統(tǒng)計(jì)的整理統(tǒng)計(jì)量數(shù)課件

1、第四章 統(tǒng)計(jì)資料的整理：統(tǒng)計(jì)量數(shù)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)介紹常用的統(tǒng)計(jì)量數(shù)來表達(dá)資料的特性。學(xué)習(xí)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量數(shù)。學(xué)習(xí)位置的統(tǒng)計(jì)量數(shù)。學(xué)習(xí)分散程度的統(tǒng)計(jì)量數(shù)。學(xué)習(xí)如何建立全方位的統(tǒng)計(jì)圖盒鬚圖。學(xué)習(xí)形狀的統(tǒng)計(jì)量數(shù)有偏度與峰度。學(xué)習(xí)如何計(jì)算分組資料。認(rèn)識(shí)謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則。學(xué)習(xí)Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用。洞悉平均數(shù)、變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的重要性質(zhì)。本 章 架 構(gòu)4.1 集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.2 位置統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.3 分散程度統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.4 全方位的統(tǒng)計(jì)圖盒鬚圖4.5 形狀統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.6 分組資料的統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.7 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則4.8 z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用4.9 樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的重要性質(zhì)4.1 集中趨勢(shì)

2、統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.1.1 平均數(shù)(mean)4.1.2 中位數(shù)(median)4.1.3 眾數(shù)(mode)4.1.4 集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)的比較4.1 集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)(續(xù))所謂集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)是以一個(gè)數(shù)值來描述樣本資料中，那一個(gè)分?jǐn)?shù)或數(shù)值是最具代表性，或集中在那個(gè)中心位置。最常見的集中量數(shù)有三種，即眾數(shù)(Mode)、中位數(shù)(Median)、和算術(shù)平均數(shù)(Mean)，到底用那一個(gè)集中量數(shù)和資料衡量尺度以及研究之目的有關(guān)。4.1.1 平均數(shù)平均數(shù)(mean) 為所有數(shù)值總和除以所有數(shù)值的個(gè)數(shù)，當(dāng)資料是屬量資料時(shí)適用。 母體平均數(shù)()樣本平均數(shù)( )臺(tái)積電股價(jià)報(bào)價(jià)2003年7月14日臺(tái)積電股價(jià)基本面訊息資料

3、來源：中時(shí)理財(cái)網(wǎng)臺(tái)灣電力公司近五年經(jīng)營績(jī)效資料來源：臺(tái)灣電力公司網(wǎng)站例4.1 平均數(shù)若全班12位學(xué)生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤，試求其母體平均數(shù)？若以上資料為抽自全班60位同學(xué)的樣本觀察值，則其樣本平均數(shù)為何？解：例4.2 平均數(shù)已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中有所誤植，15應(yīng)為85才正確，問平均數(shù)有何變化？ 解： 根據(jù)誤植的資料，則樣本平均數(shù)為(2+3+5+10+15)/15=7；若將15改為85，則樣本平均值變?yōu)?1，為原值的三倍。由上例可以知道平均數(shù)對(duì)於極端值(如上例中之85)的敏感度很強(qiáng)，這是採用平均數(shù)作為集中趨勢(shì)統(tǒng)

4、計(jì)量數(shù)應(yīng)特別留意之處。為此，我們介紹中位數(shù)來克服這樣的疑慮。平均數(shù)性質(zhì)Xi = n ； Xi = N(Xi - )離差值 ( Xi - ) = 0min (Xi - A )2 (Xi - )2 最小易受離群值（outlier)影響，可用修正平均數(shù)改善。變數(shù)變換：Y = a X+ b = a + b修正平均數(shù)調(diào)查大學(xué)生每周上網(wǎng)時(shí)數(shù)，今隨機(jī)抽取n16學(xué)生其資料如下： 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 26求平均數(shù)求5修正平均數(shù)Sol: (1) = 13.125 (2)修正平均數(shù) = 12.86註：求修正平均數(shù)前需先將原資料

