波利亞標(biāo)準(zhǔn)化程序解題應(yīng)用

1、波利亞標(biāo)準(zhǔn)化解題(ji t)的應(yīng)用共三十七頁前言(qin yn)：關(guān)于波利亞波利亞的生平簡介波利亞的數(shù)學(xué)(shxu)成就波利亞與他的怎樣解題共三十七頁波利亞生平(shngpng)簡介波利亞（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國。青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國數(shù)學(xué)會功勛獎。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)園和匈牙利科學(xué)院的院士。 著作：怎樣解題、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)與猜想等，這些書被譯

2、成很多國家(guji)的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。共三十七頁波利亞的數(shù)學(xué)(shxu)貢獻(xiàn)波利亞在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣。他的數(shù)學(xué)研究的最顯著特點(diǎn)是他有極為廣泛的興趣，對實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語和定理。另外，他一生發(fā)表(fbio)達(dá)200多篇論文和許多專著，他的論文被收集整理成四卷本的論文集，由美國麻省理工學(xué)院出版社出版(前兩卷在1974年出版，后兩卷在1984年出版) 共三十七頁波利亞與他的怎樣(znyng)解題波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題分析問題的能力。他認(rèn)為中

3、學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題。波利亞致力于解題的研究(ynji)，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究(ynji)了解題的思維過程，并把研究(ynji)所得寫成怎樣解題一書。共三十七頁怎樣解題這本書的核心是：他分解解題的思維過程得到的一張?jiān)鯓咏忸}表。這張表包括四大步驟：“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)(shxin)計(jì)劃”和“回顧”。其中，對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他認(rèn)為只要解題按照這四個步驟去做，必定成功。共三十七頁他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得

4、不考慮輔助問題。最終得出一個求解計(jì)劃?！彼褜ふ也l(fā)現(xiàn)(fxin)解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的慢動作鏡頭，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。共三十七頁波利亞的怎樣解題表的精髓是：啟發(fā)你去聯(lián)想。 聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)試指出一個具有相同未知數(shù)或相似(xin s)未知數(shù)的熟悉的問題。共三十七頁波利亞怎樣(znyng)解題表怎樣解題(ji t)表的介紹怎樣解題表的應(yīng)用共

5、三十七頁一、怎樣(znyng)解題表的介紹波利亞解題過程可分為以下四個階段：1.弄清問題認(rèn)識(rn shi)、并對問題進(jìn)行表征的過程，是成功解決問題的一個必要前提。2.擬定計(jì)劃是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置。4.回顧是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是個有遠(yuǎn)見的做法。共三十七頁弄清問題（1）未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足 條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者(huzh)它是否不充分？或者(huzh)是多余的？或者(huzh)是矛盾的？（2）畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枺?）把條件的各個

6、部分分開你能否把它們寫下來？共三十七頁擬定計(jì)劃（1）你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式(xngsh)稍有不同？（2）你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？（3）看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題（4）這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題共三十七頁（5）你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些(mu xi)輔助元素？（6）你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？（7）回到定義去。（8）如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。（9）你是否利用了所有的已知

7、數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？共三十七頁實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（1）實(shí)現(xiàn)你的求解(qi ji)計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟（2）你能否清楚地看出這一步驟是正確的？ （3）你能否證明這一步驟是正確的？共三十七頁回顧（1）你能否檢驗(yàn)這個論證？（2）你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果(ji gu)？（3）你能不能一下子看出它來？（4）你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？共三十七頁二、怎樣(znyng)解題表的應(yīng)用1（2013福建理7）在四邊形ABCD中， ， ，則該四邊形的面積(min j)為（ ）A、 B、C、 D、共三十七頁1、理解(lji)已知條件和未知本題的未知是什么？ 四邊形AB

8、CD的面積 由于題中所給的四邊形為不規(guī)則的四邊形，而對于不規(guī)則四邊形的面積求解，通?？赏ㄟ^以下兩條路徑進(jìn)行求解： 海倫(hi ln)公式： 共三十七頁1、理解(lji)已知條件和未知本題的已知條件(tiojin)是什么？四邊形ABCDABCD共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：四邊形ABCD未知：四邊形ABCD的面積解題路徑：海倫公式： ABCD共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：四邊形ABCD未知：四邊形ABCD的面積海倫公式： 由于海倫公式需已知四邊形四條邊長ABCD共三十七頁2、找到已知條件(tioj

9、in)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：四邊形ABCD未知：四邊形ABCD的面積 其中m，n為兩對角線長，為兩對角線的夾角ABCD共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系如何利用公式 求四邊形的面積(min j)？ 已知兩對角線的向量，則對角線長即為向量的模長，于是 。 而兩對角線的夾角則可以通過向量的數(shù)量積進(jìn)行求解。共三十七頁3、實(shí)現(xiàn)(shxin)計(jì)劃（開展解答）ACBD，又 ， ，四邊形ABCD的面積(min j)：故選C。共三十七頁二、怎樣解題(ji t)表的應(yīng)用2（2013福建理13）如圖ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上(bin shn)，ADAC， ，則BD的長為DAC

10、B共三十七頁1、理解(lji)已知條件和未知本題的未知是什么？ 直線BD的長 而直線BD是ABD的一條邊，對于三角形 邊長的求解(qi ji)，常有以下幾條路徑： 勾股定理 正弦定理 余弦定理DACB共三十七頁1、理解(lji)已知條件和未知本題的已知條件(tiojin)是什么？ 點(diǎn)D在BC邊上 ADAC 共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：點(diǎn)D在BC邊上 ADAC未知：直線BD的長 解題路徑： 勾股定理 正弦定理 余弦定理共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：點(diǎn)D在BC邊上 ADAC未知：直線BD的長勾股定

11、理： 適應(yīng)條件：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊，而ABD并不是直角三角形 共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：點(diǎn)D在BC邊上 ADAC未知：直線BD的長正弦定理： 適應(yīng)條件：已知兩角與一邊，或已知兩邊及一對角共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系已知條件(tiojin)：點(diǎn)D在BC邊上 ADAC未知：直線BD的長余弦定理： 適應(yīng)條件：已知兩邊及夾角，求第三邊共三十七頁2、找到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系如何利用余弦定理求BD的長呢？ 已知AB和AD的長，而由余弦定理可知： 于是問題(wnt)就轉(zhuǎn)化為了，求 ，共三十七頁2、找

12、到已知條件(tiojin)和未知的聯(lián)系如何求 的值呢？ 因?yàn)?yn wi) ADAC，所以DAC = 90， 于是BAC = BAD + 90， 再根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式就有：共三十七頁3、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃(jhu)（開展解答） ADAC，DAC = 90，BAC = DAC + BAD = BAD + 90，在ABC中，根據(jù)(gnj)余弦定理可得： 共三十七頁4、回顧(hug)正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的。回顧這個解題過程(guchng)可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息，同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息（三角形邊長的求解策略）共三十七頁4、回顧(hug)“你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地做出肯定的回答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問題或暫時(shí)現(xiàn)象?！澳隳懿荒馨堰@一結(jié)果或方法用于其他(qt)問題?” 能，只要是有關(guān)已知兩邊及其夾角，求第三邊長的題目，我們都可以通過余弦定理進(jìn)行求解。共三十七頁 謝謝(xi xie)！共三十七頁內(nèi)容摘要波利亞標(biāo)準(zhǔn)化解題的應(yīng)用。青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。波利亞在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣。其中，對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法