穩(wěn)定問(wèn)題 是要找出作用與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力之間的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)即變形開(kāi)始急劇增大的狀態(tài)，從而設(shè)法避免進(jìn)入該狀態(tài)，因此，穩(wěn)定問(wèn)題是一種變形問(wèn)題。 說(shuō)明：作用 直接作用：如：永久荷載、可變荷載，等 間接作用：如：地震、基礎(chǔ)沉降、砼收縮、 溫度變化，等（3）彈性穩(wěn)定問(wèn)題的特點(diǎn)： 一階分析（FOAFirst Order Analysis） 以未變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，不考慮變形對(duì)作用

4、效應(yīng)的影響。應(yīng)力問(wèn)題通常采用一階分析，也稱線性分析。 二階分析（SOASecond Order Analysis） 針對(duì)已變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，考慮變形對(duì)作用效應(yīng)的影響。穩(wěn)定問(wèn)題則采用二階分析，也稱幾何非線性分析。 1）穩(wěn)定問(wèn)題采用二階分析小變形，可用一階分析計(jì)算。 疊加原理適用條件：材料符合虎克定律： 強(qiáng)度問(wèn)題（應(yīng)力） 穩(wěn)定問(wèn)題（變形） 2）不能應(yīng)用疊加原理 3）穩(wěn)定問(wèn)題不必區(qū)分靜定和超靜定結(jié)構(gòu)15-1 兩類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題概述平衡狀態(tài)從穩(wěn)定性角度考察穩(wěn)定平衡狀態(tài)：干擾消失后，結(jié)構(gòu)能夠回到原來(lái)的平衡位置。不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來(lái)的位置。中性平衡狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過(guò)渡

5、的中間狀態(tài)假設(shè)結(jié)構(gòu)原來(lái)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，后來(lái)由于受到輕微干擾而稍微偏離其原來(lái)位置分析方法大撓度理論。小撓度理論。靜力法能量法剛性小球平衡狀態(tài)(1)穩(wěn)定平衡狀態(tài)(2)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)(3)隨遇平衡狀態(tài)根據(jù)受力狀態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題分類(lèi)1. 完善體系：理想中心受壓桿，無(wú)初曲率或彎曲變形 完善體系從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，其受力、變形狀態(tài)將變化，也即隨荷載變大有分叉點(diǎn)，稱分支點(diǎn)穩(wěn)定。分支點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化2. 非完善體系 受壓桿有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯(lián)合受力狀態(tài) 非完善體系，一般受力、變形性質(zhì)不發(fā)生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類(lèi)穩(wěn)定現(xiàn)象稱極值點(diǎn)穩(wěn)定。極值點(diǎn)

6、失穩(wěn)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒(méi)有變化FPcrcr突跳失穩(wěn)FPcrcr由受壓變成受拉，系統(tǒng)產(chǎn)生翻轉(zhuǎn)C3、失穩(wěn):隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡 轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡.這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性.分支點(diǎn)失穩(wěn)：（第一類(lèi)失穩(wěn)）完善體系（或稱理想體系）直桿（無(wú)初曲率），中心受壓（無(wú)初偏心）。Pl/2l/2POP1Pcr=1Pcr(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)(小撓度理論)DDP2原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。存在兩種不同形式的平衡狀態(tài)(直線、彎曲）。分支點(diǎn)B將原始平衡路徑 分為兩段。在分支點(diǎn)B出現(xiàn) 平衡的二重性。原始平衡由 穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。臨界荷載、臨界狀態(tài)2 Pcr由于荷載自Pcr至壓潰歷程極短，故

7、Pcr就成了失穩(wěn)的標(biāo)志。而大撓度理論和小撓度理論求出的臨界荷載十分貼近，可采用簡(jiǎn)單的小撓度理論求Pcr。 Pcr Pcrqcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合 Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn) 結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)的改變。即原來(lái)的平衡形式成為不穩(wěn)定而可能出現(xiàn)新的與原來(lái)平衡形式有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式，同時(shí)，這種現(xiàn)象帶有突然性質(zhì)變失穩(wěn)。分支點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：其它結(jié)構(gòu)的分支點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn)：（第二類(lèi)失穩(wěn)）非完善體系：具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿 P PPOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題

8、的區(qū)別：強(qiáng)度問(wèn)題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下：當(dāng) ,小變形，進(jìn)行線性分析（一階分析）。當(dāng) ,大變形，進(jìn)行幾何非線性分析（二階分析）。重點(diǎn)是求 內(nèi)力、 應(yīng)力穩(wěn)定問(wèn)題重點(diǎn)是研究荷載與結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長(zhǎng)的臨界點(diǎn)及相應(yīng)的臨界荷載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。 極值點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)一開(kāi)始受壓就處于壓彎狀態(tài)，失穩(wěn)與穩(wěn)定無(wú)明顯的界限，只是當(dāng)接近失穩(wěn)時(shí)，荷載增加很小，而撓度迅速增加。P-曲線具有極值點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)的變形過(guò)大，結(jié)構(gòu)將不能正常使用量變失穩(wěn)。 一、分支點(diǎn)失穩(wěn)lEIP-臨界荷載穩(wěn)定平衡中性平衡不穩(wěn)定平衡PP完善體系結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)

