淺談解析幾何中的定比分點(diǎn)

1、 淺談解析幾何中的定比分點(diǎn)解析幾何是我們高中階段的重要內(nèi)容，很多同學(xué)怕解析幾何，說(shuō)到底是怕解析幾何中的計(jì) 算，特別是方法用得好不好會(huì)直接影響到計(jì)算的繁簡(jiǎn)，而定比分點(diǎn)是我們解析幾何中十分重要的 一塊內(nèi)容，無(wú)論是課本還是平時(shí)的練習(xí)題，定比分點(diǎn)內(nèi)容都占一定的比重，定比分點(diǎn)用得好會(huì)簡(jiǎn) 化較多的計(jì)算。定比分點(diǎn)用法較多，大體分為：直接與間接。直接用法有三種:uuur1、定義直接用：APuuuPB (采用向量來(lái)解決)ruuurb,OD是AB邊上的高，若ADuurAB ,則實(shí)數(shù)等于 ()uuu r uur例如在 OAB中，OA a,OBr r r a (b a)-r ri b a本題直接采用向量來(lái)解答:uuu

2、ruuuumr uuuADABOD OAr r r a (a b)-rria buuur uuu(OB OA)r r r a (b a)Crb auuruur uuuODOB (1 )OAa (a b)uuur uuuODgAB 0r r r a (a b) TrT2、直接用公式XpXaXb1Vp3、直接用向量相等(xpxa，VpV)(Xb Xp，Vb Vp)直接用定義做的題比較少，因?yàn)橹苯佑枚x，不能較好訓(xùn)練學(xué)生的思維，采用間接的題型比 較多，大致有以下幾種：一、將線段比轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)例如：已知 P1(4, 3),F2( 2,6),且|PP 2 PF2| ,求適合條件的點(diǎn) P坐標(biāo)。分析：這種

3、題較簡(jiǎn)單，解題過(guò)程不贅述，這是典型的將線段轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)來(lái)解決。二、將定比分點(diǎn)轉(zhuǎn)化為線段的比，從而用幾何法解題。2 X 2例如：設(shè)橢圓E： y 1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F,( c,0)與F2(c,0) (c 0),且橢圓上存在一 m 1點(diǎn)P,使得直線PFi與直線PF2垂直，（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)l是相應(yīng)焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,UUUU _ UJIU直線PF2與l相交于點(diǎn)Q,若QF2 （2 J3）F2P,求直線PF2方程。解：(1) m 1; (2)設(shè) P(x0,y0)因?yàn)橹本€PFi與直線PF2垂直所以yoXo C得x0uuuu由QF2一 UULU(2 73)F2 P 知2Xo(2)Xom2 1m時(shí),

4、m=2Xo。此時(shí) F2（、.2,o）P(所以直線PF2方程為y（73 2）（x 揚(yáng)。UUUL _ UULU轉(zhuǎn)化為相似比來(lái)解決，從而使問(wèn)題化難為易。本題把 QF2(23) F2 P三、求某些值或者某些最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)，從而使問(wèn)題清晰化，解題思路明確。2X例如（2。6南通九校聯(lián)考）已知橢圓E的萬(wàn)程為 x_ ab21( a b 0),雙曲線2xH: 2ali ,又l與I2交于點(diǎn)P,設(shè)與橢圓E的兩個(gè)的兩條漸近線為11， 12,過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F的直線1交點(diǎn)由上至下依次為A, B。（1）當(dāng)l- 12與夾角為6oo,且a2 b2 4時(shí)，求橢圓E的方程。（2）求FAAP的最大值?？匆娺@道題很容易想到

5、用第二定義去做，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比值依賴xA的范圍，而xA的范圍需要解方程組,從而使問(wèn)題復(fù)雜化，若使用定比分點(diǎn)則問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔。解：(1)略。(2)不妨設(shè)11 :b(xc)az一(xbbx ac)uur設(shè)A分FP的比為c，則 A(abcabc)而 e (0,1) 所以22無(wú)3 (近四、定比分點(diǎn)與整體代換思想聯(lián)系在一起。例如2 雙曲線H:匕 a2P(-,cab) c代入,并整理2(2別為11,l2上的動(dòng)點(diǎn)，且略解:(1)漸近線方程:(2)設(shè) A(3yA,yA), 3( yAyB)yAyB2所以1)2FAAP的最大值為2x一 1的離心率e=2, (1)求雙曲線的漸近線萬(wàn)程;32 AB 5 F1F2 ,求線段

