高三數(shù)學(xué)線面垂直三垂線定理

1、3線面垂直、三垂線定理一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo).掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，能用文字、符號(hào)、圖形規(guī)范 表述.掌握三垂線定理及其逆定理 ，.通過線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化提高化歸轉(zhuǎn)化能力.會(huì)求斜線與平面所成的角.二.建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).直線和平面垂直定義：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.記作：a，a.直線與平面垂直的判定方法：(1)判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則則線垂直；(2)依定義，一般要用反證法；(3)和直線的垂面平行的平面垂直于直線；(4)面面垂直的性質(zhì).直線和平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面白兩條直線平行 .點(diǎn)到平面的距離、直線和平面的距

2、離以及面面距離的求法：找出垂線段，在一個(gè)平面內(nèi)求，或用等積法、向量法求，.斜線、射影、直線和平面所成的角：定義一一性質(zhì)：從平面外一點(diǎn)向平面所引的垂線段和斜線段中(1)垂線段最短；(2)斜線段相等 =射影相等；(3)斜線段較長(短)=射影較長(短).三垂線定理：平面內(nèi)的直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和斜線垂直。三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直用途：判定線線垂直=線面垂直，二面角的平面角 .三、雙雙基題目練練手.已知a, b, c是直線，a,隊(duì)平面，下列條件中，能得出直線a,平面a的是()A. ac, a b,其中 b

3、6, ctB. ab, b / aC. oaP, a/ PD.a/b,ba2.如果直線l,平面a,若直線m, l,則m / a；若m 口,則m / l;若m / r則m L ;若m / l,則m a,上述判斷正確的是() TOC o 1-5 h z A.B.C.D.3.直角 ABC的斜邊BC在平面口內(nèi)，頂點(diǎn)A在平面儀外，則 ABC的兩條直角邊在平面口內(nèi)的射影與斜邊BC組成的圖形只能是()A. 一條線段B. 一個(gè)銳角三角形C. 一個(gè)鈍角三角形D. 一條線段或一個(gè)鈍角三角形.已知P為RtA ABC所在平面外一點(diǎn)，且 PA=PB=PC, D為斜邊AB的中點(diǎn)，則直 線PD與平面ABC.()A.垂直B.

4、斜交 C.成600角D.與兩直角邊長有關(guān).直線a, b, c是兩兩互相垂直的異面直線，直線 d是b和c的公垂線，則 d和 a的位置關(guān)系是.6. (2006浙江)正四面體 ABCD的棱長為1,棱AB/平面a ,則正四面體上的所有 點(diǎn)在平面a內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 .答案提示：1-3. DBDA; 5. all d;6. .5.CD，平面a時(shí)射影面積最小 生;CD/ a時(shí)射影面積最大1 .4 242四、經(jīng)典例題做一做【例1】AD為小ABC中BC邊上的高，在AD上取一點(diǎn)E,使AE=- DE ,過E點(diǎn)作 2直線MN / BC ,交AB于M ,交AC于N,現(xiàn)將 AMN沿MN折起，這時(shí) A點(diǎn)到

5、A點(diǎn)的位置，且ZAED=60,求證：AEL平面ABC.【例2】如圖，P為 ABC所在平面外一點(diǎn)，PAL平面 ABC, /ABC=90 , AEXPB T E, AFPF,求證：BC,平面AEL平面PAB;PBC;AEF.CBPC,平面證明：（1） RA，平面ABC =PAX BC 、ABXBCb=BC，平面 PAB.PAA AB=A jAEu 平面 PAB,由（1）知 AEXBC、AEPB AEL平面 PBC.PBA BC=BPCU 平面 PBC,（2）知 PCXAE PCXAF a 二 PC,平面 AEF.AEA AF=A【例 3】如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，NACB=90,A

6、C=1,CB= J2 ,側(cè)棱 AAi=1,側(cè)面A A1 B1B的兩條對(duì)角線交于點(diǎn) D, B1C1的中點(diǎn)為M,求證：CD,平面BDM證明：在直三棱柱 ABC AB1cl中CC1 _L AC ,又 ZACB =90 :AC _L平面 CB ,AA =1 , ac =1ac=。AC =BC , CD _A1B連結(jié)B1c，則B1c是AB在面BC上的射影，也是CD的射影在 ABBC 中，tanZBBC =/2在 ABB M 中，tan/BMB =啦，1 /BB1c =ZBMB1,B1c _LBM ,CD -BM , BM BD =B，CD _L平面 BDM .總結(jié)提練：證線面垂直，要注意線線垂直與線面垂

7、直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化證線線垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理，三垂線定理或通過線面垂直 .【例4】（2006浙江）如圖，在四錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD/ BC，/BAD =90;PA _L 底面 ABCD ,且 PA =AD =AB =2BC , M、N 分別為 PC、PB 的中點(diǎn).(I )求證：PB _LDM ;(n )求CD與平面ADMN所成的角.解：(I) n 是 PB 的中點(diǎn)，PA=PB, . AN _LPB.AD _L平面 PAB , AD _LPB ,從而 PB _L 平面 ADMN .- DM 匚平面 ADMN，.二 PB _LDM .(II )取AD的中點(diǎn)G ,連