9、生了性質(zhì)上的突變，帶有突然性。二、極值點(diǎn)失穩(wěn)偏心受壓PP有初曲率非完善體系雖不出現(xiàn)新的變形形式，但結(jié)構(gòu)原來(lái)的變形將增大或材料的應(yīng)力超過(guò)其許可值，結(jié)構(gòu)不能正常工作。pcrpe穩(wěn)定自由度P1個(gè)自由度PP2個(gè)自由度無(wú)限自由度15-2 兩類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例在穩(wěn)定計(jì)算中，一個(gè)體系產(chǎn)生彈性變形時(shí)，確定其變形狀態(tài)所需的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。 穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法 在穩(wěn)定分析中，有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論： 線性理論(小撓度理論)中變形是一階微量，計(jì)算中將略去高階微量使計(jì)算得以簡(jiǎn)化，其結(jié)果與大變形時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大偏差。 非線性理論(大撓度理論)中考慮有限變形對(duì)平衡的影響，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合

10、的很好，但分析過(guò)程復(fù)雜。 Plk1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)EI=1）按大撓度理論分析 PRAPOAPcrB(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)(大撓度理論)不穩(wěn)定平衡(小撓度理論)隨遇平衡 分支點(diǎn)A處的臨界平衡也是不穩(wěn)定的。2）按小撓度理論分析 ( 1) 小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當(dāng)較大時(shí)平衡路徑的下降(上升)趨勢(shì)。隨遇平衡狀態(tài)是簡(jiǎn)化假設(shè)帶來(lái)的假象。注: 1）平衡方程是對(duì)變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。 2）建立平衡方程時(shí)方程中各項(xiàng)應(yīng)是同量級(jí)的，主要力項(xiàng)（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化，次要力項(xiàng)（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。 Plk2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)EI=1）

11、按大撓度理論分析 P RAP/klO=0=0.1=0.210.7850.380.6600.421.371.47/2P/klO10.20.6600.10.7850.30.556這個(gè)非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn).Pcr 隨增大而減小. PlkEI=2）按小撓度理論分析 PRAP/klO設(shè)：1，0（0），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的； 如總勢(shì)能Ep=U+ UP =0（=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的； 如總勢(shì)能Ep=U+ UP 0（0），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。 用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價(jià)于勢(shì)能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢(shì)能為駐值，即Ep=0PlA

12、BklMA=kPABBEI=0彈性體系的平衡方程勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性體系， 在一切微小的可能位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（真實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值，即：Ep=0 , Ep=應(yīng)變能U+外力勢(shì)能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k彈性應(yīng)變能荷載勢(shì)能:應(yīng)用勢(shì)能駐值條件:位移有非零解得：PlABkBEI= 總勢(shì)能是位移的二次函數(shù)，1）PUP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)=0，Ep為極小值0。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使Ep為極小值2）Pk/l ，當(dāng)0，Ep恒小于零（Ep為負(fù)定） (即UUP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載

13、勢(shì)能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置) 。當(dāng)=0，Ep為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l ，當(dāng)為任意值時(shí)，Ep恒等于零(即U=UP) 。 體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l 。PPcrP=Pcr 結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值Ep=0 ，且位移有非零 解。即在荷載達(dá)到臨界值前后，總勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr 時(shí)，必有總勢(shì)能=0。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD

14、2）能量法在新的平衡位 置各桿端的相 對(duì)水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD點(diǎn)的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢(shì)能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl體系總勢(shì)能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPEp勢(shì)能駐 值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyEpEp以后的計(jì)算步驟同靜力法能量法步驟:給出新的平衡形式;寫(xiě)出總勢(shì)能表達(dá)式;建立勢(shì)能駐值條件;應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程; 解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢(shì)能駐值

15、條件等價(jià)于以位移表示的平衡方程。體系總勢(shì)能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPEp總勢(shì)能Ep是位移y1 、y2的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。1）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。5）如果kl/3 Pkl，是負(fù)定的。由此可見(jiàn)，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。（或說(shuō)：勢(shì)能達(dá)駐值，位移有非零值）非正定PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解

16、：求失穩(wěn)曲線：實(shí)際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線2、能量法：外力勢(shì)能：PPllABCk2qk()21qq-k應(yīng)變能：總勢(shì)能：根據(jù)勢(shì)能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計(jì)算同靜力法。例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP例3：用能量法求圖示體 系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。求變形能和外力勢(shì)能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無(wú)外荷載作用時(shí)，桿端力的功=變形能。P例4：

17、用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC1-1P例4：用能量法求圖示體系的臨界荷載。 EI=兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求變形能和外力勢(shì)能：Dl/2EPlCEl/2DlP利用對(duì)稱性求 EI=1、正對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn) 曲線如圖。PAlllBCDC1qk02、反對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn) 曲線如圖。C)

18、(21qq+k0C小撓度、小位移情況下：Pl1抗轉(zhuǎn)彈簧A-穩(wěn)定方程（特征方程）-臨界荷載總結(jié)一、靜力法2個(gè)自由度體系-穩(wěn)定方程lAPlBP11.618-臨界荷載-失穩(wěn)形式靜力法 1、定義：假定體系處于微彎失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，列出相應(yīng)的平衡微分方程，進(jìn)而求解臨界荷載的方法。 2、步驟： （1）建立坐標(biāo)系、取隔離體、繪受力圖。 （2）列靜力平衡方程。 （3）將撓曲線方程代入平衡方程后，利用邊界條件求穩(wěn)定方程。 （4）解穩(wěn)定方程，求臨界荷載。具有彈性支座壓桿的穩(wěn)定PlP1練習(xí):簡(jiǎn)化成具有彈簧支座的壓桿PllPlPPk試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。l解：ppxy2.外力勢(shì)能1.應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能P拉壓應(yīng)變能PP剪切應(yīng)變能 外力從變形狀態(tài)退回到無(wú)位移的原始狀態(tài)中所作的功.y(x)q(x)3.結(jié)構(gòu)勢(shì)能二、能量法結(jié)構(gòu)勢(shì)能例