高三數學三角形四心向量形式的充要條件應用

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應用sin2A OA2sin2B OB +sin2C一.知識總結.重心(中線交點)1 _. G 是4 ABC 的重心 .GA+GBJlGC =0證明 作圖如右，圖中 gB+gC=gE連結BE和CE,貝U CE=GB , BE=GC = BGCE為平行四邊形是BC嗎點AU BC4的中線. 將 GB+GC=ge一 一代入 GA +GB +GC = 0 ,得GA +EG = 0 = GA =-GE =GD ,故G是 ABC的重心.（反之亦然（證略）4.內心(角平分線交點，內切圓圓心 )0是 ABC的內心充要條件是K , ABAC、 K , BA BC、工，CA CB、

2、八OA (- 1 - I ) = OB ( t -1 ) = OC *( 1 - 1 ) = 0| AB | | AC |BA| |BC|A |CB |引進單位引中T使條件變得更簡潔。如果記aB , BC , 的單位向量為 三;二,，則 0是4ABC內心的充要條件可以寫成 T J . - F 222由題設可設 Q(x14)、H(X2,y4),G(433)233A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心T TF6.已知 ABC, P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：a，PA+b，PB + c*PC=0 ,則P點為三角形的(B )7 aH_Bc- AHX2(X2 -X) . y4 =. AH -(

3、x2,y4),QFx y2、 F ,、,-y3) ， BC=(x2x,y2)2 2 BC =x2(x2 -x1) -y2y4 =0V2qf4_ac = QF *AC =x2(X22Xi2X2(X2 -x) y2- y3 二2y22x ，x1QH =(X2, V4 f)=(。依山)FQxDB(xi,0)H2TT X2 xi xi y2QG (-r rr32 32x2 -Xi23x2(x2 -xi)y22y2、,2x2 -xi y2 X2(X2 -x) 一生)=(二(2x2 x13x2(x2 x)_ 1 /型;x 3x2(X2 -X) V2=3(-1丁)=_QH3即QH=3QG,故Q、G、H三點共

4、線，且二.練習QG： GH=1 : 21.已知A、B、C是平面上不共線的三點,1O是二角形ABC的重心，動點P滿足OP =-3(2 OA + 2oB +2 Oc工則點P 一定為三角形 ABC的(B)A.AB邊中線的中點B.AB邊中算的三)等分點 (非重心)C.重心 D.AB邊的中點分析：取 AB邊的中點 M,則OA+OB=2OM ,11 1 一0P =3(2OA +1 一 r 1 OB+2OC1MOP=3OM +2MC , 22 MP =-MC ,即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點， 且點P不過重心。 ，_3 , 一 _一、一、12T 2 I 2 121 2 .2.在同一個平面上有

5、MBC及一點O滿足關系式： OA + BC =OB + CA = OC +A.外心B.內心 C.重心 D.垂心2-2.在三角形 ABC中，動點P滿足：CA =CB 2ABCP,則P點一定通過 4ABC的 (B )A.外心B.內心C.口心 _D.垂心 _,.非零向量AB與AC滿足(+5)BC =0且卒 = 1 ,則 ABC為(D)| AB | | AC | AB | | AC | 2A.三邊均不相等的三角形.B.叫三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形AB AC 斛析：非李向重與滿足( i ) BC =0,即角A的平分線垂直于 BC,|AB| |AC| . AB=AC,又 cosA = -AB

6、- AC- =- , / A=-,所以 4ABC 為等邊三角形.| AB | | AC | 23.9.4ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為H, OH =m(OA + OB + OC),則實數 m= 1t l lt i ._T T T f T10.點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足 OAQB=OB OC=OC OA ,則點O是 ABC 的(B)(A)三個內角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交點11.如圖1,已知點 G是4ABC的一心,Ji G作直線與 AB, AC兩邊分別交于 M , N兩點，且為M = xAB , AN = yAC ,則x y.證點G是ABC的重心，知 GA + GB + GC = 0 ,得-,ag+(ab-ag)+(ac-ag)=0 ,有7G=(7B+7C)。3又M, N, G