5、排序4.1.2 中位數(shù)中位數(shù)(median) 將資料由小到大（或由大到?。╉樞蚺帕嗅?，位於中心的數(shù)值稱之， 通常以 表示，當(dāng)資料是屬量資料時(shí)適用。 計(jì)算方法 將資料由小到大排序?qū)懗蓌(1), x(2), , x(n) 例4.3 續(xù)例4.1求12位學(xué)生的體重之中位數(shù)？解： 全班12位學(xué)生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤。 將12位學(xué)生的體重由小到大排序如下：35，38，39，40，42，43，46，48，50，51，54，54，因?yàn)閚=12為偶數(shù)，故中位數(shù)為排序第六和第七位數(shù)值的平均，即例4.4 續(xù)例4.2已知樣本資料2，3，5，10，15，

6、若其中有所誤植，15應(yīng)為85才正確，請(qǐng)討論中位數(shù)的變化情形。 解： 若是誤植資料，其中位數(shù)為5，但經(jīng)訂正使用85取代15，則中位數(shù)依然為5，由此可知，中位數(shù)完全不受影響。由上例可知，中位數(shù)可能只用資料的一個(gè)或兩個(gè)數(shù)值，故對(duì)極端值不敏感。但其數(shù)學(xué)運(yùn)算卻不易操作，比如說，我們無法直接將兩組資料的個(gè)別中位數(shù)作運(yùn)算而求得合併兩組資料後的中位數(shù)，因此中位數(shù)不常用來作統(tǒng)計(jì)推論。4.1.3 眾數(shù)眾數(shù)： 指資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)或分組名稱。當(dāng)數(shù)據(jù)或名稱各只出現(xiàn)一次時(shí)，眾數(shù)便不存在，但因次數(shù)可能相同，故眾數(shù)可能不唯一。 屬質(zhì)資料的集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)，用眾數(shù)(mode)表示最為適當(dāng)。 例4.5 眾數(shù)擲一公正的骰子1

7、0次，其點(diǎn)數(shù)分別為3、6、2、6、1、4、6、5、3、5，求其眾數(shù)？解： 點(diǎn)數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)分別為點(diǎn)數(shù)1：1次、點(diǎn)數(shù)2：1次、點(diǎn)數(shù)3：2次、點(diǎn)數(shù)4：1次、點(diǎn)數(shù)5：2次、點(diǎn)數(shù)6：3次，故M0=6。例 4.6 某科技大學(xué)管理學(xué)院院長(zhǎng)欲瞭解所屬各碩士班的報(bào)名情形，得知資料如下：財(cái)金系250人，企管系308人，資管系169人，保險(xiǎn)系145人，會(huì)計(jì)系178人，休閒系134人，問那一碩士班最為熱門？ 解： 各碩士班乃屬質(zhì)資料，故以眾數(shù)代表最為合適，即表示眾數(shù)為企管系，報(bào)名人數(shù)最多，是為某一年度最熱門的碩士班。4.1.4 集中趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)的比較當(dāng)資料是對(duì)稱分配時(shí)，則平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者皆相等。當(dāng)數(shù)據(jù)是屬量資

8、料時(shí)，則適用平均數(shù)或中位數(shù)。若為屬質(zhì)資料時(shí)，則應(yīng)以眾數(shù)為最佳選擇。以極端值而言，平均數(shù)受其影響最為明顯，相較之下，中位數(shù)與眾數(shù)則對(duì)極端值不敏感。平均數(shù)易於作數(shù)學(xué)運(yùn)算，但中位數(shù)與眾數(shù)則不易達(dá)成某些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算目的。平均數(shù)易於數(shù)學(xué)計(jì)算之特性 例如兩組樣本資料的個(gè)數(shù)與平均數(shù)分別為n1和n2及 和 ，則將兩組資料合併後的樣本平均數(shù)為 平均數(shù)具有如此的功能，但中位數(shù)和眾數(shù)則無法同理得知，也就是說，兩組資料合併後的中位數(shù)和眾數(shù)都無法以一關(guān)係式來直接代表。 4.2 位置統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.2.1 百分位數(shù)(percentile)4.2.2 四分位數(shù)(quartile)4.2.1 百分位數(shù)百分位數(shù)(percenti