8、結(jié)BG、NG ,則BG /CD , BG與平面ADMN所成的角和CD與面ADMN所成的角相等.1 PB J_平面 ADMN , NG是BG在面ADMN內(nèi)的射影，ZBGN是BG與平面ADMN所成的角.在R緲GN中，6受理.BG 5故CD與平面ADMN所成的角是arcsin包0.5五.提煉總結(jié)以為師.熟練掌握線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.證明線面垂直的常用方法：(1)用判定定理；(2)與直線的垂面平行(3)用面面垂直的性質(zhì)定理；(4)同一法.(5)用活三垂線定理證線線垂直 .3.線面角的求法：作出射影轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角同步練習(xí)9.3線面垂直、三垂線定理【選擇題】.若兩直線ab,且a,平面a,則b與o

9、t的位置關(guān)系A(chǔ)、相交B、 b/aC、 b/ a,或 boot D、 bGa.下列命題中正確的是（）A.過平面外一點(diǎn)作這個(gè)平面的垂面有且只有一個(gè)B.過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行平面有且只有一個(gè)C.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線有且只有一條D.過平面的一條斜線作這個(gè)平面的垂面有且只有一個(gè).給出下列命題：若平面a的兩條斜線段PA、PB在a內(nèi)的射影長相等，那么 PA、PB的長度相 等；已知PO是平面a的斜線段，AO是PO在平面a內(nèi)的射影，若 OQLOP,則必 有 OQXOA;與兩條異面直線都平行的平面有且只有一個(gè)；平面a內(nèi)有兩條直線a、b都與另一個(gè)平面 3平行，則a / 3 TOC o 1-5 h z

10、上述命題中不正確的是（）A.B. C.D. PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于 A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是（）A PAX BC B BC,平面 PAC C ACPB D PCXBC 【填空題】. AABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C到平面a的距離分別為 2 cm、3 cm、4 cm,且它 們在a的同側(cè)，則 ABC的重心到平面 a的距離為.在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?ABCD滿足條件 時(shí)，有 AiCXBiDi0（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案提示：i-4 CDAC; 5.3 cm;6. ACXBD或四邊形 ABCD菱形

11、等；【解答題】.如圖ABCD是矩形，PA,平面ABCD, DPAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN_L平面PCDA , M B. （2006福建）如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是 BD、BC的中點(diǎn),CA =CB =CD =BD =2,AB =AD = 2.（I ）求證：AO _L平面BCD;（II ）求異面直線 AB與CD所成角的大?。?III )求點(diǎn)E到平面ACD的距離.解法一：(I )證明：證/ AOB=90.(II)解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知 ME/AB,OE/ DC二直線OE與EM所成的銳角就是異面直線2 -1 _EM =

12、AB =,OE = DC =1,22丁 OM是直角 用OC斜邊AC上的中線，1 .2 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document OM = AC =1 cos - OEM =, 24一一2AB與CD所成角的大小為 arccos.4AB與CD所成的角.在AOME中,(III )等積法得AO.S CDES Acd即為所求.72- 2179.正方形 ABCD中，AB=2, E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，將 AED及 DCF 折起(如下圖)，使A、C點(diǎn)重合于A點(diǎn).(1)證明：A DXEF;(2)當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求 A D與平面DEF所成的角；(3)當(dāng)B

13、F = 1BC時(shí)，求三棱錐 A EFD的體積.4(1)證明：略(2)解：取EF的中點(diǎn)G,連結(jié)A G、DG 平面DEF，平面A DG.作 A HXDG 于 H,得 A H,平面 DEF , ./A DG為A D與平面DEF所成的角.在 RtAA7 DG 中，A G=5 .34610. 在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，ABiXBCi, AB=CCa, BC=b.(1)設(shè)E、F分別為 ABi、BCi的中點(diǎn)，求證： EF/平面 ABC;(2)求證：AiC-AB;(3)求點(diǎn)Bi到平面ABCi的距離.B(1)證明： E、F分別為ABi、BCi的中點(diǎn)，EF / Ai Ci. A1C1 / AC, EF

14、 /AC.EF/平面 ABC.(2)證明：AB=CCi,AB=BBi.又三棱柱為直三棱柱，四邊形 ABBiAi為正方形.連結(jié)AiB,則AiBXABi.又 ABiXBCi,.ABi,平面 AiBCi.ABi AiCi.又 AiCiX AAi, .AiCi,平面 AiABBi.AiCiXAB.(3)解：: AiBi / AB,.ABi/平面 ABCi.二Ai到平面ABCi的距離等于Bi到平面ABCi的距離.過Ai作AiGL ACi于點(diǎn)G,. AB，平面 ACCiAi,.ABAiG.從而AiGL平面ABCi,故AiG即為所求的距離，即 AiG=- Jb2 - a2 .b評(píng)述：本題(3)也可用等體積變

15、換法求解 .【探索題】(2004年春季上海)如下圖，點(diǎn) P為斜三棱柱 ABCAiBiCi的側(cè)棱BBi 上一點(diǎn)，PMBBi交AAi于點(diǎn)M, PNBBi交CCi于點(diǎn)N.(i)求證：CCiXMN;(2)在任意 DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DF - EFcos/ DFE .拓展到空間， 類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之 間的關(guān)系式，并予以證明.(i)證明： CCi / BBi CCiXPM, CCiXPN,CC平面 PMN- CCi MN.S四邊形ABB1 A1二S四邊形BCCiBi+6 一一 一四邊形ACCiAi2s四邊形 BCC1B1 , S四邊形 ACC1Al COS”,其中a為平面CCiBiB與平面CCiAiA所成的二面角 .CC平面PMN, 上述的