人教A版（2019）選擇性必修第一冊：解析幾何的恒過定點問題 教案

1、解析幾何的恒過定點問題【教材分析】在選擇性必修1教材第二章直線與圓的方程中，課本2.1.1傾斜角與斜率這一節(jié)提出，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點P可以作無數(shù)條直線l1 ，l2，l3，它們組成一個直線束，這些直線的區(qū)別是什么？首次讓學(xué)生從集合的角度感受具有一些共同特征的直線。形成一個平面內(nèi)過一個點的直線系的概念，也為后面的點斜式方程作了鋪墊，本教學(xué)設(shè)計將以此為切入點，設(shè)計平面內(nèi)過一個定點的直線、過兩直線交點的直線、過兩圓交點的圓的方程的教學(xué)?！緮?shù)學(xué)核心素養(yǎng)】1.直觀想象：通過GGB探究點系的圖象，直線交點系圖象，圓的交點系圖象，歸納出此類問題解決的一般性，研究一個數(shù)學(xué)問題的研究思路。2.數(shù)學(xué)抽象：

2、通過對具有同類特征的解析幾何對象分析研究，抽象出過定點的直線系、過兩直線交點的直線系、過兩圓的交點的圓系的概念，并對其性質(zhì)進(jìn)行研究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心。3.數(shù)學(xué)運算：通過對問題的解決培養(yǎng)學(xué)生的運算能力?！窘虒W(xué)重難點】1.教學(xué)重點：定點問題2.教學(xué)難點：從GGB軟件的探究中抽象出系的概念及一個系的方程的運用【教學(xué)方法】1.啟發(fā)式：通過教師的提問或者講述使學(xué)生產(chǎn)生思考與啟發(fā)。2.演示法：通過數(shù)學(xué)軟件GGB、案例的展示呈現(xiàn)于引導(dǎo)學(xué)生思考與探究【導(dǎo)入新課】教師：復(fù)習(xí)點斜式方程？y-y0=k(x-x0)思考：恒過定點的實質(zhì)是什么？【新課學(xué)習(xí)】探究活動一：改變斜率k，直線會有什么變化？以具體實例y-2=k

3、(x-3)探究引導(dǎo)學(xué)生把式子化為：(x-3)+(y-2)=0，改變，圖象的變化利用信息技術(shù)GGB軟件得到如圖：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)y-2=0即y=2時，無論取何值，x-3=0即x=3. 所以(x-3)+(y-2)=0表示一條直線，這條直線恒過定點（2,3）教師總結(jié)：直線的恒過定點問題就是改變而圖象都具有公共點的問題 探究活動二：思考x-3=0，y-2=0的圖象是什么？與(x-3)+(y-2)=0的圖象有什么關(guān)系？探究發(fā)現(xiàn)：(x-3)+(y-2)=0表示一條直線，這條直線恒過x-3=0與y-2=0的交點教師總結(jié)：(x-3)+(y-2)=0可以表示直線x-3=0，但不能表示直線y-2=0。我們把一束橫過某

4、一定點的直線叫做一個直線系，這樣過點的直線系方程可以寫為探究活動三：是否把兩條直線換成其他任意直線都有相同的規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測小心求證思考形如：(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0是否也表示一條直線？這條直線與A1x+B1y+C1=0、A2x+B2y+C2=0有何聯(lián)系？信息技術(shù)GGB探究：以為例探究發(fā)現(xiàn)：表示一條直線，這條直線恒過與的交點教師總結(jié)：可以表示直線，但不能表示直線。我們把一束過兩條直線交點的直線叫做一個直線系，這樣過直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程可以寫為(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0探究活動三

5、：把兩條直線換成任意兩圓是否也有相同的規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測小心求證思考形如：是否表示一個圓？這個圓與、有何聯(lián)系？信息技術(shù)GGB探究：以為例探究發(fā)現(xiàn)：表示一個圓，這個圓恒過與的交點教師總結(jié)：表可以示圓，但不能表示圓恒我們把一組過兩圓交點的圓叫做一個圓系，這樣過圓與圓交點的圓系方程可以寫為活動四(總結(jié)歸納)：變化中的不變性稱為性質(zhì)，性質(zhì)可以幫助我們掌握事物的本質(zhì)。把具有一些共同特征的圖象的方程歸結(jié)為一個系的方程。即無論是過定點的直線系方程和還是過定點的圓系方程，都可以寫為如下形式： 活動五（知識的應(yīng)用）：基本活動經(jīng)驗練習(xí)：（1）求經(jīng)過點以及圓與交點的圓的方程。學(xué)生自主思考做題方法（設(shè)一般（標(biāo)準(zhǔn)）

6、方程，找圓心，求半徑），教師引導(dǎo)（設(shè)圓系方程）。師生共同探討使用圓系方程的便捷性。設(shè)計意圖：知識的遷移能力，檢測基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)學(xué)生的基本活動經(jīng)驗。求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程。設(shè)計意圖：借用前面GGB探究過的圖象解決問題，提升看課堂的容量。此題還有一個目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)?！菊n后小結(jié)】過定點的直線系方程和還是過定點的圓系方程，都可以寫為如下形式： 恰當(dāng)?shù)脑诮忸}中設(shè)出具有某些特征的方程，可以大大降低解題的步驟，從而優(yōu)化我們的解題方法，有助于簡化運算?！驹O(shè)計反思】本知識的設(shè)計從易到難循序漸進(jìn)，教學(xué)體現(xiàn)方法的一般性，利用GGB動態(tài)演示含有參數(shù)的方程圖象變化規(guī)律，尋找變化中的不變性，把抽象變得具體。但由于是教師在操作GGB的參數(shù)，所以學(xué)生在感受圖象的變化上沒有實踐