9、le) 通常以第k個(gè)百分?jǐn)?shù)稱之，並寫成Pk，代表資料中在此分?jǐn)?shù)下有多少百分比之樣本是在此分?jǐn)?shù)之下。設(shè)樣本數(shù)為n，則 4.2.1 百分位數(shù)求百分位數(shù) Pk 之步驟:(1) 將原始資料排序(2) 求位址 i : i = n/100 k(3) (i) i Z (整數(shù)）, i 進(jìn)位如 i 3.2 Pk = X(4) (ii) i Z (整數(shù)） 如 i 5 Pk = (X(5) + X(6) )/2兒童的身高所謂的矮小是相對(duì)的。一個(gè)排在第3百分位數(shù)的兒童，比排在第50百分位數(shù)的矮，但這個(gè)第50百分位數(shù)的兒童，也比第97百分位數(shù)的兒童矮。 在臨床上，排在第三百分位數(shù)以下的兒童才算是所謂的矮。人的高度分佈是

10、平均的，所以大約有3%的兒童，其身高低於第三百分位數(shù)，這是正常的。如果他們的高度遠(yuǎn)低於第三百分位數(shù)，他們便可能是患病。 例4.7 續(xù)例4.1全班12位學(xué)生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求P20。解： 因?yàn)?不是整數(shù)，所以取第三小的數(shù)，即 。 4.2.2 四分位數(shù)四分位數(shù)(quartile) ： 是將N分成四等份，因此第一個(gè)四分位之分?jǐn)?shù)是指有25%的樣本數(shù)目（N）的分?jǐn)?shù)低於此分?jǐn)?shù)。 P25，稱為第一個(gè)四分位數(shù)或下四分位數(shù)Q1。P50，稱為第二個(gè)四分位數(shù)Q2，就是中位數(shù)，所以P50= Q2 = Me。P75，稱為第三個(gè)四分位數(shù)或上四分位數(shù)Q

11、3。註：十分位數(shù)是將N分成四等份: D1, D2, , D10 Di = Pk，k = 0.1100 i 例4.8 續(xù)例4.1全班12位學(xué)生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求Q1、Q2、Q3。解：平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者之關(guān)係單峰右偏 : Mo Me 單峰左偏 : Me 3 Xi為偏離值 (當(dāng)資料呈鐘形分布)例4.14 基金報(bào)酬率是否有偏離值？假設(shè)某一年有12檔基金的報(bào)酬率(%)如下：15、12、35、14、16、14、17、20、18、17、15、14請(qǐng)繪製盒鬚圖，並判斷是否有偏離值？解： 首先，我們計(jì)算出x(1)=12，Q1=14，M

12、e=15.5，Q3 =17.5，x(12)= 35。然後根據(jù)這五個(gè)統(tǒng)計(jì)量數(shù)繪製如圖4.3之盒鬚圖。（此圖係以SPSS統(tǒng)計(jì)軟體繪製，Excel軟體無此功能。）例4.14 基金報(bào)酬率是否有偏離值？(續(xù))由圖4.3可知，存在一個(gè)偏離值，即報(bào)酬率35%的那一檔基金。圖4.3 12檔基金報(bào)酬率之盒鬚圖RETURN40302010124.5 形狀統(tǒng)計(jì)量數(shù)4.5.1 偏度(skewness)4.5.2 峰度(kurtosis)4.5 形狀統(tǒng)計(jì)量數(shù)(續(xù))形狀統(tǒng)計(jì)量數(shù)(measure of shape)是用以表示資料是否對(duì)稱於中心點(diǎn)及寬闊或高聳的程度，主要的統(tǒng)計(jì)量數(shù)有偏度和峰度兩種。4.5.1 偏度偏度(ske

13、wness) 用來說明一組資料是否對(duì)稱於中心位置，通常以1表示。樣本偏度 (1) 1 0，單峰右偏 (2) 1 0，高狹峰 (2) 2 1圖4.8 謝比雪夫不等式之圖示4.7.1 謝比雪夫不等式（續(xù)） 例4.18 謝比雪夫不等式就例3.6之五十筆樣本資料，試問有多少比例的觀察值落於樣本平均數(shù)左右兩個(gè)樣本標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)？解： 根據(jù)謝比雪夫不等式的結(jié)論，則至少有75%的資料落於該區(qū)間內(nèi)。本例中，我們可以實(shí)際瞭解真正的情形。首先計(jì)算 ， ，所以 因?yàn)?k=2，故 ，實(shí)際計(jì)數(shù)後得知有 的資料落於該區(qū)間內(nèi)。 4.7.2 經(jīng)驗(yàn)法則經(jīng)驗(yàn)法則(empirical rule)： 當(dāng)資料呈現(xiàn)對(duì)稱分配或鐘形分配時(shí)，