6、AB中點(diǎn)M的軌跡方程。B( 3yb,Yb)A, B 中點(diǎn) M (x, y)(2)若A、B分中點(diǎn)M的軌跡方程yAAByByB102J2y、.(3yA 3yB)2 (yA yB)2224x2 36 y2300五、直接求定比分點(diǎn)中的的值,也可以用幾何辦法解決。像這種求 的題，我們可以直接通過(guò)定比分點(diǎn)定義計(jì)算得到例如(2004.5月黃岡市、荊州市聯(lián)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)22P到雙曲線y-231的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi ,F2的距離之和為定值 2a (a J5),且cosF1PF2的最小值為19(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;uumr(2)若已知點(diǎn)D (0, 3), M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，且 DMuiurDN ,求實(shí)數(shù) 的取值

7、范圍。22解：(1)點(diǎn)P的軌跡方程為194(2)解法一：設(shè) M(x1,y1)，N(x2, y2)uuuuuuirOM(yy，DN偽)2 3)(x1,y1)(X2, y2 3)X1X2y1(y2 3) TOC o 1-5 h z 22x1y119413522x2V2.所以 194x1x2V1(y23)而 y 2,2所以5 2,5。 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 65上面的解法，屬于純解析幾何解法，其實(shí)，我們可以用幾何辦法很快解決。如圖：圖一，是最大的時(shí)候,圖二是最小的時(shí)候,圖(一)六、根據(jù)定比分點(diǎn)中的范圍求最值或值域。例如已知O、A、B三點(diǎn)的

8、坐標(biāo)分別為O (0, 0)、A (3, 0)、B (0, 3),點(diǎn)P在線段ABuuu上，且，則OAA3 B6C9D12uuruuuuur uuuuuuuuruuruuu解：設(shè)APAB,OP OA(OBOP)OP -OB()uurOP的最大值為uuu uurOAgOPuuu0Age1uurOB1 uurOA)11 uur OA1310,1,(0,3,所以答案選這種題顯然是利用的取值范圍來(lái)求值簡(jiǎn)單。七、比而不求，轉(zhuǎn)化為向量平行來(lái)解決。我們看這樣一道題目，看似定比分點(diǎn)，仔細(xì)審題，這道題其實(shí)可以比而不求, 來(lái)解決。轉(zhuǎn)化為向量平行例如已知橢圓3v2uur uur1的弦PB過(guò)其中心O,點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，

9、滿足 PAgPB 04uur2 PAuuuPB（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）若橢圓上有兩點(diǎn)C、D （異于 A、B） 且uuruurPCPDuuu(-uuur 7Uuurr)gOAuur uur0,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得AB CD ?說(shuō)明理由PCPD這道題，很容易想到用定比分點(diǎn)把求出來(lái)，從而證明存在，仔細(xì)一看，題目并沒有要我們求uuu uuu因而我們可以智取，只需求證 AB與CD共線即可。解：（1）點(diǎn)P坐標(biāo)（1,1)。（2）假設(shè)存在uuruuur,使得AB CDuuirPC (-uuurPCuuurPD uuuTuutrr)gOA 0 知,PDCPD的平分線垂直于OA,則,kPCkPD 。不妨設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（1,1),設(shè)直線PC為y-1= k （x-1）聯(lián)立方程組3y241 k(x3k2 2k 13k2 1)3k2 6k解得C(-3k2 11)又直線,一 ,3k2PD 為 y-1= -k (x-1)，易得 D 為(23k26k 1 3k2 2k 13k2 1所以所以所以 CD / AB2_2_3k 2k 1 3k 2k 1k 3k2 1 3k2 1CD3k2 6k 1 3k2