14、則約有68%的資料落在平均數(shù)左右一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)。約有95%的資料落在平均數(shù)左右二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)。約有99.7%的資料落在平均數(shù)左右三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)。數(shù)學(xué)式: P( | X | k ) 68% , k = 1 95%, k = 2 99.7%, k = 3 經(jīng)驗(yàn)法則的應(yīng)用根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則吾人可預(yù)測(cè)共同基金的報(bào)酬率分布情況：平均報(bào)酬率加上兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大約是最佳狀況時(shí)的報(bào)酬率；平均報(bào)酬率剪去兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大約是最差狀況時(shí)的報(bào)酬率。換言之，四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大約是最好與最壞時(shí)的差距。例4.19 續(xù)例4.18試依經(jīng)驗(yàn)法則驗(yàn)證相關(guān)的結(jié)論。解：在 的區(qū)間有33個(gè)數(shù)據(jù)，占33/50=66%。在 的區(qū)間有49個(gè)數(shù)據(jù)，占4

15、9/50=98%。在 的區(qū)間有50個(gè)數(shù)據(jù)，占50/50=100%。以上三個(gè)比例和經(jīng)驗(yàn)法則的結(jié)論都非常接近，因?yàn)橘Y料具有近似對(duì)稱分配的性質(zhì)。謝比雪夫不等式與經(jīng)驗(yàn)法則例：自某大學(xué)四年級(jí)N = 1080學(xué)生，測(cè)驗(yàn)智力測(cè)驗(yàn)，得其IQ分?jǐn)?shù)之平均數(shù)（）= 120，標(biāo)準(zhǔn)差（）= 8。假設(shè)資料呈鐘形分布時(shí)，試回答下列問題。 (1) 試?yán)弥x比雪夫定理求出分?jǐn)?shù)108 132區(qū)間至 少有多少人？ (2) 試?yán)媒?jīng)驗(yàn)法則求區(qū)間a , b內(nèi)約有1026個(gè)學(xué) 生？ (3) 設(shè)依此成績(jī)學(xué)校給予IQ分?jǐn)?shù)前27名學(xué)生獎(jiǎng)金做 為鼓勵(lì)，試問最低分?jǐn)?shù)為多少？4.8 z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用z分?jǐn)?shù)(z score) 代表任一觀測(cè)值(x)與平均數(shù)

16、間的距離有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的意義。 母體的z分?jǐn)?shù)樣本的z分?jǐn)?shù)註 : z分?jǐn)?shù)沒有單位z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)zi = 0 (zi - ) = 0變異數(shù) : Sz2 = 1，z2 = 1母體：Zi2 = N 樣本：Zi2 = n 1註：若資料呈鐘形分布經(jīng)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù)時(shí)，當(dāng)|Zi| 3，則Xi為離群值。例4.20 統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)進(jìn)步抑或退步？小明在班上的統(tǒng)計(jì)學(xué)期中考成績(jī)65分，全班的平均是62分，標(biāo)準(zhǔn)差5分；另其期末考成績(jī)?yōu)?6分，班上的平均是80分，標(biāo)準(zhǔn)差3分，試問小明的成績(jī)?cè)诎嗌厦问沁M(jìn)步或退步呢？另外，小明期中考成績(jī)以相同班上名次則期末考須考幾分？(假設(shè)期中考、期末考成績(jī)均呈鐘形分布)解：(1) 若以數(shù)學(xué)的基本觀念

17、而言，76分絕對(duì)高於62分，但若 換算兩次考試的z分?jǐn)?shù)，期中考的z分?jǐn)?shù)為0.6，正數(shù)表示高於全班平均；至於期末考則為 -1.33，表示在全班平均以下，所以小明的成績(jī)就全班而言是退步了。 (2) 利用期中考、期末考成績(jī)的z分?jǐn)?shù)相等。z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用隨機(jī)抽出n5個(gè)樣本並轉(zhuǎn)換成Z分分?jǐn)?shù)，其分別為 Z1 = 1.4, Z2 = -0.8, Z3 = -1.2, Z4 = 1.6 (1) 試問Z5 之值為何? (2) 若 = 30，S = 3，試問x5 之值為何?解：(1) Zi = 0 Z5 = -1 (2) Z5 = ( X5 - )/s X5 = 274.9 樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的重要性質(zhì)平移：將資料同加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的方式。 令 zi = xi c